對比教學：促進學生的乘法分配律模型建構

朱綺琳

［摘要］ 乘法分配律變式較多，是小學數學運算律教學中公認的難點；突破這一難點的有效方式不是反復操練，而是幫助學生建立概念的基本模型，加深對概念原型的理解。以蘇教版四年級下冊“乘法分配律”教學為例，通過橫向對比、縱向對比、交叉對比，指出乘法分配律的核心切入點和路徑，以幫助學生建立清晰的概念結構與模型建構，形成靈活應用的思路方法。

［關鍵詞］ 小學數學；乘法分配律；對比教學；模型建構；數學變式

乘法分配律是運算律教學中公認的難點。為什么呢？因為它變式多且復雜，加之四年級的學生在“觀察”能力的精細度上本身有所欠缺。針對這樣的情況，課堂上教師常常會抓住各種變式，讓學生反復操練，但往往“力倍功半”。其實，變式越多，越要明晰概念的基本模型，加深對概念原型的辨識度。只有這樣，當學生面對各種變式時，才能將它與“原型”對接，甚至是將它變回“原型”，這樣的學習過程學生經歷的是一次次“轉化旅程”，尤其是在數系擴張時，學生才能順利地實現“理”與“法”的轉化與遷移。基于以上分析，筆者在課堂實踐中著重采用對比教學法，從多個維度、不同路徑加深學生對“乘法分配律”概念的理解。

一、橫向對比，厘清“乘法結合律”和“乘法分配律”的模型

在實際應用中，“乘法結合律”和“乘法分配律”最容易發(fā)生混淆，為了加強概念原型的認識和方法的指導，我們設計了一些合理的變式練習，有針對性地幫助學生形成一些簡算方法與策略，提高其運算能力。

出示三題計算，讓學生獨立完成，學生呈現出如下的作業(yè)情況：

師：第二題可以簡便計算嗎？你怎么看出來的？

生1：可以，算式中有25和4，相乘正好是100。

生2：不可以，原式中沒有加法，下面卻出現了加法，上下兩個算式結果就不相等了。

生3：這一題應該使用乘法結合律使25和4湊整。所以原式=25×4×54=100×54=5400。

（同學們紛紛表示贊同）

師：再來看看第三題，它和第二題有什么聯系與區(qū)別？這一題能簡便計算嗎？為什么？

生4：算式中的三個數都相同，也都含有括號，就是括號里的符號不同。可以簡便計算，因為算式中有25和4，相乘正好是100。

師：黑板上的做法對嗎？

生5：不對，使用乘法分配律應該用25去乘括號里的每個數，所以原式=25×4＋25×54。

【設計意圖】從上述學生的三個例證中，第一題的形式是標準的乘法分配律“a×c＋b×c=（a＋b）×c”，學生一下子就能找到簡便計算的竅門進行計算。第二題和第三題的檢測點在于，學生在運用中會不會出現結合律與分配律的混淆。從測試反饋看，果然不出所料，學生對于乘法分配律和乘法結合律的概念認知還不夠清晰。這里的第二、第三題有意使用“控制變量”的方法，使算式中數字相同，符號不同。通過這樣的橫向對比，更加強化了乘法分配律與乘法結合律的區(qū)別，以便進行接下來的教學。

師：下面的兩題做法對嗎？（出示學生作業(yè)）比一比，怎樣區(qū)分乘法結合律和分配律？

生：乘法分配律有乘有加，是二級運算，乘法結合律只有乘法，是同級運算。

師：抓住乘法分配律與結合律的最大不同快速區(qū)分，是個好辦法。要判斷一個算式中是否存在“乘法分配律”，關鍵要尋找什么？

生（齊說）：相同數。

【設計意圖】第二題和第三題“外形”很相似，區(qū)別就在于小括號里的符號。班級里近一半的學生將此題做錯，究其原因就是對“原型”的認識不夠深入。通過這種“同屏對比”的方法，把學生的思維過程展示出來，使學生在對比中發(fā)現乘法分配律和乘法結合律的區(qū)別。但是在“找”了并“說”了之后，仍需要認識到問題核心：怎樣區(qū)分乘法結合律和乘法分配律。通過上述兩組相對簡單卻又容易發(fā)生混淆題目的橫向對比，來引導學生體會“相同因數”是明確乘法分配律原型的關鍵要素，厘清“乘法結合律”和“乘法分配律”的模型，以期化解學生頭腦中的矛盾沖突，更清楚地建立乘法中這兩種運算律的模型。

二、縱向對比，體現“乘法分配律”模型的深度

乘法分配律是“運算律”單元的重點，也是“運算律”單元的難點，更是變式較多的知識點。在上述清楚地建立起這兩條運算律的表象后，可以對乘法分配律進行更為精細的深化練習，通過分配律各種題型的縱向對比，促使學生突破乘法分配律的變式難點。

出示題組1：口算下面各題，并用乘法分配律解釋算理。

23×34×1216×52×48

師：誰來說說你是如何計算“23×3”的？

生：先算“3×3”，再算“十位上的2×3”，合起來就是69。

師：能用乘法分配律解釋嗎？

生：這樣的算法，其實就是把23拆分成20＋3，先算3個3是多少，再算20個3是多少，把兩個得數合在一起，就是23×3的結果。

【設計意圖】這里的兩位數乘一位數的乘法口算，是學生在數學三年級上冊就掌握的內容。當時，雖然并沒有揭示“乘法分配律”的本質內涵，但在計算中已經充分運用了“乘法分配律”的原理。通過這一題組的計算，可以調動學生已有的學習經驗，將新、舊知識進行聯結，活躍計算思維，以期實現從“算出結果”向“理解算理”再向“知識建構”的方向跨越發(fā)展。同時，即使有的學生不能像教師要求的那樣說得貼切、流利，但在這樣的思考過程中，也有助于他們跟上接下來的題組練習，輔助其思維向縱深邁進。

出示題組2：用自己的方法計算23×36。

展示下面的學生作業(yè)：

師：這里有4位同學的作業(yè)，他們用的方法各不相同，你能說說這些方法之間的聯系與區(qū)別嗎？

生1：前兩位同學用了豎式計算，后兩位同學用了乘法分配律的方法進行計算。

生2：我發(fā)現第一個豎式計算和第三個算法其實是一樣的。在第一個豎式中，先用個位上的6去乘23，再用十位上的3去乘23，然后把所得結果相加。相當于把36拆分成了30和6，先算6個23是多少，再算30個23是多少，最后直接相加算出36個23是多少。

師：的確，兩位數乘兩位數的算理是可以用乘法分配律來解釋的。

生3：照這樣的理解，第二個豎式和第四個算法也是相同的道理。不同的是，剛才是對36進行拆分，這里是對23進行拆分。

師：是啊，不管是把哪個乘數拆分，使用乘法分配律都能使兩位數乘兩位數的計算變得更加簡便。

【設計意圖】這是學生在三年級下冊就掌握的兩位數乘兩位數的計算，之所以在這里設計本題，目的是讓學生從已有的豎式計算經驗中跳出，引導其思考“既然兩位數乘一位數可以用乘法分配律解釋計算原理，那么，兩位數乘兩位數是否也可以呢？”通過這一題的練習，學生發(fā)現兩位數乘兩位數，也蘊含著乘法分配律，既可以解釋成36個23是多少，也可以解釋成23個36是多少，無論拆分哪個乘數，最后都能計算出23×36的結果。進而，學生能夠發(fā)現，乘法運算都可以用乘法分配律的原理進行解釋，而用乘法分配律的思考過程其實就是豎式計算的過程。這樣的縱向對比練習，不僅鞏固了乘法的算理，又能進一步加深學生對乘法分配律的知識理解。

出示題組3：64×9-14×912×（40-5）

師：這兩題，可以簡便計算嗎？為什么？

生1：不可以。雖然這兩題和乘法分配律很像，但是乘法分配律里面是加法，而這里是減法，和乘法分配律不一樣。

生2：可以。算式中變了一個符號，但是也可以仿照乘法分配律進行計算。比如第一題，實際上就是用64個9減去14個9，結果是50個9。所以原式=（64-14）×9。第二題也是相同的道理，原式=12×40-12×5。

【設計意圖】當學生第一次看到這類算式時，不免會跟“乘加”的算式進行對比，當他發(fā)現“乘減”的算式中的減號不符合乘法分配律的模型時，就會給出否定的答案。此時，教師可以直接告訴學生，乘法分配律不僅可以在“乘加”的算式中使用，在“乘減”的算式中也同樣適用，再讓其嘗試計算并進行檢驗，這樣就能達到由“乘加”向“乘減”遷移的目的。

總之，“乘法分配律”的變式較多，不少學生缺乏一些簡算的小技能，這也是他們覺得難學的原因之一。因此，在練習中不僅要呈現較為常見的變式題，還應設計一些體現新方法與策略的變式題。在課堂上，將上述3個題組同時拋出，讓學生在實際操練、縱向對比提煉中獲得簡算的新技能，從建立概念結構與原型，到變式練習推進還原，有效提升學生在簡算中“靈活應用”的能力，促進其數學思維的發(fā)展，充分體現“乘法分配律”模型的深度。

三、交叉對比，拓寬“乘法分配律”思維模型

僅僅把乘法分配律的教學停留在以上層面仍然不夠，還應加入思維含量更加豐富的題型，以充實學生對“乘法分配律”的認識，提高他們思維的靈活性。

例1：用簡便方法計算下面兩題。

35×9876×99

通過上述的兩個環(huán)節(jié)的教學，大部分學生都能想到使用拆分的方法進行計算，例如下圖：

通過計算，學生會發(fā)現這種算法并沒有使計算變得簡便，計算量也不小。那么，面對這樣類型的題目該如何計算呢？

通過觀察“35×98”和剛才的“23×36”，發(fā)現“35×98”中的98非常接近整百數100，想到可以從“減法”的角度對本題展開思考：如果用“100-2”代替“98”，是不是可以使計算更加簡便呢？通過嘗試計算，結果果然如此，計算過程如下圖所示：

這樣一個交叉對比練習，主要是打開學生思維的靈活性。其實，并不是所有的兩位數乘兩位數都只能使用“乘加”的方法進行簡便計算，有時候使用“乘減”，反而更加簡便。如此一來，就可以打破學生的思維定式，培養(yǎng)其多角度思考問題的習慣。

例2：用簡便方法計算下面兩題。

360×52+480×36999×8+111×28

出示這兩題，班級大多數同學都表示，難以進行簡便計算，原因是題目中沒有相同的乘數，無法使用乘法分配律，同時乘法結合律也沒法使用。

此時，教師可以給學生一些提示：

提示1：算式中沒有相同的乘數，能否用以前學過的知識使得算式中出現相同的乘數？

提示2：想一想，乘法中有沒有什么規(guī)律可以實現提示1的目的？

通過這兩個提示，有的學生發(fā)現：在“360×52+480×

36”中，有兩個數比較特殊，即“360和36”。如果把這兩個乘數都變成360或者36，那么，本題就能使用乘法分配律進行簡便計算。于是，我們想到，應用積的變化規(guī)律可以把“360×52”轉化成“36×520”，或者把“480×36”轉化成“48×360”，這樣就能化解計算難點，如下圖所示：

同理可得，“999×8+111×28”也可以應用積的變化規(guī)律對原式進行等積變形，使其滿足乘法分配律的形式，解題過程如下：

【設計意圖】例2的教學要點，旨在達成用“相同因數”進行靈活合理地簡算的目的。例1與例2變式難度逐級遞增，一部分學生無法用已有的認知水平去解決沒有相同因數這類變式題。這兩道例題一前一后出現，學生一時難以參透其中的奧秘，這時，就需要放慢腳步，找尋困惑之處，然后通過交叉對比的方式，引導學生相互學習與思辨，討論可行的方法與策略。同時，也要讓他們再次嘗試與應用，體會“變式”打回“原型”的意義。在加深概念理解的同時，真正獲得簡算技能，提升運算能力。如此一來，就能拓寬“乘法分配律”思維模型。

通過上面3個層次6個題組的對比教學，筆者獲得了以下四點啟示：一是結構化的數學教學可以使數學知識更加立體；二是巧妙運用“對比教學法”可以厘清概念，促進知識意義建構；三是從真實的問題出發(fā)，可以更適切地幫助學生“撥亂反正”，建立正確的概念；四是螺旋上升的教學方式可以打開學生思維的深度，拓展學生思維的廣度。

史寧中教授指出，模型是數學發(fā)展所依賴的思想本質之一。因此，理解“乘法分配律”的原型，不能只停留在“外貌”上的認識，更應該在概念本質上去建構，這樣才能在應用中體現靈活性。本文從學生常見的錯題入手，按照由低到高、由簡到難的邏輯順序，進行同屏的“橫向對比”“縱向對比”“交叉對比”，并將這些題目在一堂課上集中呈現。這樣的安排，不僅遵循了學生數學學習的規(guī)律，還能讓其在原有的基礎上對乘法分配律的概念加深印象，明白“萬變不離其宗”，不管何種題型，不管是否見過，只要抓住“乘法分配律”的本質內涵，就能一通百通。這樣的教學，同時也培養(yǎng)了學生思維的深度和寬度，利用螺旋上升的教學方式，把與“乘法分配律”相關的習題進行了分類與整理。經歷對典型例題的學習，相信學生已經能夠清晰地認識到乘法運算律的概念本質。

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