數(shù)學(xué)基本活動類型及范式探尋

[摘? 要] 活動是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種樣態(tài)，教師要不斷探尋學(xué)生數(shù)學(xué)活動的類型、范式等。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)主要有切片性活動、并列性活動、階梯性活動和混合性活動四種范式，這些范式有各自獨特的操作流程。探尋數(shù)學(xué)基本活動的類型能優(yōu)化師生活動的教與學(xué)，讓師生活動的教與學(xué)更科學(xué)、更高效。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)活動;活動類型;教學(xué)范式

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)說到底就是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。活動是學(xué)生數(shù)學(xué)知識、技能、智慧等形成的載體，也是學(xué)生經(jīng)驗建構(gòu)的方式，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法形成的源泉。活動質(zhì)量、活動品質(zhì)、活動樣態(tài)等關(guān)乎著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能。精心研究、設(shè)計、組織實施活動是教師的教學(xué)使命與責(zé)任，教師要不斷深入地研究活動，針對不同的數(shù)學(xué)知識以及學(xué)生的具體學(xué)情開展不同的活動。探索數(shù)學(xué)活動的類型及其相對應(yīng)的活動范式，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更科學(xué)、更高效。

一、切片性活動及其設(shè)計

“切片”是一個形象的術(shù)語，是指一種“單一性”“暫時性”“環(huán)節(jié)性”的數(shù)學(xué)活動。切片性活動是指在學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中，僅僅是針對某一個知識點而開展的單一性的活動。這種活動往往聚焦于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點、難點、疑點或盲點，往往凸顯數(shù)學(xué)核心知識、關(guān)鍵內(nèi)容等。切片性的數(shù)學(xué)活動的過程就是“問題→活動→結(jié)論”式，能引導(dǎo)學(xué)生在活動中深度思考、探究。通常而言，切片性活動的操作往往是嵌入在課堂之中的，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分。因此，在課堂上切片性數(shù)學(xué)活動會有多個，它們之間沒有關(guān)聯(lián)，都是一個個獨立性的活動。

比如教學(xué)“認識厘米”這一部分內(nèi)容時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行切片性的活動：引導(dǎo)學(xué)生去比較物體的長短，讓學(xué)生產(chǎn)生“統(tǒng)一度量單位”的內(nèi)在心理需求;引導(dǎo)學(xué)生借助訂書釘、指甲、田字格等相關(guān)物體的寬度認識“單位厘米”，助推學(xué)生建立“單位厘米”的表象;引導(dǎo)學(xué)生將一個個的單位厘米串接起來，構(gòu)建厘米尺的雛形，對厘米尺雛形進行優(yōu)化、完善。學(xué)生充分經(jīng)歷了“厘米尺”的建構(gòu)、創(chuàng)造過程，這樣的活動過程是逐步深化、發(fā)展的過程。一個個的問題激發(fā)了學(xué)生內(nèi)在的心理需求，讓學(xué)生自然產(chǎn)生了一個微型的切片性活動。借助切片性活動能深化學(xué)生對厘米相關(guān)知識的本質(zhì)理解，同時能促進學(xué)生感悟“測量”“測量工具”的意義和價值。通過切片性活動，學(xué)生能有效地根據(jù)實驗過程得出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論，即“測量物體的長度歸根結(jié)底就是看被測量物體的長度中包含多少個測量單位”。切片性活動幫助學(xué)生直觀、深刻地理解相關(guān)知識，感悟相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想等。

切片性活動是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常開展的活動，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的具體學(xué)情相機實施。因此，切片性活動具有高度的開放性、生成性。盡管切片性活動是一個單一性的活動，卻有著完整的猜想、驗證、探究、結(jié)論等全過程。因此，在切片性活動中教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷這一過程，以便讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)。

二、并列性活動及其設(shè)計

與切片性活動相對應(yīng)的是關(guān)聯(lián)性活動。相較于切片性活動，關(guān)聯(lián)性活動是一種復(fù)合性的活動。關(guān)聯(lián)性活動包括并列性關(guān)聯(lián)活動、對比性關(guān)聯(lián)活動和遞進性關(guān)聯(lián)活動。其中，并列性關(guān)聯(lián)活動是指活動與活動之間沒有主次之分，教師可以引導(dǎo)學(xué)生同時開展相關(guān)活動，并且都能得出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論。并列性活動范式是“活動—活動—活動—……→結(jié)論”式。在引導(dǎo)學(xué)生開展并列性活動時，教師要鼓勵學(xué)生充分地互動、交流、研討。

比如教學(xué)“梯形的面積”這一部分內(nèi)容時，筆者讓學(xué)生思考：怎樣推導(dǎo)梯形的面積計算公式，用怎樣的思想方法進行推導(dǎo)？基于學(xué)生的已有活動經(jīng)驗，筆者讓學(xué)生自主猜想、大膽嘗試。于是，學(xué)生以小組為單位，開展并列性的數(shù)學(xué)活動：有的小組學(xué)生應(yīng)用剪拼的方法，將梯形分成直角三角形、長方形等，然后將剪拼的部分拼接成長方形;有的小組學(xué)生模仿三角形的面積的推導(dǎo)方法，用中國古代算術(shù)中的“半廣以乘正從”原理將梯形轉(zhuǎn)化成長方形;有的小組學(xué)生模仿三角形面積倍拼的推導(dǎo)過程，將梯形用倍拼的方法轉(zhuǎn)化成平行四邊形;還有的小組學(xué)生別出心裁，將梯形分割成兩個三角形等。不同小組的學(xué)生開展著并列性的數(shù)學(xué)活動，這些活動應(yīng)用相同的數(shù)學(xué)思想——“轉(zhuǎn)化”，使用了不同的轉(zhuǎn)化方法，比如倍拼法、剪拼法、分割法等。并列性的數(shù)學(xué)活動可以在同一時空下開展，它們之間沒有優(yōu)劣之分，僅僅是視角、方法不同等。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將并列性的數(shù)學(xué)活動進行比較，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗得到分享、共享，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動智慧得到互通。并列性的活動設(shè)計基于同一個問題，卻采用不同的實驗路徑、策略、方式和方法，最終都能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學(xué)新知。

并列性活動之間沒有主次之分、輕重之分，活動與活動的關(guān)系是并列的。教師要善于賦權(quán)、善于放權(quán)，真正將學(xué)生學(xué)習(xí)的時空讓渡給學(xué)生，真正讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，而不給學(xué)生設(shè)定一些固化的、固定的框框。如此，學(xué)生就能基于自我已有知識經(jīng)驗，采用獨特的、個性化的方法開展數(shù)學(xué)探索。這些個性化的活動充分彰顯了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體性、獨特性，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的確證與表征。

三、階梯性活動及其設(shè)計

階梯性活動是一種復(fù)合性的數(shù)學(xué)活動。所謂“階梯”是指“能讓人拾級而上的臺階”，是一個形象的比喻，是指不斷進階的過程。學(xué)生的活動不是同水平的重復(fù)，而是一個螺旋上升的過程。如果并列性活動是一種活動的并聯(lián)，那么，階梯性的活動就是活動的串接、串聯(lián)，其基本的范式是“活動—發(fā)現(xiàn)—再活動—再發(fā)現(xiàn)—再活動……得出結(jié)論”的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要借助活動引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷躍遷。顯然，階梯性活動是學(xué)生的活動不斷升級、不斷提升、發(fā)展的過程。階梯性活動針對的是通過一個活動不能有效解決問題，而只有依托多個活動才能有效解決問題的現(xiàn)象。

比如教學(xué)“釘子板上的多邊形”這一部分內(nèi)容時，教師就可以采用階梯性活動的方式，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究相關(guān)的問題。在活動伊始，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行總的數(shù)學(xué)猜想：釘子板上多邊形的面積可能與什么有關(guān)？通過猜想，開辟學(xué)生階梯性活動路向：一是要探尋多邊形的面積與圖形上的格點個數(shù)的關(guān)系;二是要探尋多邊形的面積與圖形內(nèi)的格點個數(shù)的關(guān)系。在這個過程中，學(xué)生意識到多邊形的面積可能與兩個變量有關(guān)。為了研究的方便和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有個學(xué)生提議：可以借鑒科學(xué)學(xué)科中的控制變量法，用對比性實驗活動的方式開展探索。于是，學(xué)生開展第一層次的活動：探尋多邊形的面積與圖形邊上的格點數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生積極主動地控制圖形內(nèi)部的格點數(shù)，比如讓圖形內(nèi)部的格點數(shù)始終為1，變化圖形邊上的格點數(shù)，進而得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論：當(dāng)圖形內(nèi)部格點數(shù)為1的時候，圖形的面積等于圖形邊上的格點數(shù)除以2。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生探尋圖形的面積與圖形內(nèi)部格點數(shù)的關(guān)系。這樣，學(xué)生就會控制圖形邊上的格點數(shù)（當(dāng)然，不同小組的學(xué)生控制圖形邊上的格點數(shù)的個數(shù)不相同），變化圖形內(nèi)部的格點數(shù)（從圖形內(nèi)部格點為0，1，2……開始），進而建構(gòu)“皮克定理”，即“多邊形的面積等于圖形邊上的格點數(shù)÷2+圖形內(nèi)部的格點數(shù)-1”。通過兩個階梯性的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生得出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論。

并列性活動是從不同的切入口展開，下一個數(shù)學(xué)活動的切入口就是上一個數(shù)學(xué)活動的結(jié)論。只有這樣，活動才具有一種連續(xù)性、發(fā)展性、進階性。教師要謀劃好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的步驟，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地開展數(shù)學(xué)活動，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究的不斷升級。

四、混合性活動及其設(shè)計

所謂“混合性活動”是指“教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生既采用并列性活動，又采用階梯性活動，并且將階梯性活動與并列性活動融合、交織在一起的活動方式”。混合性活動的指向就是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。在混合性活動中，教師既可以引導(dǎo)學(xué)生采用模型法、模擬法，又可以引導(dǎo)學(xué)生采用控制變量法、對比法進行活動。混合性活動在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”這一部分內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生進行自主性探索。學(xué)生首先想到用物態(tài)化、操作化的實驗進行探究。于是，學(xué)生開展第一個并列性活動，即學(xué)生用“測量法”“折角法”“撕角法”等探索三角形的內(nèi)角和，從而得出三角形的內(nèi)角和是180°的結(jié)論，或者得出三角形的內(nèi)角和約是180°的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，承接學(xué)生的外顯的操作性活動，引導(dǎo)學(xué)生通過演繹、推理等方法來嚴格證明：比如可以讓學(xué)生通過作平行線的方法來探究，可以讓學(xué)生用旋轉(zhuǎn)的方法想象三角形的內(nèi)角和，可以讓學(xué)生用“帕斯卡推理法”來驗證三角形的內(nèi)角和是180°等。在第二個層次的探究活動中，學(xué)生同樣開展并列性活動。但相比較于第一個層次的數(shù)學(xué)活動而言，這個層次的數(shù)學(xué)活動是一種進階性、上升性的活動。換言之，在“三角形的內(nèi)角和”探究活動中，第一、第二層次的活動在層次內(nèi)、學(xué)段內(nèi)都是并列性活動，而在層次間、學(xué)段間則是一種階梯性活動。這種混合性的活動設(shè)計，其范式是“活動1—活動2……結(jié)論1”“活動1—活動2……結(jié)論2”。這樣的范式層次清晰、結(jié)構(gòu)清晰、脈絡(luò)清晰，具有可操作性，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要范式。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個多層次、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的活動過程。對活動范式的實踐研究不僅能提升教師的教學(xué)力，更能增強學(xué)生數(shù)學(xué)活動的理性自覺。在數(shù)學(xué)活動過程中，教師要主動引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，要做好積極的示范引導(dǎo)工作。在引導(dǎo)學(xué)生開展相似性活動時，教師可以采用“教結(jié)構(gòu)—學(xué)結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的范式，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移、應(yīng)用。教師通過對數(shù)學(xué)活動的范式研究，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“他組織”走向“自組織”，從線性走向立體、多維。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動就會煥發(fā)出生命的活力。

活動是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種樣態(tài)。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要積極探尋數(shù)學(xué)活動的類型、范式、結(jié)構(gòu)框架、注意事項等。只有這樣，教師才能更好地引導(dǎo)、助推學(xué)生的數(shù)學(xué)活動。通過對活動的深度研究，教師可以更高效、更科學(xué)地研發(fā)、設(shè)計、組織、實施活動。數(shù)學(xué)活動能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。數(shù)學(xué)活動指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想方法等，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者簡介：顧嘉誠（1993—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。