注重知識關聯 強化數學思維

摘 要：“冪函數”是“函數概念與性質”的延續、拓展和應用，“冪函數”擔負著應用已學知識來研究具體函數的作用，“冪函數”的研究方法、路徑對后面學習“指數函數、對數函數、三角函數”起著示范作用.在“冪函數”的研究過程中，須整體把握教學內容，注重知識關聯；須經歷完整的研究過程，強化數學思維.

關鍵詞：知識關聯；數學思維；冪函數

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“實施建議”中指出：“要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯.數學教師要深刻認識數學學科核心素養的育人價值，把握數學學科核心素養與知識技能之間的關聯，理解數學學科核心素養的內涵和水平劃分，將數學學科核心素養的落實變成自己的自覺行動.”［1］一方面，教師要厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯；另一方面，教師要研究應該用什么樣的途徑引發學生思考，能夠讓學生在掌握知識技能的同時，強化數學思維，感悟知識的本質.

在以課時為單位的教學中，教師比較關注所授課時知識和技能的獲得，而忽視數學知識內在的關聯，忽略數學學習和研究方法的一致性，易造成知識學習的淺顯化、碎片化，使學生對知識的發展過程缺乏整體感知，不能正確理解數學知識的本質.那么如何整體把握教學內容，強化數學思維，突出數學本質，發展學生的核心素養呢？不久前，筆者執教了一節蘇教版《義務教育教科書數學必修第一冊》中“冪函數”的公開課，下面以這節課的教學為例，談談關于注重知識關聯，強化數學思維的做法與思考.

1 教學目標解析

通過具體實例引入幾個特殊函數，并對幾個特殊函數的共性進行觀察，抽象出一般形式.了解冪函數的概念，理解冪函數的圖象與性質，通過對冪函數的學習，體會研究一種具體函數的方法與路徑，累積研究具體函數的基本活動經驗.在冪函數的研究過程中，體會從一般到特殊，特殊到一般，數形結合等數學思想方法，提升數學建模、數學抽象、直觀想象、邏輯推理數學核心素養.

2 教學重難點分析

在初中階段，學生已會通過列表、描點、連線制作函數圖象，再根據圖象直觀感知函數性質；

在高中階段，學生已學習函數概念和性質，掌握用數學符號語言精準刻畫函數奇偶性和單調性的理論知識，學生已經具備直接通過函數解析式分析出函數的奇偶性和單調性的能力，這使函數圖象與特質的探究有了“形”的直觀與“數”的嚴謹.

本節課讓學生自己動手實踐，引導學生思考可以結合函數解析式分析出函數的性質.借助函數解析式，通過代數運算可以得到冪函數y=x3，y=x12的有關性質.通過學生動手作y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的圖象，教師再利用GeoGebra軟件（以下簡稱“GGB軟件”）繪制其他冪函數的圖象，讓學生從直觀感知上歸納總結冪函數具有的共性，從而培養學生將函數圖象與代數運算相結合來研究函數性質的習慣.基于以上分析，確定本節課的教學重難點如下.

（1）教學重點.冪函數的概念，冪函數的性質.

（2）教學難點.冪函數y=x3，y=x12的圖象與性質，冪函數性質的歸納.

3 教學過程分析

3.1 章引言

函數概念的分析，為探尋種種運動規律提供有力工具，教給人們如何依據已有的經驗去預測未來的事物，從而進一步獲得自然界的科學知識，從千姿百態的現象中總結出反映本質的基本規律.［2］

【設計意圖】本章引言告訴了我們“為什么學、學什么、怎么學”，本章介紹數學新知識學習的整體思路，以及如何依據已有的經驗去預測未來的事物.

3.2 問題情境

請將下列問題中的y表示成x的函數.（PPT展示，學生口答）

（1）如果一個長方形紙片的長為x，寬為1，則這個長方形紙片的面積y=""nbsp; .

（2）如果一個長方形紙片的長為x，面積為1，則這個長方形紙片的寬y=""" .

（3）如果一個正方形紙片的邊長為x，則這個正方形紙片的面積y=""" .

（4）如果一個正方形紙片的面積為x，則這個正方形紙片的邊長y=""" .

（5）如果一個正方體的盒子棱長為x，則這個正方體盒子的體積y=""" .

【設計意圖】讓學生從簡潔的、熟悉的情境中提取有關冪函數的知識，并從三個熟悉的冪函數過渡到另外兩個，

由易到難，由熟悉到陌生，為后續的研究埋下伏筆.

問題1 函數y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12具有什么共同特征？

【設計意圖】從具體實例抽象出數學模型，讓學生體會從特殊到一般的思維過程，發展學生數學抽象思維.

3.3 概念建構

一般地，我們把形如y=xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數

問題2 你能再舉出一些冪函數嗎？

【設計意圖】通過學生自己舉出的一些冪函數實例，以及教師隨手在黑板上寫出的幾個函數，如y=（2x）5，y=2x，y=1x3，讓學生辨別是否為冪函數，加深對冪函數的認識.

3.4 探究性質

問題3 知道了冪函數的概念，如何研究y=xα的性質呢？

【設計意圖】研究一類函數的性質，應該由一般到特殊，先研究具體的冪函數，然后找共性，總結性質.通過研究y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的性質，進而由特殊推廣到一般.

問題4 如何研究y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的性質，需要研究哪些性質？

【設計意圖】如何研究其性質，學生可能想到畫圖，通過列表、描點、連線，學生可以輕松畫出前三個函數的圖象，但是對于y=x3，y=x12的圖象，學生僅用列表、描點、連線就不能準確畫出圖象，需要先根據解析式分析函數的定義域、奇偶性、單調性，然后根據性質進行作圖，這也是教材緊接著安排例1的原因.

例1 寫出下列函數的定義域，并分別指出它們的奇偶性、單調性.

（1）y=x3；（2）y=x12；（3）y=x-2.

【設計意圖】例1是對上一章“函數圖象和性質”內容的一個具體應用，具有發展學生數學抽象素養的功能，通過函數解析式，并根據已有的知識，可以分析出其定義域、值域、單調性、奇偶性等.有了代數層面的理論研究，對于畫出函數的草圖起到了事半功倍的作用.

問題5 我們將y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12圖象放在同一坐標系下觀察，它們的圖象有著各自的特點，作為一類函數有什么共性嗎？

【設計意圖】通過y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的圖象研究（如圖1、圖2），思考這類函數的共性，由特殊到一般的探究思路.在此過程中，可以借助GGB軟件作圖演示學生的猜想，充分發揮信息技術的直觀便捷的優勢.

學生經歷從數到形，從形到數，經歷發現問題、提出問題、解決問題的過程，提高了數學學科直觀想象的核心素養.

3.5 數學應用

例2 試比較下列各組數的大小.

（1）1.13，0.893.

（2）2.112，212，1.812.

（3）121.3，1，313.

【設計意圖】通過各組數的大小比較，引導學生注意審題，觀察共性，寫出對應的函數，

再通過函數的單調性進行求解.第（1）問、第（2）問容易觀察共性，易寫出相應的函數，根據函數單調性求解.第（3）問給學生一種思想，當兩數不容易比較大小時，可以尋求中介，搭建橋梁進行比較.同時還要培養學生直觀想象的能力，腦中有圖，圖中有數，才能夠快速解決問題.

3.6 課堂小結

問題6 通過這節課的學習，同學們認為對一個新函數的學習，應該研究哪些內容，如何研究？

【設計意圖】回顧研究冪函數的過程、內容和方法，積累研究新函數的基本活動經驗，在冪函數的研究過程中體會一般到特殊，特殊到一般，數形結合等數學思想方法，發展數學建模、數學抽象，直觀想象、邏輯推理素養.同時說明“冪函數、指數函數、對數函數”的關聯性，提出下面要學習的內容.

4 教學反思

4.1 以構建函數的知識體系培養系統性思維方式

本課時的核心知識是冪函數，但教師眼里不能只有冪函數，要努力讓學生看到冪函數與函數概念與性質的關聯，冪函數與后面要學習的指數函數、對數函數的關聯，以及冪函數與三角函數的關聯.用寬領域的研究視野去思考知識整體與局部的內在關聯，落實從整體規劃教學與局部挖掘已有知識的學習方式，遷移前后知識相似問題的研究策略.同時，要注重章引言，章引言是每單元教學中的統領性內容，是培養系統性思維重要的方式，包含了“為什么學、學什么、怎么學”三個問題，但在平時教學中容易被教師忽略，需要引起我們教師的關注.

4.2 以冪函數的研究方法培養拓廣性思維方式

數學教學研究的起點是概念，但數學教學的研究方式不僅在于概念生成，更在于問題解決的過程中形成的認知策略.系統性思維方式讓數學知識的學習有序化，但在數學概念學習中，概念的生成和同化都是拓廣性思維方式.在冪函數的研究中，首先，由生活情境通過數學建模得到5個函數解析式；其次，通過啟發式問題讓學生抽象出冪函數的概念，在生成冪函數的概念后，讓學生舉出一些冪函數，同時又借助易混淆的幾個函數解析式讓學生辨別冪函數，在概念辨清后提問學生如何研究冪函數，啟發學生從一般到特殊進行研究；最后，由特殊回到一般，先總后分再總.有了研究方向后，還需學生解決需要研究什么，研究幾類具體冪函數的哪些性質.學生通過初中階段的學習經驗，通過列表、描點、連線作圖，但是學生初中沒有畫過y=x3，y=x12的圖象，這時又拓廣到前章學習過的由函數解析式研究函數的單調性、奇偶性，達到了以形助數，以數解形的目的.學生通過幾類具體的函數圖象，能由特殊到一般抽象出冪函數的性質，掌握其性質并加以應用.

4.3 以數學學科中相似問題解決辦法培養同構性思維方式

數學思維方式通過系統性思維方式展開知識內容，拓廣性思維方式作用于同一概念下知識的生成和同化，建構出同一概念在不同問題情境下的分類研究.同構型思維方式是作用于不同概念數學知識解決策略的共同點的思維，類比不同的概念在解決問題中的類似點是數學知識體系的類比研究.冪函數是學生進入高中之后，學的第一個具體函數，它的研究方法為后面學習指數函數、對數函數、三角函數提供了研究模板.學生通過冪函數的研究過程，知道了研究函數的一般路徑，同時還掌握了研究問題的一般方法，即研究什么，怎么研究，有無借鑒經驗，從哪方面研究，如何應用等.在平時教學中要通過有效的問題設計來展示數學思維的本質，讓學生在問題解決中提升數學素養.

數學作為一門思維性較強的學科，數學教學的意義在于促進學生數學思維的發展.創設情境，喚醒思維；問題導向，激活思維；活動操作，聚焦思維.需整體把握教學內容，注重知識關聯；需經歷完整研究過程，強化數學思維.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 單墫，李善良.普通高中教科書數學必修第一冊［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2022.

［3］ 喻平.數學核心素養的培養：知識分類視角［J］.教育理論與實踐，2018（17）：3-6.

［4］ 米妍，王光明.整體性數學思維方式視野下的教材閱讀——基于章建躍先生《實數》一章的教材分析［J］.數學通報，2017（10）：8-12.