人教A版新舊教材“函數(shù)的單調(diào)性”內(nèi)容比較分析

摘要：本文中選取高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材“函數(shù)的單調(diào)性”內(nèi)容，從宏觀和微觀兩個維度進行比較，具體對比了課標(biāo)內(nèi)容要求、編排結(jié)構(gòu)、節(jié)引言、概念的引入和形成、概念表述、概念深化及例習(xí)題等方面.通過對比分析發(fā)現(xiàn)，新教材在保留舊教材優(yōu)勢的基礎(chǔ)上進行了改進，落實了新課標(biāo)的基本理念和目標(biāo)要求，突出核心素養(yǎng)的統(tǒng)領(lǐng)性.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；新舊教材；比較

本文中以依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（簡稱“2003年版課標(biāo)”）編寫的2007年第2版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1（A版）》（簡稱“舊教材”）與依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡稱“2017年版課標(biāo)”）編寫的2019年第1版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（A版）》（簡稱“新教材”）中“函數(shù)的單調(diào)性”內(nèi)容作為比較對象，從宏觀和微觀兩個維度比較新舊教材在課標(biāo)內(nèi)容要求、編排結(jié)構(gòu)、節(jié)引言、概念的引入和形成、概念表述、概念深化及例習(xí)題等方面的異同點，正確把握新教材的編寫意圖，用好新教材，提高教學(xué)效果.

1 宏觀比較

1.1 課標(biāo)內(nèi)容要求比較

2003年版課標(biāo)對“函數(shù)的單調(diào)性”的要求是“通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性；學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性”.2017年版課標(biāo)對“函數(shù)的單調(diào)性”的要求是“借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，理解其作用和實際意義”.新課標(biāo)對函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)容要求作了改動，更側(cè)重其符號語言的表達、作用和意義，體現(xiàn)了2017年版課標(biāo)中提出的“引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界”.

1.2 編排結(jié)構(gòu)比較

綜合表1，從章節(jié)目錄來看，主要有兩點變化：（1）舊教材將集合與函數(shù)概念及其性質(zhì)編排在一個章節(jié)，而新教材將集合與常用邏輯用語編排在一個章節(jié)，將函數(shù)的概念與性質(zhì)編排在另一個章節(jié).2017年版課標(biāo)將必修課程分為五個主題，集合與常用邏輯用語屬于主題一“預(yù)備知識”的范疇，而函數(shù)的概念與性質(zhì)屬于主題二“函數(shù)”的范疇，新教材的編排符合新課標(biāo)提出的“編寫者要認真思考內(nèi)容主線的邏輯結(jié)構(gòu)，合理設(shè)計教材的體系”[1].（2）舊教材按照指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用的順序編排，而新教材將冪函數(shù)編排在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)前面.由于冪函數(shù)中的y=x，y=x²，y=x^－1在初中已經(jīng)接觸過，新教材以舊知為邏輯生長點展開學(xué)習(xí)，符合新課標(biāo)提出的“數(shù)學(xué)內(nèi)容的展開應(yīng)循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體”[1].

從前后知識來看，舊教材將函數(shù)的單調(diào)性編排在第一章，學(xué)生對單調(diào)性定義中“任意”一詞難以理解透徹，而新教材將全稱量詞、存在量詞編排在函數(shù)的單調(diào)性前面，此編排考慮到了學(xué)生的認知基礎(chǔ)，體現(xiàn)了2017年版課標(biāo)提出的注重教材整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容之間的有機銜接.

2 微觀比較

2.1 節(jié)引言比較

新舊教材在節(jié)引言上存在異同點，相同之處在于：（1）都指出了“通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中事物的變化規(guī)律”，以此說明研究函數(shù)性質(zhì)的必要性；（2）都是以旁白的形式注釋性質(zhì)的含義；（3）都是給出三幅函數(shù)圖象并觀察和分析圖象特征，提高幾何直觀能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).不同之處在于：（1）給出三幅圖象后，舊教材提出“觀察函數(shù)圖象，說說它們反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律”，而新教材是“說說反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)”，點明主題，指引思考方向.（2）新教材點出了發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的一般方法，即畫出函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象，得出函數(shù)性質(zhì).總之，新教材指出了“為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？[JP2]什么是性質(zhì)？函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些？如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)？”等問題，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，為學(xué)生指明學(xué)習(xí)方向，更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí).

2.2 概念的引入和形成比較

舊教材通過觀察函數(shù)圖象得出圖象上升、下降的特征，提出“如何描述圖象上升、下降呢”.以y=x²為例，采用取值填表格的方式發(fā)現(xiàn)y=x²在（－∞，0］上隨著x的增大，對應(yīng)的函數(shù)值f（x）反而減小，將“圖象直觀”轉(zhuǎn)化為“定性描述”，進而提出“如何利用函數(shù)解析式描述這一發(fā)現(xiàn)”，將“定性描述”轉(zhuǎn)化為“定量刻畫”.新教材開門見山指出“利用函數(shù)圖象研究函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的性質(zhì)，這一性質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性，下面進一步用符號語言刻畫這種性質(zhì)”.以y=x²為例，先描述“圖象特征”，圖象在y軸左側(cè)部分從左到右是下降的，再進行“定性描述”，當(dāng)xlt;0時，y隨x的增大而減小，最后用“符號語言”刻畫；在y軸右側(cè)亦之.

首先，新舊教材都經(jīng)歷了從圖形語言“上升、下降”到自然語言“增大、減少”，再到符號語言“增函數(shù)、減函數(shù)”的過程，也是從具體的直觀描述到形式化的符號表達的抽象過程，其中滲透了數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).其次，都采用從特殊函數(shù)過渡到一般函數(shù)的形式描述函數(shù)單調(diào)的性定義，滲透從特殊到一般的思想，提高學(xué)生抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).不同之處在于：（1）用符號語言描述時，舊教材設(shè)置了思考欄目，留給學(xué)生思考與探索的時間，而新教材直接描述，采用“示范+模仿”的方式.學(xué)生獨立用數(shù)學(xué)語言刻畫y=x²的單調(diào)性是較困難的，因此新教材的處理方式更加妥帖.（2）舊教材以y=x²為例，用符號語言描述歸納概括出增函數(shù)和減函數(shù)的定義，而新教材在以y=x²為例進行示范性描述后，設(shè)置思考欄目再次對f（x）=|x|，f（x）=－x²的單調(diào)性進行符號語言描述，學(xué)生熟悉符號語言的表述方法后才進一步給出單調(diào)性的定義.

2.3 概念表述比較

從表2可以看出，新舊教材在增、減函數(shù)定義的表述上有很大的不同，新教材強調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一種“局部性質(zhì)”，是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，函數(shù)f（x）只有在整個定義域上單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）時，才能稱它是增函數(shù)（減函數(shù)），而舊教材只要在區(qū)間上滿足條件，就稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

2.4 概念深化比較

舊教材在編排完單調(diào)性的定義后沒有加以深化，而新教材設(shè)置了思考欄目，提出了兩個問題.第一個問題是判斷區(qū)間上部分值滿足單調(diào)遞增的條件，能否得出該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增？[JP2]意在辨析“任意”二字.第二個問題是要求例舉在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)和在定義域內(nèi)某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，加深對函數(shù)單調(diào)性定義的理解.

2.5 例習(xí)題比較

新舊教材里的例習(xí)題都包括例題、練習(xí)和習(xí)題三個部分.當(dāng)一道題中的幾個小題相互獨立，考查內(nèi)容完全一致，只是數(shù)值不同時，視為一題.

2.5.1 例習(xí)題內(nèi)容比較

從表3可以看出，在例題方面，舊教材有2道單調(diào)性例題，例1是看圖寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，例2是研究反比例函數(shù)的單調(diào)性，以物理背景呈現(xiàn)，強調(diào)了數(shù)學(xué)知識在物理學(xué)中的應(yīng)用價值，體現(xiàn)了2017年版課標(biāo)提出的建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.新教材的3道例題均是函數(shù)的單調(diào)性證明問題，其中例1是研究一次函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論的思想，例2與舊教材的一致，例3是證明“對勾”函數(shù)的單調(diào)性.證明題的嚴(yán)格推理論證過程有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)表達的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，增強理性思維能力，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

在練習(xí)方面，題量相差不大.在內(nèi)容上，舊教材側(cè)重于根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，而新教材保留了舊教材的一道題目，側(cè)重于用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.在排版上，舊教材以小節(jié)為單位編排，較為集中，而新教材較為分散，如此改動能及時鞏固知識.

在習(xí)題方面，新教材的題量多于舊教材.舊教材將習(xí)題層次分為“Ａ組、Ｂ組”，而新教材則分為“復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索”，這樣的層次設(shè)置使習(xí)題的功能定位更準(zhǔn)確，貫徹了2017版課標(biāo)中“以學(xué)生發(fā)展為本，人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念[1].

2.5.2 例習(xí)題綜合難度比較

本文中采用修正過的青浦模型（如表4所示），從背景、數(shù)學(xué)認知、運算、推理和知識綜合五個方面對例習(xí)題進行綜合難度分析.

計算兩版教材例習(xí)題在每個因素上的加權(quán)平均值，dij表述第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重，直接采用等級權(quán)重，即d_ij=j，n_ij則表示這版教材例習(xí)題中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，而n是樣本總數(shù).求出各難度因素的加權(quán)平均數(shù)得到表５[2].

從圖1可以看出，新教材在數(shù)學(xué)認知、運算、推理和知識綜合上都比舊教材高.從背景指標(biāo)看，教材例習(xí)題的背景單一，以數(shù)學(xué)背景為主.從推理指標(biāo)看，教材例習(xí)題處于無推理水平居多，簡單推理水平次之.從知識綜合指標(biāo)看，教材例習(xí)題大部分僅包含一個或兩個知識點.從數(shù)學(xué)認知和運算指標(biāo)看，新教材明顯高于舊教材，表明新教材更注重探究能力和運算能力的培養(yǎng).

總之，新教材在保留舊教材優(yōu)勢的基礎(chǔ)上進行了改進，貫徹了新版課標(biāo)的基本理念和目標(biāo)要求，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為宗旨，這是新教材較舊教材而言最大的不同點.教師在使用新教材時應(yīng)該充分了解新教材的變化之處，深入思考教材編寫者的編寫意圖，自然地從舊教材過渡到新教材，在教學(xué)過程中真正用好新教材，改進教學(xué)，落實核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］（中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

［2］王建磐，鮑建生.高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望，2014，43（8）：101-110.