培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，提升解決問題能力

摘要：將直觀想象素養(yǎng)滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的重要手段，是探索和形成解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，是高中生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念和形成數(shù)學(xué)思維的基本能力.本文中從幾何直觀和代數(shù)直觀兩個(gè)角度，以解題為例淺析如何培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，提升解決問題能力.

關(guān)鍵詞：直觀想象素養(yǎng)；幾何直觀；代數(shù)直觀

直觀想象素養(yǎng)是借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路［1］.高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了幾何圖形，具備空間思維的基礎(chǔ)，能分析研究對(duì)象的位置形態(tài)及變化規(guī)律，使數(shù)學(xué)問題形象化和具體化，從而找到解決問題的思路、方法［2］.它是在針對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行有效觀察和思考的基礎(chǔ)之上，對(duì)其整體和本質(zhì)的直觀把握.不僅要有豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，更需要在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行理性概括和升華.因此，應(yīng)用直觀想象素養(yǎng)解題需要平時(shí)不斷地積累，最終實(shí)現(xiàn)應(yīng)用自如.

應(yīng)用直觀想象素養(yǎng)解題，就是借助圖形，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、直觀分析、找到解題思路，獲得正確答案.通過(guò)解題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示問題本質(zhì)，獲得解決問題的思想與方法，提升學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力［3］.下面，筆者從幾何直觀和代數(shù)直觀兩個(gè)角度淺析如何培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，提升解決問題能力.

1 幾何直觀

1.1 圖表直觀

對(duì)于一些內(nèi)容抽象、關(guān)系復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，理解題意往往比較困難，可以利用圖表或示意圖直觀地分析題意，把抽象內(nèi)容具體化、復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)潔化，使思維有具體的切入點(diǎn)，深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索.

例1 （2018新課標(biāo)Ⅰ卷理科第3題）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如圖1所示的餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（ ）.

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

分析：題目中新農(nóng)村建設(shè)后，經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，是關(guān)鍵信息.借助新農(nóng)村建設(shè)前后經(jīng)濟(jì)收入比例的餅形圖的直觀性，從圖中讀出相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.

點(diǎn)評(píng)：本題主要是借助圖形的直觀性發(fā)現(xiàn)圖中的數(shù)據(jù)信息，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理，建立數(shù)據(jù)關(guān)系，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述、分析實(shí)際問題，充分體現(xiàn)了直觀想象學(xué)科素養(yǎng)在解題中的應(yīng)用.

1.2 圖形直觀

一些以幾何圖形為依托，求解數(shù)量關(guān)系的題目，如果直接用代數(shù)方法求解，過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算量較大.不妨借助圖形直觀，從幾何角度分析題目中的數(shù)量關(guān)系，找到快捷的解題方法.

例2 （2017新課標(biāo)Ⅰ卷理科第2題）如圖2，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）.

分析：借助八卦圖的直觀性，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)——八卦圖的對(duì)稱性，然后建立面積關(guān)系，求出此點(diǎn)取自黑色部分的概率為π24=π8.故B選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)幾何圖形直觀，建立數(shù)與形的聯(lián)系，通過(guò)運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問題.

1.3 模型直觀

模型直觀是指以實(shí)際事物的模擬性形象來(lái)提供感性材料的直觀方式.實(shí)際生活中一些常見幾何體的物體，以直觀的方式建立幾何關(guān)系.

例3 （2020新課標(biāo)Ⅰ卷理科第3題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（ ）.

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)物為模型，抽象出空間幾何體，根據(jù)幾何體的直觀性建立等量關(guān)系，進(jìn)而解決問題.

1.4 情景直觀

情景直觀是以實(shí)際的事物本身作為直觀對(duì)象進(jìn)行的直觀活動(dòng)，有些數(shù)學(xué)題目源自于設(shè)計(jì)的真實(shí)情景，把情景抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合實(shí)物的真實(shí)數(shù)據(jù)，建立合理的數(shù)量關(guān)系，找到試題的答案.

例4 （2020新課標(biāo)Ⅱ卷理科第4題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ）.

分析：本題中的圜丘壇分為上、中、下三層，每層均有n環(huán)，每環(huán)的石塊數(shù)都是一個(gè)等差數(shù)列，每層的石塊數(shù)是等差數(shù)列的和，再根據(jù)三層之間的關(guān)系建立等式求解每層的環(huán)數(shù).

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)真實(shí)情景培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力，本題從北京天壇圜丘壇的真實(shí)情景中抽象出等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)推理及運(yùn)算.不僅解決了實(shí)際問題，還落實(shí)了直觀想象素養(yǎng).

2 代數(shù)直觀

史寧中教授在《普通高中高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）（解讀）》中談到，直觀想象素養(yǎng)不僅僅局限在幾何直觀方面，也體現(xiàn)在代數(shù)直觀方面.

代數(shù)直觀是以代數(shù)內(nèi)容為切入點(diǎn)，根據(jù)代數(shù)形式不經(jīng)過(guò)演繹推理對(duì)代數(shù)運(yùn)算結(jié)果或概念、性質(zhì)等迅速直接把握的一種判斷能力.高中階段，雖然學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力和邏輯推理能力有一定基礎(chǔ)，但是在有限的考試時(shí)間內(nèi)，學(xué)生需要快而準(zhǔn)地做出答案.因此，一些代數(shù)問題，可以從題目的形式特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)特征，直觀地發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，減少邏輯推理過(guò)程，達(dá)到快速求解的目的.

2.1 數(shù)據(jù)直觀

數(shù)據(jù)直觀是指根據(jù)題目中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，通過(guò)直觀感知，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律，借助已有知識(shí)，找到解決問題的方式.比如，數(shù)列中等差或等比數(shù)列的規(guī)律、歸納類比、楊輝三角，還有根據(jù)散點(diǎn)圖、表格來(lái)擬合函數(shù)等.

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)和數(shù)值變化特征的直觀性，發(fā)揮想象，從特殊到一般，進(jìn)行歸納推理，解決問題.

2.2 數(shù)形直觀

數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)形直觀在解題中起到關(guān)鍵性的作用.數(shù)量關(guān)系與幾何圖形的相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)數(shù)量關(guān)系從幾何角度來(lái)解釋，可以使問題變得直觀而簡(jiǎn)潔；幾何問題在代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理下，可以輕松解決抽象的關(guān)系.如函數(shù)圖象的問題，在數(shù)量關(guān)系的推理下，結(jié)合圖象的直觀性，題目很快得到解決.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性與函數(shù)圖象的大致形狀.首先根據(jù)抽象的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用圖形描述與分析數(shù)學(xué)問題.考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，凸顯直觀想象等學(xué)科素養(yǎng).

2.3 特殊化直觀

一般地，特殊性是普遍性的具體反映，相對(duì)而言，特殊化的情境往往顯得簡(jiǎn)單、直觀.因此，考慮普遍性問題時(shí)，可以直接用特殊情況來(lái)代替.如零點(diǎn)問題、函數(shù)的奇偶性、線性規(guī)劃、絕對(duì)值不等式、解三角形、平面幾何中的最值、復(fù)數(shù)等內(nèi)容常常考慮特殊情況.

點(diǎn)評(píng)：本題把代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為平面幾何區(qū)域，根據(jù)最優(yōu)化的特點(diǎn)，結(jié)合平面圖形的直觀性，直接建立特殊關(guān)系，通過(guò)特殊化直觀想象，得出問題答案.

2.4 結(jié)構(gòu)直觀

所謂結(jié)構(gòu)直觀就是根據(jù)代數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想幾何對(duì)象，發(fā)掘二者間的內(nèi)在邏輯，并在幾何背景下解決代數(shù)問題.結(jié)構(gòu)直觀需要一定的數(shù)學(xué)知識(shí)積累為前提，發(fā)揮直觀想象，把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)構(gòu)特征，凸顯問題本質(zhì)，進(jìn)而直觀解決代數(shù)問題.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想雙曲線的定義，發(fā)掘二者的內(nèi)在邏輯，把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵.

本文中筆者從幾何直觀和代數(shù)直觀兩個(gè)角度分析解題過(guò)程中的直觀想象素養(yǎng)，通過(guò)具體案例探究提升學(xué)生解決問題的能力.限于篇幅沒有進(jìn)行深度展開，目的是通過(guò)解題培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù).希望能給讀者以啟發(fā).

參考文獻(xiàn)：

[1]方厚良，羅燦.談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象與培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（19）：38-41.

[2]鐘曉斌，林新建.“直觀想象”在全國(guó)卷試題中的應(yīng)用探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（7）：31-33.

[3]李昌官.直觀想象視角下的2019年高考數(shù)學(xué)試題研究[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（16）：25-33.