例談高中數學函數解析式的求解方法

摘 要：求函數解析式有配湊法、換元法、待定系數法、解方程組法和借助函數性質等方法，這些方法均不是通用的，需要根據不同的問題情境選擇恰當方法.文章就明確問題情境，確定答題方法例談求函數解析式問題.

關鍵詞：高中數學；函數；解析式；問題情境

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0076-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：陳淑杰（1987.6—），男，安徽省臨泉人，中小學一級教師，從事高中數學教學研究.

函數解析式是函數最基本的表示，解決任何函數問題，都不能離開函數解析式，特別是具體函數問題，甚至有時候抽象函數問題都可以構造出具體函數解析式來解決問題.筆者通過梳理總結發現，求函數解析式的方法是明確的，有配湊法、換元法、待定系數法、方程組法、借助函數奇偶性、借助函數的周期性和根據軸對稱圖象等方法，但是不同的問題應該選擇不同的方法.接下來，文章將從問題情境角度去探究這幾種方法的適用題型和解題策略.

1 配湊法

配湊法針對的問題情境是已知函數f（x）滿足f［g（x）］=m（x），求函數y=f（x）的解析式.解題一般思路是先將函數m（x）通過配湊的方式變為函數g（x）的形式，然后將g（x）整體代換為x.

例1 已知函數y=f（x）滿足f（x-1）=x2-2x+1x，求函數y=f（x）的解析式.

解析 因為函數f（x-1）=x2-2x+1x，

所以f（x-1）=x2-2x+1x=（x-1）2（x-1）+1.

令x-1=t，則f（t）=t2t+1.

所以函數f（x）=x2x+1（x≠-1）.

2 換元法

該方法針對的問題情境是已知函數f（x）滿足f［g（x）］=m（x），求函數y=f（x）的解析式.解題一般思路是先設g（x）=t，再根據假設解出x=h（t），然后將g（x）=t和x=h（t）代入f［g（x）］=m（x）中，形成一個關于t的解析式，最后將t全部換成x即可.

例2 已知函數y=f（x）滿足f（cosx-1）=cos2x-1，求函數y=f（x）的解析式.

解析 設cosx-1=t（-2≤t≤0），則cosx=t+1.

所以f（cosx-1）=cos2x-1=2cos2x-2.

將cosx-1=t和cosx=t+1代入，得

f（t）=2（t+1）2-2=2t2+4t，

再將t換成x，得f（x）=2x2+4x.

所以函數f（x）=2x2+4x（x∈［-2，0］）.

通過例1和例2發現：其實這兩種方法適用的題型是一樣的，即都是針對滿足f［g（x）］=m（x）的函數求解析式，在配湊比較困難的時候，可以選擇換元法，在解題時注意方法的選擇.

3 待定系數法

待定系數法是針對已知函數解析式的形式（如一次函數、正弦函數等）的情境下，要求具體函數的解析式.解題一般思路是先設出函數的解析式，然后根據已知條件建立方程（一般情況下所設的函數解析式需要確定幾個量，就需要建立幾個方程），最后把方程聯立將函數解析式的各項系數求出來即可[1].為了詳細描述解題策略，根據處理路徑，下面分為構建方程組待定系數法和嵌套式待定系數法進行探究.

3.1 構建方程組待定系數法

例3 已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，求函數y=ln（x+a）的解析式.

解析 設切點為A（x0，x0+1）.對函數求導，得y′=1x+a.

因為直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則有

x0+1=ln（x0+a）.①

因為直線y=x+1的斜率為1，

則有1x0+a=1.

②

聯立①②，解得x0=-1，a=2.

因為函數y=ln（x+2）的定義域為xgt;-2，

所以函數y=ln（x+2）（xgt;-2）.

3.2 嵌套式待定系數法

例4 已知f（x）是一元一次函數，且f［f（x）］=2x+3，求函數f（x）的解析式.

解析 設函數f（x）=ax+b（a≠0）.

因為函數f（x）滿足f［f（x）］=2x+3，所以有f［f（x）］=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=2x+3.

則有a2=2，ab+b=3.

解得a=2，b=32-3或a=-2，b=3-32.

所以函數f（x）的解析式為f（x）=2x+32-3或f（x）=-2x-32+3.

4 方程組法

方程組法針對的是關于f（x）與f（-x）構成的方程和f（x）與f（1x）構成的方程，要求函數f（x）的解析式.解題思路是將x與-x（或x與1x）對換，再將兩式聯立解出f（x）即可.下面具體分開進行探究.

例5 （1）已知函數f（x）滿足f（x）-2f（1x）=2x，求函數f（x）的解析式；

（2）已知函數f（x）滿足f（x）+2f（-x）=x-1，求函數f（x）的解析式.

解析 （1）因為已知函數f（x）滿足

f（x）-2f（1x）=2x，③將x換成1x，得f（1x）-2f（x）=2x.④

聯立③④，解得f（x）=-2x3-43x.

所以函數f（x）=-2x3-43x（x≠0）.

（2）已知函數f（x）滿足

f（x）+2f（-x）=x-1，

⑤

將x換成-x，得f（-x）+2f（x）=-x-1.⑥

聯立⑤⑥，解得f（x）=-x-13.

所以函數f（x）=-x-13.

5 借助函數的奇偶性

這種方法主要是針對具有奇偶性的分段函數求解析式.一般情況下是已知函數的一部分區間的解析式，根據偶函數滿足f（x）=f（-x），奇函數滿足f（x）=-f（-x），求出剩余部分區間的解析式即可.

例6 已知函數f（x）是R上的奇函數，當xgt;0時，f（x）=x2+ex，求函數f（x）的解析式[2].

解析 因為函數f（x）是R上的奇函數，所以滿足f（x）=-f（-x）.

當xlt;0時，-xgt;0，所以

f（x）=-f（-x）=-［（-x）2+e-x］=-x2-e-x.

又因為當xgt;0時，f（0）=02+e0=1；

當xlt;0時，f（0）=-02-e0=-1，

所以f（0）=0.

所以函數f（x）=x2+ex，xgt;00，x=0，-x2-e-x，xlt;0.

6 借助函數的周期性

這種方法針對的題型是已知函數為周期函數，并且已知一個小區間的解析式，要求函數另外一個小區間的解析式.一般思路是先確定函數周期和已知部分解析式，然后根據函數的周期性，將已知區間的解析式遞推到要求解析式的區間內即可[3].

例7 已知函數f（x）是周期為2的偶函數，當x∈［2，3］時，f（x）=x-1.求函數f（x）在區間［1，2］時的解析式.

解析 因為函數f（x）的周期為2，

所以f（x+2）=f（x）.

因為當x∈［2，3］時，f（x）=x-1，所以x∈［0，1］時，f（x）=f（x+2）=（x+2）-1=x+1.

又函數f（x）是偶函數，所以f（x）=f（-x）.

則當x∈［-1，0］時，f（x）=-x+1.

則當x∈［1，2］時，f（x）=f（x-2）=-x+3.

7 根據軸對稱圖象求解析式

這種方法針對已知一個函數解析式，要求該函數圖象關于一條直線對稱后的函數解析式.一般思路為：將函數圖象關于直線對稱的問題轉化為點關于直線對稱問題進行處理[4].

例8 （2015年全國Ⅰ卷改編）設函數y=f（x）的圖象與函數y=2x+2的圖象關于y=-x對稱.求函數f（x）的解析式.

解析 設函數y=2x+2的圖象上任意一點

A（x0，y0），點A關于y=-x對稱的對稱點為B（x，y）.

所以過點A，B的直線與y=-x垂直，則y-y0x-x0=1.

并且A，B的中點在y=-x上，即y+y02=-x+x02.

則有y-y0x-x0=1，y+y02=-x+x02，解得x0=-y，y0=-x.

將x0=-y，y0=-x代入y=2x+2，得-x=2-y+2，即y=2-log2（-x）.

所以函數f（x）=2-log2（-x）（xlt;0）.

8 結束語

通過實例分析，在所有探究的方法中，只有配湊法和換元法可以在同一種題型使用，其余方法均是一種方法對應一種題型，文章一一進行了分析，并具體提出了相應方法和答題策略.在解答求函數解析式的問題中，還有一個極易錯的地方是：不管在哪種問題情境下，也不管用哪種方法，在求出函數解析式后，一定要求出函數的定義域，并在求出的解析式后面附上函數的定義域.

參考文獻：

［1］史延芹.求函數解析式的幾種常用方法[J].學周刊（A版），2011（06）：185.

[2] 程煜生.奇偶函數分段解析式的求法[J].高中數學教與學，2002（06）：63-64.

[3] 李繞.根據奇偶性、對稱性、周期性求函數的解析式[J].教育實踐與研究，2012（24）：60.

[4] 宋穩尚.一類對稱曲線的快捷求法[J].中學教學參考，2011（02）：31，35.

［責任編輯：李 璟］