高中數學主干知識復習方法探討

摘 要：高考強調全面考查基礎，加大知識覆蓋面，但同時又強調，全面考查基礎并不是平均用力，而是對支撐中學數學的核心知識突出考查.文章針對2023年全國高考卷中的典型試題進行闡述，以期達到提升學生數學核心素養的目的.

關鍵詞：高中數學；主干知識；復習方法；常見題型

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0082-05

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：張小鴿（1974.8—），女，陜西省渭南人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高中數學的核心主干知識有三角函數與解三角形、數列、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數等[1].那么，怎樣提高主干知識復習備考的有效性呢？本文將針對2023年全國高考卷中的典型試題進行闡述.

1 三角函數與解三角形

1.1 三角求值

三角求值的解題核心是熟練掌握各類公式，并構建完整的知識網絡，特別是用好單位圓、直角三角形等工具，也要注意整體思想、三角函數性質等的綜合應用.

例1 若θ∈（0，π2），tanθ=12，則sinθ-cosθ=．

分析 本題考查同角關系，因為是填空題，所以可以直接利用三角形（勾股數）寫出結果，

注意θ∈（0，π2），tanθ=12，sinθgt;0，cosθgt;0，所以sinθ=15，cosθ=25，則sinθ-cosθ=-55.

1.2 三角函數性質

在研究函數y=Asin（ωx+φ）的性質（單調性、對稱軸、對稱中心等）時往往要用到整體代換，即將ωx+φ看成整體t，轉化為y=Asint形式的性質問題.

例2 已知函數f（x）=cosωx-1（ωgt;0）在區間［0，2π］有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是．

分析 用整體代換求出0≤ωx≤2ωπ，再結合

y=cost的圖象性質，如圖1，可得

4π≤2ωπlt;6π，故

2≤ωlt;3.

注意：什么時候取等號與已知的x范圍有關.

2 數列——新、巧、活

2.1 基本數列，盯緊基本量

例3 已知an為等比數列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，則a7=.

分析 本題明顯可以直接建立方程組求基本量，再求a7，但如果注意到下標特點，可以直接轉化為關于a7，q的方程組，進而簡化運算.

2.2 基本問題，用好通性通法

（1）通項公式求法：常用累加法、累乘法、構造法（基本形式為an+1=qan+d）、Sn與an關系法，也可先不完全歸納然后再證明等.

（2）求和基本方法：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉化法、并項法等.熱點是錯位相減法、裂項相消法.

例4 已知數列an中，a2=1，設Sn為an前n項和，2Sn=nan．

（1）求an的通項公式；

（2）求數列an+12n的前n項和Tn．

分析 由已知易聯想到an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，這里要特別關注第1項，配式相減后可轉化為anan-1=

n-1n-2，然后累乘，但仔細看條件，當n=2時關系式沒有意義.

這時，可以先算出a1=0，a3=2，然后當n≥3時，再累乘求解，或者注意結構特征，當n≥3時，ann-1=an-1n-2=…=a32=1，即an=n-1，再對n=1，2時都滿足上式補充說明，即得an=n-1（n∈N*）.

因為an+12n=n2n，數列an+12n的通項公式結構很清晰，分子、分母分別是等差數列、等比數列，顯然是用錯位相減法求和，屬于基本方法.

2.3 綜合內容，各個擊破

重點考查數學思想方法和基本思維方法，常常通過觀察、比較、類比、歸納、聯想、一般與特殊等綜合應用.遵循“整體——局部——整體”的程序，通過分解、組合發現規律，各個擊破.

例5 已知等差數列an的公差為2π3，集合S=cosan|n∈N*，若S=a，b，則ab=（" ）.

A.-1 B.-12" C.0" D.12

分析 本題綜合考查集合元素的互異性、等差數列、三角函數性質等知識，試題自然、簡潔，可以很好地考查學生的關鍵能力.

集合S=cosan|n∈N*={a，b}，只有兩個元素，即cosan只有兩個不同值.又因為cosan的周期為3，故an在一個周期內有一個角的終邊在x軸上，另外兩個角的終邊關于x軸對稱，如取a1=0，a2=2π3，a3=4π3，得ab=-12.

3 立體幾何——有圖想圖到無圖想圖

3.1 玩轉重要模型

立體幾何中的重要模型有長方體、正方體、球體、正四面體等.

一般地，涉及長方體、正方體載體時要充分注意其對稱性，特別是棱、面對角線、體對角線等數量關系或位置關系.

球的問題的核心肯定是確定球心和球的半徑，球的問題常常化歸為球心和其他點組成的平面或者多面體問題.解題時一般有球不畫球.謹記：球不離心.

例6 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為CD，A1B1的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為．

分析 本題涉及球，抓住球心、球半徑即可.E，F分別是CD，A1B1的中點，以EF為直徑的球面的球心是正方體的體對角線的交點，根據正方體的對稱性，它到各個棱的距離相等，即以EF為直徑的球實際上就是正方體的棱切球，這樣顯然有12個交點.

3.2 綜合情境問題

解答題通常是綜合性問題，基本上都是一半證明一半計算，求解的對象包括直線與平面所成角、二面角的平面角、幾何體的高、線段的長、幾何體的體積等.

涉及空間角的問題，在綜合法視角下，就是通常所說的“一作、二證、三求”.首先概念清晰，可以先利用垂面法、定義法作出高，然后在三角形中求解，也可以考慮等面積、等體積的轉化.坐標法則是法向量與法向量，或者法向量與直線的方向向量之間的運算.

注意：涉及空間角的問題，如果平面的法向量或者關鍵點的坐標不好求解時，也可考慮方向向量法（或基向量法）求解.

例7 如圖2，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=5DO，點F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；

（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

分析 本題第（3）問的常規解法是建立空間直角坐標系，但由于求解點P坐標比較復雜，我們可以由第（2）問的信息，根據方向向量作出并證明二面角的平面角，再結合三角形重心及余弦定理求解作答.

如圖3，過點O作OH//BF交AC于點H，設AD∩BE=G，

由AO⊥BF，得HO⊥AO，且FH=13AH.

又由（2）知，OD⊥AO，則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角.

因為D，E分別為PB，PA的中點，

因此G為△PAB的重心.

即有DG=13AD，GE=13BE.

又FH=13AH，

即有DH=32GF.

因為cos∠ABD=4+3/2-15/22×2×6/2=4+6-PA22×2×6，解得PA=14，

同理得BE=62.

于是BE2+EF2=BF2=3.即有BE⊥EF.

則GF2=（13×62）2+（62）2=53.

從而GF=153，DH=32×153=152.

在△DOH中，OH=12BF=32，OD=62，DH=152，則cos∠DOH=6/4+3/4-15/42×（6/2）×（3/2）=-22.

所以sin∠DOH=1-（-22）2=22.

所以二面角D-AO-C的正弦值為22.

4 概率與統計——注意數據整理

4.1 排列與組合，理解兩個原理

深刻領會計數原理的思維模式

.要熟練計數問題的思考路徑：完成什么事？分類還是分步？直接求解還是間接求解？

注意：分類做到標準統一、不重不漏，分步做到連貫、獨立且互不干擾，特殊元素要優先，回歸基本定理，靈活選擇角度，計算細心.

例8 某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．

直接法：根據分類加法原理，每類選修課至少選修1門，分兩類：選修2門或選修3門，故不同的選課方案共有C14·C14+C14·C24+C24·C14=64.

間接法：先考慮從這8門課中選修選2或3門，再減去只選修體育或藝術，故不同的選課方案共有C28+C38-2（C24+C34）=64.

4.2 概率與統計、概念、模型、數據處理方法

統計的研究對象是數據，核心是數據分析.但首先應是概念的理解，而不光是計算，且概念的理解是建立在具體案例上.

例9 有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（" ）.

A.x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數

B.x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數

C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差

D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

分析 本題涉及兩組數據，只要回歸概念，就會發現，去掉“極端數據”后會影響平均數，一般不會相等；中位數是按順序排列的一組數據中居于“中間位置”的數，兩端各去掉一個數據并不會影響中位數；標準差反映一組數據的離散程度，去掉“極端數據”后標準差應該減少；根據極差的概念與已知條件顯然D選項成立，故選BD.從以上解題過程中學生要體會統計思維與確定性思維的區別.5 解析幾何——優化運算

5.1 直線與圓，回歸圓心，圓不離心

試題一般不會單獨考查圓，而是會結合直線、橢圓等.涉及圓的問題，無論是否提及圓心，只要從圓心出發思考問題，基本上都是一帆風順，都是最好的視角，就是所謂的“圓不離心”“回歸圓心”，而且這樣往往可以優化運算.

例10 過點（0，-2）與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα=（" ）.

A.1" B.154" C.104" D.64

分析 將圓x2+y2-4x-1=0化為標準形式（x-2）2+

y2=5，可得圓心C（2，0），半徑r=5.

如圖4，過點P（0，-2）作圓C的切線，切點為A，B，分別與圓心連接，由切線與圓的性質，數量關系則一目了然.

因為|PC|=22+（-2）2=22，

則|PA|=|PC|2-r2=3.

可得sin∠APC=522=104，cos∠APC=322=64.

則sinα=sin∠APB=2sin∠APC·cos∠APC=154.故選B.

5.2 圓錐曲線客觀題，回歸概念與性質

解析幾何的客觀題一般具有“重概念考性質”的特點，求解時只要從概念和性質出發，往往可以準確確定有關的基本量a，b，c，p，e等，從而盡量減少運算.

例11 設A，B為雙曲線x2-y29=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（" ）.

A.（1，1） B.（-1，2） C.（1，3） D.（-1，-4）

分析 設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x0，y0），則有x21-y219=1，x22-y229=1，兩式相減，得y1-y2x1-x2=9x0y0.

可以看到中點坐標的比值與斜率有關，那么直線的斜率要滿足什么條件？從選擇支的特點可以發現，A，B兩點應在雙曲線左、右兩支上，而雙曲線的漸近線方程為y=±3x，所以滿足條件的直線斜率的取值范圍是-3lt;kABlt;3，即-3lt;9（x0y0）lt;3.

所以-13lt;x0y0lt;13.故選D.

5.3 解析幾何解答題，優化運算

優化運算需要從問題轉化與運算途徑兩個方面進行.一方面是充分利用幾何性質將幾何問題翻譯為代數問題，以期達到減少運算；另一方面是選擇運算途徑，為此，就要盯緊方程、方程的根及其相關算理，結合方程與函數的聯系及幾何特征，精準設計運算程序，在細節上下功夫，優化運算.

例12 設橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左右頂點分別為A1，A2，右焦點為F，已知|A1F|=3，|A2F|=1.

（1）求橢圓方程及其離心率；

（2）已知點P是橢圓上一動點（不與端點重合），直線A2P交y軸于點Q，若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍，求直線A2P的方程．

分析 本題第（2）問的傳統解法，是先設直線A2P的方程，與橢圓方程聯立，消去y，再由韋達定理得

xA2·xP，進而得到點P和點Q坐標，再由S△A2QA1=S△A1PQ+S△A1A2P=2S△A2PF+S△A1A2P得2|yQ|=3|yP|，最后得到關于k的方程，解出k，代入直線A2P的方程得到答案.

事實上，我們可以充分利用三角形面積之間的關系得出點P的橫坐標，代入橢圓方程得出點P的縱坐標來解決.

由第（1）問可得|A2F|=14|A1A2|.

所以S△A2PF=

14S△PA1A2.

又S△A1PQ=2S△A2PF，

所以S△A1PQ=12S△PA1A2.

所以|PQ|=12|PA2|.

設P（x0，y0），當x0lt;0時，PQ=12PA2，此時P與A1重合，不合題意；

當x0gt;0時，QP=13QA2，所以x0=23，代入橢圓方程得P（23，±263），

因此kA2P=±62.

所以直線A2P的方程為y=±62（x-2）.

6 函數與導數——堅定函數思想

6.1 理解概念，活用已知在復習過程中，熟練掌握常見函數的單調性、奇偶性、周期性和對稱性等基本性質，要從模型背景、研究方法、個性特征、漸近線、重要切線、性質應用等方面進行全面深入的復習.

例13 已知f（x）=xexeax-1是偶函數，則a=（" ）.

A.-2"" B.-1"" C.1"" D.2

分析 題目給出了函數的奇偶性，雖然可以直接利用定義形式f（-x）=f（x）求解，但代數式變形比較復雜.若從函數特征入手，解析式的分子、分母同除以ex，轉化為熟悉的函數形式，即f（x）=xexeax-1=

xe（a-1）x-e-x，由于f（x）是偶函數，則g（x）=e（a-1）x-e-x必需為奇函數，因而a-1=1，即a=2.故選D.

6.2 熟練通法，探索未知

課本通過研究幾種基本函數給出了研究函數的途徑與方法，要在復習過程中深入理解.研究函數有兩個視角：“數”與“形”，研究程序首先是定義域，其次是對稱性，這樣可能事半功倍.

例14 設a∈（0，1），若函數f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是.

分析 由題意可知，原問題等價于，在（0，+∞）上f ′（x）=axlna+（1+a）xln（1+a）≥0恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得（1+aa）x≥

-lnaln（1+a）在（0，+∞）上恒成立.

而a∈（0，1）時，函數y=（1+aa）x在（0，+∞）上單調遞增，

所以（1+aa）0=1≥-lnaln（1+a）.

由于a+1∈（1，2），ln（1+a）gt;0，所以有ln（1+a）gt;-lna，0lt;alt;1.解得5-12≤alt;1.

7 結束語

總之，不論高考數學如何改革，數學教學的根本任務是發展學生的數學思維能力，這一點永遠都不會變.只有學生的數學思維能力提高了，學生真正理解了數學，才能以不變應對高考的變化.以上就是對高中數學主干知識復習有效性方面的探究，期待這些想法能夠為即將參加高考的師生提供一些啟示.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李 璟］