蘇教版高中數學三角函數解題中輔助角公式的應用剖析

摘 要：文章首先概述了輔助角公式的基本概念，隨后詳細探討了其典型應用，針對輔助角的選取原則、常見轉換方法及與其他三角恒等式的結合運用.通過系統地分析與總結，幫助學生更好地掌握輔助角公式，提高解決三角函數相關問題的能力.

關鍵詞：蘇教版；高中數學；三角函數；輔助角

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0095-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：唐佳俊（1981.2—），男，江蘇省泰州人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

三角函數作為高中數學課程的重要組成部分，其應用范圍廣泛，解題方法多樣.在眾多解題技巧中，輔助角公式無疑是一把銳利的“尖刀”，能夠有效簡化復雜的三角函數表達式，為解題開辟一條捷徑.然而，對于許多高中生而言，輔助角公式的靈活運用仍是一個難點.如何準確把握輔助角公式的本質，在何時何地巧妙運用這一利器，成為困擾學生的難題.本文立足于蘇教版高中數學教材，著眼于輔助角公式在三角函數解題中的實際應用，旨在為學生提供一份詳盡而實用的指南.

1 高中數學三角函數解題中輔助角公式概述

輔助角公式的本質是將復雜的三角函數表達式轉化為更為簡潔的形式，使原本晦澀難懂的問題豁然開朗.

輔助角公式的基本形式為acosα+bsinα=

（a2+b2）·cos（α-φ），其中φ=arctan（b/a）.這個看似簡單的公式，蘊含著深刻的幾何意義和代數變換，它巧妙地將兩個三角函數的和轉化為單一的余弦函數，不僅簡化了表達式，還為進一步運算和分析鋪平了道路.在蘇教版高中數學教材中，輔助角公式被賦予了重要地位，它不僅是解決復雜三角函數問題的有力工具，更是培養學生數學思維、提高解題能力的重要載體.

2 輔助角公式在高中數學中的典型應用

2.1 化簡復雜三角函數表達式

在高中數學的三角函數解題中，化簡復雜的三角函數表達式是一個常見且重要的步驟.輔助角公式在這一過程中扮演了關鍵角色.

例1 已知f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R），

（1）求函數f（x）的取值范圍；

（2）求函數的最小值.

分析 （1）求函數f（x）的取值范圍，首先分析3sin2x，由于sin2x的取值范圍是［-1，1］，所以3sin2x的取值范圍是［-3，3］.

其次分析2cos2x，由于cos2x的取值范圍是［0，1］，所以2cos2x的取值范圍是［0，2］.

因此f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R）的取值范圍是［m-3，m+3+2］.

（2）要找到函數的最小值，需要同時考慮

3sin2x和2cos2x的最小值.

因為3sin2x的最小值為-3，2cos2x的最小值為0，所以，函數f（x）的最小值為f （x）min=-3+0+m=m-3［1］.

因此函數f （x）的最小值是m-3.

通過這一過程，我們成功地將復雜的三角函數表達式轉化為一個較為簡單的形式，便于進一步分析和計算.這一應用不僅展示了輔助角公式的威力，也體現了數學中化繁為簡的美妙之處.

2.2 解三角函數的最值

在解三角函數的最值問題中，輔助角公式同樣是一種強有力的工具.通過將復雜的三角函數表達式轉化為簡單的形式，我們可以更容易地找到其最大值或最小值.下面以一個具體例子來說明這一過程.

例2 若函數y=2sinx+acosx+4的最小值為1，則實數a=.

分析 已知其最小值為1，我們需要求出常數a.

首先，使用輔助角公式將y=2sinx+acosx+4轉化為一個簡單的形式.設A=2和B=a，則

2sinx+acosx=A2+B2sin（x+φ），

其中，φ=arctan（BA）=arctan（a2）.

因此，原表達式可以改寫為

y=4+asin（x+φ）+4.

由于sin（x+φ）的取值范圍為[-1，1]，我們可以進一步分析y的取值范圍，即a=5.

通過這一例子，我們可以看到輔助角公式在解三角函數最值問題中的應用，將復雜的三角函數表達式轉化為一個簡單的形式，不僅使求解過程更加直觀和容易，還能有效地提高解題效率和準確性.

2.3 函數圖象的變換

函數圖象的變換是高中數學的重要內容之一，通過圖象變換，我們可以更直觀地理解函數的性質.輔助角公式在這一過程中也有著廣泛的應用.下面通過一個具體例子來分析函數圖象的變換.

例3 設f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2，

（1）求f（x）的單調遞增區間和對稱中心與對稱軸；

（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移π3個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（π6）的值．

分析 （1）因為sin（π-x）=sinx，

所以f（x）=23sin2x-（sinx-cosx）2

=23sin2x-（sin2x-2sinxcosx+cos2x）

=23sin2x-（1-2sinxcosx）

=23sin2x-1+2sinxcosx.

由于sinxcosx=12sin2x，

所以f（x）=23sin2x-1+sin2x.

通過求導法可以進一步分析其單調遞增區間：

f ′（x）=43sinxcosx+2cos2x，

解f ′（x）=0可以找到臨界點，從而確定單調遞增區間.

對稱性方面，函數f（x）具有周期性和對稱性.可以分析發現其對稱中心和對稱軸.

（2）將y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即x→x2.即y=f（x2）.

再將圖象向左平移π3個單位，即x→x+π3.

即y=f（x+π/32）=f（x2+π6）.

所以g（x）=f（x2+π6）.

所以g（π6）=f（π6×12+π6）=f（π4）［2］.

將x=π4代入原函數f（x）即可得到g（π6）的具體值.

通過以上分析，可以看出輔助角公式和函數圖象變換在理解和解決三角函數問題中的重要性.

3 輔助角公式的解題技巧與方法

3.1 輔助角的選取原則

在運用輔助角公式解題時，選擇合適的輔助角至關重要.通常情況下，我們應優先考慮能夠簡化表達式、突出重點信息的角度.選取輔助角時，要著眼于化繁為簡，使原本復雜的問題更加直觀明了.同時，輔助角的引入應盡量避免出現冗余或無關的信息，以免增加不必要的計算量.3.2 常見的輔助角轉換方法

在三角函數解題中，我們常常需要在不同的角度表示之間進行轉換，這時就需要運用一些常見的輔助角轉換方法.例如，利用倍角公式將簡單角度轉化為復雜角度，或反之利用半角公式將復雜角度化為簡單角度.同時，我們還可以借助和差化積、積化和差等恒等變換，實現不同角度表示之間的相互轉化.在具體運用時，我們要根據問題的特點和需要，選擇恰當的轉換方法.靈活運用各種輔助角轉換技巧，能夠幫助我們簡化問題、拓展思路，提高解題效率和準確性.此外，在轉換過程中，我們還要注意條件的等價性，確保轉換前后表達式的一致性.

3.3 結合其他三角恒等式的應用

輔助角公式的威力固然強大，但在實際解題中，我們往往需要將其與其他三角恒等式相結合，發揮協同效應.例如，在化簡復雜三角函數表達式時，我們可以先運用輔助角公式將其轉化為簡單形式，再利用其他恒等式如倍角公式、降冪公式等進一步化簡.在求解三角函數方程時，我們可以先引入輔助角將方程轉化為相對簡單的形式，再結合其他恒等關系求解.總之，靈活運用輔助角公式與其他三角恒等式的組合，能夠發揮各自的優勢，取長補短，提高解題的效率和質量.這就要求我們在學習過程中，不僅要深入理解每一個公式和恒等關系，更要注重它們之間的內在聯系，培養融會貫通、靈活運用的能力.

4 結束語

輔助角公式作為高中數學三角函數解題的重要工具，其應用貫穿于方方面面.通過深入剖析輔助角公式在蘇教版高中數學中的典型應用，我們可以看到，無論是化簡復雜三角函數表達式、解三角函數最值問題，還是探究函數圖象的變換，輔助角公式都能發揮其獨特的優勢，為解題提供便捷高效的途徑.然而，輔助角公式的運用絕非一蹴而就，它需要我們在深刻理解其內在原理的基礎上，掌握靈活多變的解題技巧與方法，選取合適的輔助角、運用恰當的轉換方式，并將輔助角公式與其他三角恒等式相結合，這些都是我們在解題實踐中需要不斷探索和積累的寶貴經驗.作為教育工作者，我們要以開放的心態、嚴謹的態度來對待輔助角公式的教學和應用.

參考文獻：

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[2] 余玚.上海高一學生三角函數學習的SOLO水平調查研究[D].上海：華東師范大學，2015.

［責任編輯：李 璟］