利用尺規作圖引領學生探索數學之美

【摘 要】文章聚焦尺規作圖這一探索數學之美的奇妙工具，分析尺規作圖在數學教育中的重要性以及有效的教學策略，討論新課標對尺規作圖的要求，并提出啟發式教學、探究學習和創新實踐等教學策略，激發學生的學習興趣和創造潛力，使他們在解決具體幾何問題時能夠深刻體驗數學之美。

【關鍵詞】尺規作圖 數學教學 教學策略

數學的魅力在于其神秘性和吸引力。尺規作圖，作為數學領域中的一項基本技能，更是探索數學之美的奇妙工具。通過這一工具，學生可以領略到幾何圖形的精確與和諧，感受到數學原理的深邃與力量。

一、尺規作圖的歷史和文化背景

尺規作圖，一種通過使用無刻度的直尺和圓規進行圖形構造的技藝，它融匯了數學與藝術的精髓。古希臘時期以來，無數偉大的數學家和哲學家，如歐幾里得、阿基米德等都熱衷于尺規作圖的研究。他們通過這種方法探索和證明各種幾何定理，為數學的發展鋪設了堅實的基石。在那個時代，尺規作圖不僅是一種實用的技能，更被視為一種藝術形式，一種哲學思想的表達方式。

除了在學術領域的廣泛應用，尺規作圖在建筑、藝術等領域也占有舉足輕重的地位。建筑師們經常使用尺規來設計和繪制建筑物的藍圖，藝術家們也通過尺規作圖創作出令人驚嘆的幾何圖案。這些實踐應用不僅體現了尺規作圖的實用性，也豐富了其文化和藝術內涵。通過學習和欣賞尺規作圖，我們不僅可以領略到數學的魅力，還可以更好地理解和欣賞數學以及藝術的美妙之處。

二、尺規作圖的課標要求及教學說明

自新課標實施以來，尺規作圖作為一項新增內容，吸引了教師們的廣泛關注并激發了熱烈討論。對小學數學教育來說，這無疑是一個全新的視角。在“圖形與幾何”領域，尺規作圖成為重要的學習點。為了幫助學生更好地掌握這一技能，教材設計了三個階段的學習活動。在第二學段，學生將有兩次學習機會，而到了第三學段，則會有進一步深入學習的機會。這樣安排的目的是逐步培養學生掌握尺規作圖的基本技能，同時發展他們的空間觀念和幾何直觀。在具體實施教學時，教師應以新課標為指導，依托教材內容，深入挖掘其中的教育資源，以達成教學目標。

首次學習設置在第二學段。新課標指出，要基于對線段特性的理解，引導學生使用直尺和圓規作出一定長度的線段，通過這個過程感受線段的長度與兩點間距離的關系，并增強幾何直觀。學生使用直尺和圓規巧妙地畫出線段，體驗長度與距離的聯系。在此過程中，他們不僅鍛煉了操作技能，也開啟了對空間概念的認知。

具體的教學策略包括：

（1） 繪制直線：指導學生使用無刻度的直尺自由地在紙上繪制直線，幫助他們了解兩點足以確定一條不受外界條件約束的直線。

（2） 確定線段長度：向學生展示如何使用圓規來測量并確定線段長度，讓他們認識到圓規兩腳之間的距離決定了線段長度，這是一種直接且精確的測量方法。

（3） 作出等長線段：指導學生利用圓規在已畫直線上標定兩端點，從而作出與原線段等長的線段。這一步鞏固了學生對“兩點一線段”概念的理解，并使其在實踐中體會到線段長度的精確性。

第二次尺規作圖的學習同樣安排在第二學段，新課標強調利用直尺和圓規來輔助對圖形周長的教學，核心在于借助作圖過程，使學生直觀感受并理解周長的概念。周長代表圍繞某一面積的總邊緣長度，是個較為抽象的概念。通過動手作圖的方式，把這個抽象概念與學生的觸覺體驗相結合，可以幫助他們在二維圖形與一維線段之間建立聯系，增強幾何直觀。

教師要鼓勵學生使用直尺和圓規，自主地去體會圖形周長的概念。教材以探究三角形的周長為例，讓學生使用尺規進行測量和計算，深刻地把握三角形周長的概念及構成原理。在這個過程中，學生們將感知到線段長度的可加性特質，并理解構成三角形周長的幾何概念。

此次教學活動的目的是幫助學生培養初步的幾何直觀和推理意識，同時提升他們的數學素養和解決問題的能力。這種互動式的學習體驗還能激發他們對數學學習的熱情和求知欲。

具體的教學策略包括以下幾個步驟：

（1）首先指導學生用直尺畫出一條直線作為基準。

（2）接著講解如何使用圓規準確測量三角形的三邊長。

（3）然后，學生需要按照實際的三角形形狀，將這些邊首尾相連地繪制在基準直線上，形成一個封閉的輪廓，其總長度即三角形的周長。

這樣的教學方法不僅加深了學生的理解、提升了其參與感，還增強了他們探究幾何知識的熱情。

第三次尺規作圖的學習安排在第三學段，新課標提出，要引導學生利用直尺和圓規，基于給定線段來繪制三角形，探索并理解三角形任意兩邊之和大于第三邊的規律，并能闡述其背后的原理。通過這一過程，學生將加深對幾何圖形特性的認識，并培養推理能力。

在這個學習階段，可以進一步拓展學生對幾何圖形的理解。學生使用尺規工具，不僅識別出了圖形中的各種角——無論是直角的銳利還是鈍角的柔和，還耐心地尋找并標注了所有等角，豐富了對幾何世界的認識。

教學指導側重于提供幾組給定長度的線段（每組包含三條線段），引導學生利用這些線段通過尺規作圖嘗試畫出不同的三角形，討論哪些組合能夠形成三角形，哪些不能，探究其中的原因。

具體的教學策略如下：

（1）畫一條直線，并在其上標出一段給定長度的線段作為三角形的預期底邊。

（2）以線段的兩個端點為圓心，將圓規展開至給定線段長度，并以此為半徑來畫弧，查找是否存在交點。

（3）通過這樣的操作，學生可以直觀地發現哪些線段組合能組成三角形，哪些不能，并理解其背后的幾何規律。

史寧中教授強調，加強尺規作圖的教學不僅能幫助學生構建對圖形的直觀感知，提升空間想象能力，還能幫助其更好地認識抽象概念。通過三次遞進的教學活動，借助尺規作圖這一切入口，采用漸進式的學習結構，讓學生在操作實踐中串聯知識點，逐步攀登思維的階梯，構建起思維鏈，這樣有助于學生更深刻地領會幾何圖形的基本概念與性質，從而提升他們的空間思維能力和問題解決能力。

三、尺規作圖的教學關鍵點

尺規作圖是幾何學皇冠上的璀璨寶石，它不僅教導我們如何用精確的線條描繪世界，更在潛移默化中加深了我們對數學原理的理解。它讓我們不僅能掌握技能本身，還可以形成對幾何形態深度理解和探索的一種熱忱。

對于新手而言，把握尺規作圖的基本概念至關重要。直線、射線、線段和圓這些基本圖形的作圖法及性質構成了所有復雜圖形的基礎，正如建筑的磚石，唯有熟練地掌握它們，才能構筑起屹立于理論之巔的幾何大廈。在教學過程中，以下幾個關鍵點應被重視，以確保教學過程的流暢性、邏輯性、吸引力和美感。

（一）注重學生的個性化需求，操作要充分

每個學生都擁有獨特的學習風格和興趣點，因此教師必須根據他們的個性化需求來確定教學計劃和方法。特別是在小學階段，學生正經歷從具象思維向抽象邏輯思維的轉變，通過動手操作活動，能夠有效地聯結數學知識與思維能力。利用學生的好奇心，教師可以先讓他們自由選擇繪圖工具，再引導他們使用無刻度的直尺和圓規，在動手動腦的過程中主動探索，不斷調整作圖步驟和方法，在實踐中積累寶貴的經驗，最終達到掌握精確作圖技巧的目標。

例如，在繪制等長線段的活動中，學生可以自主選擇各種工具，包括但不限于有刻度的直尺、校牌、量角器、無刻度的直尺、圓規以及繩子等。他們可以盡情嘗試每種工具，去發現每種工具的獨特之處及使用的局限性。之后，學生可以對這些不同的作圖方法作比較分析，以找出最有效且最精準的方式。

通過小組討論與交流，學生將親身體驗圓規在測量和作圖時的精確性和優越性。在這一過程中，他們會逐步領會幾何原理，如兩點決定一條線段，或者兩定點之間線段最短的概念。這樣的教學方式不僅能幫助學生更深入地理解和掌握幾何原理，還能夠提升他們的實際操作能力和解決問題的技巧。

（二）注重師生的互動和參與，作圖要留痕

教學不僅僅是知識的傳遞，更是師生之間的交流和互動。教師需要積極引導學生參與到教學過程中，鼓勵他們提出問題和思考，以促進知識的掌握和理解，留下自己的想法，即作圖痕跡。作圖痕跡是學生作圖思路和作圖過程的具體體現，能反映學生的作圖技巧，也能衡量學生的作圖水平。

例如，在引導學生認識三角形的周長時，教師應該保留學生的作圖痕跡，包括畫在同一條直線上的三條邊和中間充當線段端點的小弧線。這樣可以讓學生清晰地感知到線段長度的可加性，即三條線段首尾連接、依次排開，形成一條連續的“線”，這就是三角形的周長。通過這種方式，學生可以更形象地理解三角形的周長是“線”的累加，為后續區分周長和面積做作鋪墊。因此，教師應該鼓勵學生保留作圖痕跡，以便更好地理解和掌握數學知識。

（三）注重教學的生動性和趣味性，練習要延伸

在教學時，教師不僅要通過運用各種生動有趣的教具和教學方法，激發學生的學習興趣和動力，讓他們更加愉快地學習，同時也要注意三個課時之間的銜接，還要和初中的尺規作圖進行銜接。所以，教師可以根據學生的實際情況，對三節課的內容作適當的拓展延伸，從而提升學生的數學思維。

例如，在第一節課中，可以讓學生畫一條等長的線段，并以同一個點為中心，多畫幾條相等的線段。這樣，學生可以觀察到這些線段雖然長度相等，但它們的方向卻不同。通過這個活動，可以引導學生思考如何將一維的線段轉化為二維的圓形。

在第二節課中，可以讓學生探究三角形的周長。之后，可以讓學生動手探究正方形的周長，并總結正方形的周長計算公式。這樣做可以讓學生更加深入地理解周長的概念，并且通過自己動手操作得出結論，有助于增強學生的自信心和成就感。

在第三節課中，可以讓學生用尺規探究三角形的三邊關系。首先，可以讓學生畫一個與給定三角形完全一樣的三角形，然后問學生這樣畫的理由。通過這個活動，可以引申出全等三角形的證明方法，為學生初中數學的學習打下基礎。同時，也可以讓學生更加深入地理解三角形的基本性質和三邊關系。

教師應該在數學教學中注重尺規作圖的教學，為學生提供充分的實踐機會和指導，幫助他們掌握這一重要的技能。同時，也要關注學生的個體差異和需求，為他們提供個性化的教學和支持，讓每個學生都能在數學學習中得到成長和收獲。

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