初中數學動點問題的類型及解題策略

摘要：初中數學中，動點問題是重要的題型之一，也是難點問題.動點問題涉及的知識點較多，題目類型更是復雜多樣，難以尋找解題規律，是學生解題中的難點.因此，在初中數學解題中，需要考慮動點問題的特點，深入探究，突破重難點，有效解答動點問題.本文中結合具體例題探究動點問題解題策略.

關鍵詞：初中數學；動點問題；解題策略

在初中數學中，動點問題是一種比較靈活的綜合性問題，有著較大的難度.動點問題涉及多方面知識，如數軸問題、幾何問題、面積問題以及函數綜合問題等.在解題的過程中，找出已知與未知的關系是解題的關鍵，需要利用分類討論、函數思想和數形結合思想等.因此，在解題中，需要厘清數量關系，熟練利用知識間的關系，明確動點問題解題思路.

1 常見的動點問題類型

1.1 動點與多邊形的問題

初中數學中，涉及到的幾何圖形主要有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形以及矩形等，在此基礎上引入動點，會增加解題難度.解答此類問題時，根據題目條件，分析數量關系，找出變量與已知的聯系，找出動點構成特殊圖形的位置，有效解答動點問題[1].

1.2 點在圓上的運動問題

圓是初中數學中的重點內容，有著其特殊性，當動點在圓上或者圓內運動時，要求學生解決最值問題，即求圓上的點到圓內或者圓外的點的最值，或求圓上一點到與圓相離直線的距離的最值.這兩種類型是比較常見的最值問題，可以根據三角形的性質以及三邊關系，完成解答.對于“圓定點動”的數學問題，可以此模型作為基礎，加深學生對知識的理解與掌握，從而靈活解答問題.

1.3 點在函數圖象上的運動問題

初中數學中學習的函數類型主要有一次函數、二次函數、反比例函數，一次函數的圖象是一條直線，二次函數的圖象是一條拋物線，反比例函數則是雙曲線.在初中數學考試中，函數問題是一種綜合性較強的問題，如動點在函數圖象上運動，求解線段長度、面積最值等，還有與三角形相似、全等相關的問題.

2 初中數學中動點問題的解題策略

2.1 結合函數性質，解答動點問題

在初中數學中，二次函數是重要的內容，在最值問題的求解中，通常是利用二次函數性質進行解答.在動點問題中，求解最值時，需要結合題目的條件，假設出相應的參數，根據相關的性質與定理，對問題進行思考解答.同時，在解題時，還需全面分析自變量的取值范圍[2].

[KG1]圖1

例1如圖1所示，已知拋物線的解析式為y=-1/2x²+mx+n，A，B兩點是拋物線與x軸的交點，點C是拋物線與y軸的交點，同時，拋物線的對稱軸與x軸相交于點D.已知A（－1，0），C（0，2），在線段BC上有一動點E，過點E向x軸作垂線，和拋物線的交點是F，當四邊形CDBF面積取最大值時，則點E的坐標是________.

分析：通過分析，可知四邊形CDBF面積等于△CDB的面積與△BCF的面積之和，由于△CDB的面積為定值，所以，想要四邊形CDBF的面積最大，則只需△BCF的面積最大.通過假設出點E的坐標，將△BCF的面積表示出來，求解點E的坐標.

解析：如圖2所示，作EG垂直x軸，垂足為G，和拋物線的交點為F，連接CF，BF.易求得拋物線的解析式為y=－1/2x²+3/2x+2，直線BC的解析式為y=－1/2x+2.因為點E在BC上，所以設點E的坐標為（x，－1/2x+2）（0＜x＜3），于是點F的坐標是（x，－1/2x²+3/2x+2）.所以EF=－1/2x²+3/2x+2－（－1/2x+2=－1/2x²+2x.

根據鉛錘法，可以得出S_△BCF=1/2EF·OB=-（x－2）²+4.根據二次函數的相關性質，可以得出點E的坐標為（2，1）時，△BCF的面積取最大值，此時四邊形CDBF的面積最大.

在解題過程中，通過觀察，將四邊形進行拆分，對問題和條件作出相應的轉化，假設出動點坐標，根據相關公式和性質，思考解決問題.

2.2 利用熟悉圖形，解決動點問題

在解決動點習題時，閱讀和分析題目條件，根據要求進行轉化，利用動點的特殊情況與位置，作出圖形，實現動態向靜態的轉化，找到解題切入點，明確解題的步驟[3].

例2如圖3所示，已知矩形OAHC中，OC=8，OA=12，B為CH的中點，連接AB.M，N為兩個動點，動點M從點O沿OA邊向點A運動，動點N從點A沿AB邊向點B運動.兩點同時開始運動，速度均是1個單位長度/s，連接CM，CN，MN，假設運動時間為t s（0＜t＜10），當t為何值時，△CMN是直角三角形？

分析：為了證明△CMN為直角三角形，可以分三種情況討論，即∠CMN為直角、∠MNC為直角、∠MCN為直角，分別得出t的值.

解析：如圖4所示，過點N作OA的垂線，與OA交于點F，與CH交于點E.因為△BEN∽△BHA，所以BN/AB=EN/AH，即10－t/10=EN8，則EN=4（10－t）5，進一步求出FN=4/5t.根據題意，由于直角不明確，因此要證明△CMN是直角三角形，需要分下列三種情況討論.

（1）當∠CMN為直角時，可得AF=3/5t，所以MF=12－8/5t.因為△COM∽△MFN，所以OC/MF=OM/FN，求出t=7/2.

在解題中，根據題意進行分析，利用三角形相似和勾股定理，解答動點問題.動點在不同的位置構成的圖形不同，因此需要進行分類討論，做出相應的總結，完成問題的解答.

2.3 根據動點的特殊位置，準確解答問題

在動點問題中，動點在特殊的位置會構成一種特殊的幾何圖形，如相似、直角三角形等.解題時，根據特殊位置做出處理，將復雜問題簡化處理，采取動靜結合的方式，找出其中的關系，完成題目解答.同時，利用圖形呈現動點軌跡，結合所學知識進行分析，實現未知與熟悉知識的轉化，根據動點過程和圖形變化，找出點運動時的隱含條件，找到解題的切入點.

例3如圖5，已知△ABC的兩個頂點是A（0，1），C（1，0），∠BAC=60°，∠ACB為直角，在坐標系內，存在一異于點A的動點P，以P，B，C為頂點的三角形與△ABC全等，則點P的坐標為_______].

分析：根據已知條件，直角三角形ABC中，其中一個角是60°，結合AC=可求出AB，BC的值.因為點P為動點，所以以P，B，C為頂點構成的三角形難以確定，需要分類討論，畫出相應的圖形，找出關鍵信息.

解析：（1）如圖6，若△ABC≌△PBC，作點A關于BC的對稱點P，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，進而證得△AOC≌△PMC，計算出點P的坐標為（2，-1）.

在解題時，能根據題意畫出圖形，進而構建出易于分析與解題的圖形，根據情況分類討論，結合三角形知識與運用，求解動點坐標.

初中數學動點問題的解答，不僅需要學生夯實基礎知識內容，還需要在解題訓練時，認真審題，分析題目條件，找出邏輯關系，通過動靜轉化思考問題.同時，教師需要做好學生解題訓練工作，引入數形結合思想，解答各種類型的問題，做好知識歸納和總結，尋找合適的解題方式，完成動點問題的解答.

參考文獻：

[1]邵銳.初中數學動點問題解題障礙分析及對策研究[J].教學管理與教育研究，2022，7（19）：90-91.

[2]薛加付.淺析初中數學動點問題解題策略[J].數理化解題研究，2022（32）：59-61.

[3]吳麗蓉.初中數學動點問題解決策略研究[J].數理化解題研究，2022（32）：23-25.