APOS理論下反比例函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

摘"要：反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要概念.APOS理論分為四個階段（操作—過程—對象—圖式），很注重在數(shù)學(xué)活動或情境中讓學(xué)生自主探究概念，去理解概念的本質(zhì).本文剖析了在反比例函數(shù)概念的教學(xué)中亟須解決的問題，以APOS理論為依據(jù)設(shè)計教學(xué)的各環(huán)節(jié)，借助學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生同化、順應(yīng)概念，從而有效地掌握概念.

關(guān)鍵詞：APOS理論；反比例函數(shù)；教學(xué)設(shè)計

1"問題的提出反比例函數(shù)是蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊》的內(nèi)容.八年級學(xué)生已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗，

對函數(shù)的研究已有大致思路.不少學(xué)生對反比例函數(shù)的概念有一些錯誤認(rèn)識，其中部分學(xué)生認(rèn)為反比例函數(shù)是隨著自變量的增大而減小的函數(shù)，甚至學(xué)生以為y＝kx是正比例函數(shù)，而y＝－kx是反比例函數(shù).本文結(jié)合APOS理論去設(shè)計反比例函數(shù)概念的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生同化、順應(yīng)概念，從而掌握反比例函數(shù)的概念.

2"反比例函數(shù)概念的教學(xué)要求

2.1"教學(xué)目標(biāo)

（1）理解反比例函數(shù)的概念.

（2）能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（3）能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).

（4）通過探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關(guān)系，體會和認(rèn)識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中特定數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.

2.2"教學(xué)重難點

（1）結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）通過生活實例，讓學(xué)生感受反比例函數(shù)是刻畫實際問題中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.

3"APOS理論與反比例函數(shù)概念教學(xué)的融合

3.1"APOS理論

美國教育家杜賓斯基提出了APOS理論，他認(rèn)為，概念的學(xué)習(xí)是一個建構(gòu)的過程，要經(jīng)歷以下四個階段.

第一階段是操作（Action）階段.這個階段是概念的引入階段，當(dāng)教師將與新概念相關(guān)的問題呈現(xiàn)給學(xué)生時，學(xué)生通過外在直觀感知和個體思考后，對數(shù)學(xué)“對象”進(jìn)行變形，來完成對概念知識的初步認(rèn)知.

第二階段是過程（Process）階段.這個過程是概念的定義階段，學(xué)生經(jīng)過操作階段的感知，對經(jīng)驗進(jìn)行加工，會在自己的頭腦中對操作形成自己的概念和體驗，將外顯的操作內(nèi)化為思維的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

第三階段是對象（Object）階段.這個階段是概念的分析階段，學(xué)生通過自己先前學(xué)習(xí)的知識，試著構(gòu)建基本的概念圖式，把“過程”形成的概念作為獨立板塊進(jìn)行更高層次的邏輯推理和演算操作.

第四階段是圖式（Schema）階段.這個階段是概念的整合階段，學(xué)生對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整整合，在頭腦中形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個過程即為“圖式”.

3.2"基于APOS理論的反比例函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

為了突破反比例函數(shù)概念教學(xué)的難點，筆者以APOS理論的四個階段為依據(jù)設(shè)計教學(xué)過程，具體包括以下四個階段.

3.2.1"操作階段：精選實例，感知概念

函數(shù)的概念比較抽象，初中學(xué)生只能用描述性的定義在直觀水平上加以理解，學(xué)生剛接觸新的函數(shù)概念，需要去感知概念.基于APOS理論，教師在概念的引入部分要注重使用實例，這為學(xué)生提供理解概念的“參照物”，充分調(diào)動學(xué)生去感知概念，在教學(xué)中提供多種不同的操作模型，有利于學(xué)生對概念的理解.

3.2.2"過程階段：通過對比，不斷歸納概念特征

在引入的情境中，教師引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)思考，引導(dǎo)他們歸納總結(jié)出概念的本質(zhì).學(xué)生歸納總結(jié)概念的本質(zhì)特征，是概念課中高效運轉(zhuǎn)的環(huán)節(jié).值得一提的是，這個過程階段一定要充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性地位，設(shè)計的練習(xí)可以有“陷阱”，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)思考.

3.2.3"對象階段：通過問題變式，揭示概念的特征

在第三個階段，教師通過問題的變式，引導(dǎo)學(xué)生揭示概念的本質(zhì)特征.變式提供了容易混淆的特征，通過變式可以讓學(xué)生加深對概念的本質(zhì)認(rèn)識，在判斷概念的正例、反例過程中，更加精確地把握概念的細(xì)節(jié).

3.2.4"圖式階段：構(gòu)建聯(lián)系，總結(jié)應(yīng)用概念

最后一個階段是引導(dǎo)學(xué)生形成新的框架，教師可以通過應(yīng)用去構(gòu)造新舊知識之間的聯(lián)系，形成新的知識脈絡(luò).在圖式階段，學(xué)生可以徹底理解知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，并構(gòu)建出完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個階段就順利完成圖式的遷移.

4"反比例函數(shù)的教學(xué)過程

4.1"操作階段由舊知引入概念

問題1"一輛汽車從南京出發(fā)，以100km/h的速度勻速開往上海.

師：在這個運動過程中有哪些常量和變量呢？

生：速度是常量，路程和時間是變量.

師：路程是時間的函數(shù)嗎？為什么？

生：是，因為在這個變化過程中，如果對于時間的每一個值，路程都有唯一的值與它對應(yīng)，我們稱路程是時間的函數(shù). （路程隨著時間的變化而變化，行駛時間越長，路程也越長，路程是時間的函數(shù)）

師：你用什么方式來描述它們之間的函數(shù)關(guān)系？除了函數(shù)關(guān)系式可以表示之外，還有其他表示方法嗎？

生：列表格，畫圖象.

師：假設(shè)路程用s來表示，時間用t表示，

生：s=100t（tgt;0），s是t的正比例函數(shù).

師：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況，為什么稱它為正比例函數(shù)？

生：在這個實際問題中，s與t兩個量的比值是100，是一個定值，s與t這兩個量成正比例.

變式"南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發(fā)，勻速開往上海.

師：兩個問題都描述速度、路程與時間，兩個問題有哪些區(qū)別呢？

生：路程是定值，速度和時間是變量，但是速度乘時間永遠(yuǎn)等于定值300.

師：速度是時間的函數(shù)嗎？為什么？

生：是，因為在這個變化過程中，如果對于時間的每一個值，速度都有唯一的值與它對應(yīng)，我們稱速度是時間的函數(shù).

師：用什么方法來描述它們之間的函數(shù)關(guān)系？

生：假設(shè)速度用v來表示，時間用t表示，vt=360.

師：觀察這個表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？這個實際問題中的v與t兩個量具有什么樣的關(guān)系？

生：在小學(xué)的時候我們稱這兩個量成反比例.

【設(shè)計意圖】教師使用了貼近生活的實例，學(xué)生容易理解.問題1，首先從勻速來引入，復(fù)習(xí)函數(shù)的定義，常量與變量的概念，繼而使用變式，將路程設(shè)定為定值，速度與時間乘積一定，這兩個量就成反比例，為引入新概念作鋪墊.

4.2"過程階段由對比認(rèn)識概念

問題2"寫出下列問題中兩個變量之間的關(guān)系式.

（1） 面積是50cm2的矩形，一邊長y（cm）隨另一邊長x（cm）的變化而變化.

（2）體積是100cm3的圓柱，高h(yuǎn)（cm）隨底面積S（cm2）的變化而變化.

（3）一家銀行為某社會福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化.

（4）實數(shù)m與n的乘積為－200，m隨n的變化而變化.

師：請將函數(shù)關(guān)系式寫下來，再思考，它們具有什么共同點？

師：生活中有大量滿足這種關(guān)系的函數(shù)，如果讓你給這類函數(shù)取個名字，取什么名字？

生：反比例函數(shù).

師：為什么取名反比例函數(shù)？

生：它們均表達(dá)現(xiàn)實中的反比例關(guān)系，可以稱為反比例函數(shù).

師：你能嘗試給反比例函數(shù)下個定義嗎？

【設(shè)計意圖】問題2提供了較多的實際背景，讓學(xué)生列出兩個變量之間的表達(dá)式，繼而尋找這些表達(dá)式之間的共同點.“為什么取名反比例函數(shù)”是因為它們能表達(dá)現(xiàn)實中的反比例關(guān)系，這與問題1回顧的正比例函數(shù)進(jìn)行對比，幫助學(xué)生在過程階段尋找概念的本質(zhì)屬性.

4.3"對象階段由變形鞏固概念

問題3"下列關(guān)系式中y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，請指出k的值.

①y＝4x；②y＝32x；③xy＝123；④y=5x－1；⑤xy＝0；⑥y=1x2；⑦y＝1x+1.

師：剛剛那位同學(xué)的回答，你們有不同的意見嗎？哪兩個量的乘積是定值，你是怎么思考的？

【設(shè)計意圖】在得到反比例函數(shù)的概念后，需要通過例題來鞏固所學(xué).問題3通過教師總結(jié)，得出反比例函數(shù)常見的三種表達(dá)形式.⑦錯誤率較高，教師講評了反比例關(guān)系與反比例函數(shù)之間的區(qū)別，y=1x+1只能表述y和x+1成反比例關(guān)系，但是y不是x的反比例函數(shù).

4.4"圖式階段由應(yīng)用來整合概念

問題4"觀察下表中x與y對應(yīng)的數(shù)值.

（1）y可以是x的反比例函數(shù)嗎？

如果已經(jīng)知道y是x的反比例函數(shù)，想確定表達(dá)式，需要幾組x和y的值？

（2）若表中數(shù)據(jù)不慎被墨漬污染，你還能寫出其他符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)表達(dá)式嗎？

【設(shè)計意圖】問題4是通過表格讓學(xué)生尋找變量之間的特征，突出“兩個變量乘積是定值”這一特征，第（2）問減少了表格中的數(shù)據(jù)，學(xué)生可以嘗試使用不同的函數(shù)類型去刻畫這兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系，這個階段將反比例函數(shù)和一次函數(shù)進(jìn)行比較，深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解.

5"教學(xué)反思

APOS理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)活動的主體是學(xué)生，學(xué)生必須積極主動地使新概念和舊知識產(chǎn)生聯(lián)系，將原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)概念重組并改造，實現(xiàn)新的平衡.同化和順應(yīng)是相互關(guān)聯(lián)，相互影響的.本節(jié)課以APOS理論為依據(jù)設(shè)計反比例函數(shù)概念的教學(xué)，為概念教學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了條件.具體表現(xiàn)如下.

5.1"體現(xiàn)同化

同化是圖式發(fā)生量變的過程，不會引起圖式的根本性變化.函數(shù)的知識是一脈相連的，結(jié)合正比例函數(shù)的知識，可以充分利用同化，降低思維坡度，實現(xiàn)正向遷移.問題1和2提供了豐富的實例：行程、面積、體積等，在諸多例子中實現(xiàn)對反比例函數(shù)模型的識別和概括.

5.2"體現(xiàn)順應(yīng)

順應(yīng)是一個質(zhì)變的過程，可以引起圖式的根本性變化.教師引導(dǎo)學(xué)生在建立新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系上下功夫，這樣學(xué)生在獲得概念的同時，他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，這是一次新的概括過程.問題2中學(xué)生總結(jié)了反比例函數(shù)的表達(dá)式，均可以表示成y＝k/x的形式.

5.3"體現(xiàn)歸納

小結(jié)部分對正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行了歸納總結(jié).反比例函數(shù)不是直線型、不是連續(xù)的，不同于正比例函數(shù).教師從表達(dá)式、自變量的取值范圍、k的本質(zhì)等方面歸納總結(jié)，通過歸納有助于學(xué)生理解反比例函數(shù)的概念.