數(shù)學(xué)表達(dá)：支持學(xué)生思維發(fā)展的核心能力

摘 要：數(shù)學(xué)表達(dá)能力具有非常重要的作用，它能有效促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。通過(guò)教學(xué)使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)教育的一大目標(biāo)。基于此，分析數(shù)學(xué)表達(dá)的內(nèi)涵、特征，提出小學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)策略，具體為營(yíng)造和諧氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生敢表達(dá)；設(shè)計(jì)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生樂(lè)表達(dá)；推進(jìn)三個(gè)“讀懂”，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)表達(dá)；明確思維路徑，促進(jìn)學(xué)生善表達(dá)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)表達(dá)；思維發(fā)展

作者簡(jiǎn)介：張曉鋒（1977—），男，江蘇省常州市新北區(qū)春江中心小學(xué)。

湯華鋒（1979—），男，江蘇省常州市新北區(qū)春江中心小學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述和交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式……形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力?！保?］6史寧中教授指出，要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。鄭毓信教授強(qiáng)調(diào)必須重視“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)表達(dá)”［2］5。

一、數(shù)學(xué)表達(dá)的內(nèi)涵、特征

數(shù)學(xué)表達(dá)是指以文字、符號(hào)、語(yǔ)言、圖形、動(dòng)作、問(wèn)題解決等為載體，表達(dá)數(shù)學(xué)思維或表征現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種分享交流方式。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)、觀點(diǎn)，以及解決問(wèn)題的思路、方法等都可以通過(guò)一定的外顯形式傳遞。與日常表達(dá)相比，數(shù)學(xué)表達(dá)側(cè)重于用符號(hào)、文字、圖形、表格等形式展露學(xué)生的思維。數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生準(zhǔn)確、簡(jiǎn)約、有條理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)思維的核心能力。數(shù)學(xué)表達(dá)可反映學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，涵養(yǎng)內(nèi)省思維、審辯思維、創(chuàng)新思維等高階思維。數(shù)學(xué)表達(dá)的主要特征為：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)約，有條理、合乎邏輯，獨(dú)創(chuàng)、深刻。

第一，數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)約。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，講究“一是一，二是二”，簡(jiǎn)約、精練、嚴(yán)謹(jǐn)，不拖泥帶水、模棱兩可。

第二，數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)有條理、合乎邏輯。數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性精神、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)是講道理的，突出表達(dá)內(nèi)容的合理性，強(qiáng)調(diào)說(shuō)得有順序、有條理，講清因果關(guān)系，符合邏輯。

第三，數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)獨(dú)創(chuàng)、深刻。直面開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)散思維、個(gè)性表達(dá)、自圓其說(shuō)，促進(jìn)獨(dú)特、原創(chuàng)的個(gè)人觀點(diǎn)產(chǎn)生，通過(guò)師生間多向互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生完善認(rèn)知，催生高階思維［3］。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)策略

（一）營(yíng)造和諧氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生敢表達(dá)

敢表達(dá)是學(xué)生樂(lè)表達(dá)、會(huì)表達(dá)、善表達(dá)的基礎(chǔ)與前提。教師要有同理心，要多為學(xué)生著想，以多種方式讓敢表達(dá)成為學(xué)生的學(xué)習(xí)常態(tài)。

1.構(gòu)建良好的課堂生態(tài)

良好的課堂生態(tài)是學(xué)生敢表達(dá)的重要前提。教師應(yīng)積極構(gòu)建充滿溫暖、充滿生機(jī)、充滿希望的課堂，營(yíng)造和諧的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生自然地學(xué)習(xí)。學(xué)生的學(xué)習(xí)自然了，學(xué)生就不害怕、不拘束、不急躁，自然敢于表達(dá)。輔以老師的傾心呵護(hù)、寬容、等待，學(xué)生必能更好地緩緩道來(lái)、相互補(bǔ)充、借鑒學(xué)習(xí)。

2.提供豐富的表達(dá)機(jī)會(huì)

教師要為學(xué)生創(chuàng)造敢表達(dá)的機(jī)會(huì)，如為有需求的學(xué)生提供“戰(zhàn)略支援”，鼓勵(lì)學(xué)生在表達(dá)有困難時(shí)，請(qǐng)求同伴或老師的支援；或先和同桌說(shuō)說(shuō)自己的想法，再面向全班交流；或先在小組內(nèi)試講，練習(xí)表達(dá)，再面向全班交流；等等。教師還可通過(guò)“紙短情長(zhǎng)”的方式培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)紙條傳思或傳問(wèn)，教師“轉(zhuǎn)譯”后對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化的指導(dǎo)和幫助，鼓勵(lì)學(xué)生自信表達(dá)。

3.創(chuàng)新多元的評(píng)價(jià)方式

培養(yǎng)學(xué)生敢表達(dá)的意識(shí)與習(xí)慣是個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，需要師生持之以恒、共同努力。除了尊重學(xué)生、關(guān)愛(ài)學(xué)生，讓學(xué)生感受到平等的師生關(guān)系，教師還應(yīng)積極發(fā)揮教育評(píng)價(jià)功能，通過(guò)系統(tǒng)多元的評(píng)價(jià)方式，促使學(xué)生敢表達(dá)。具體來(lái)說(shuō)，教師可以巧用一些創(chuàng)意小妙招，如定期評(píng)選“我是表達(dá)小能手”，組織“多彩表達(dá)匯”，通過(guò)“釘釘積分”小程序?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)積分，等等，為學(xué)生提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力持續(xù)助力。

（二）設(shè)計(jì)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激勵(lì)學(xué)生樂(lè)表達(dá)

設(shè)計(jì)思維空間開(kāi)放的學(xué)習(xí)任務(wù)可以讓更多學(xué)生有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的真實(shí)想法。教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)鼓勵(lì)預(yù)學(xué)提問(wèn)、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、設(shè)計(jì)創(chuàng)意練習(xí)等，激勵(lì)學(xué)生思考與表達(dá)。

1.鼓勵(lì)預(yù)學(xué)提問(wèn)

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。預(yù)學(xué)是幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)內(nèi)容、明晰學(xué)習(xí)目標(biāo)的舉措。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生緊扣預(yù)學(xué)，思考兩個(gè)問(wèn)題：“學(xué)會(huì)了什么，和其他同學(xué)相比如何？沒(méi)學(xué)會(huì)什么，問(wèn)題在哪里？”要求學(xué)生將預(yù)學(xué)所得、存在問(wèn)題記錄下來(lái)，便于師生在課中聚焦關(guān)鍵問(wèn)題或核心問(wèn)題展開(kāi)充分交流，鼓勵(lì)學(xué)生自己的問(wèn)題自己說(shuō)，共性的問(wèn)題大家談，在對(duì)話中抽絲剝繭，逐步解決。

2.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性任務(wù)必須做到低門檻、大空間、多層次。創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，能引發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，讓“我來(lái)說(shuō)”蔚然成風(fēng)。如在教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”一課時(shí)，教師可以從房型平面圖引入，讓學(xué)生看圖說(shuō)說(shuō)知道了哪些數(shù)學(xué)信息，有什么數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生的問(wèn)題較多，相應(yīng)的乘法算式有3×2.6、3.8×3.2、4.15×6.2等。結(jié)合房型平面圖提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，每個(gè)學(xué)生都樂(lè)意仔細(xì)算、爭(zhēng)著說(shuō)，在表達(dá)中融通算理與算法。

3.設(shè)計(jì)創(chuàng)意練習(xí)

有創(chuàng)意、有層次、可選擇的練習(xí)可以鞏固新知，促進(jìn)理解。在做這類練習(xí)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)生成新的發(fā)現(xiàn)、新的感悟。如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”一課時(shí)，筆者在基礎(chǔ)練習(xí)后呈現(xiàn)兩個(gè)算式—×、+，同時(shí)提出幾個(gè)要求：先計(jì)算，再比較哪個(gè)算式結(jié)果大，說(shuō)說(shuō)原因；根據(jù)算式編兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題；小組內(nèi)交流各自編的實(shí)際問(wèn)題，互相提建議。之后，學(xué)生開(kāi)始計(jì)算、編題、分享，有理有據(jù)地講清自己的思路，厘清數(shù)量與分率的關(guān)系，這能有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)和對(duì)話能力。

（三）推行三個(gè)“讀懂”，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)表達(dá)

學(xué)習(xí)是一種對(duì)話，對(duì)話能促使學(xué)生的表達(dá)進(jìn)階。對(duì)話的前提是明確問(wèn)題，深入思考；對(duì)話的過(guò)程是各抒己見(jiàn)，完善認(rèn)知。教師應(yīng)促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)三個(gè)“讀懂”—讀懂教材、讀懂同伴、讀懂自己，從而拓寬對(duì)話渠道，學(xué)會(huì)表達(dá)。

1.讀懂教材，理解教材的表達(dá)

教科書(shū)是重要的學(xué)習(xí)材料，教科書(shū)上的表達(dá)是經(jīng)過(guò)編者多番論證的，很多是專家的智慧、經(jīng)典的表達(dá)，是學(xué)生學(xué)習(xí)表達(dá)的好幫手。通過(guò)學(xué)習(xí)教材的表達(dá)方式，學(xué)生能習(xí)得書(shū)面表達(dá)的基本樣式。如“分?jǐn)?shù)除法”單元，前兩個(gè)課時(shí)對(duì)計(jì)算法則的表述分別為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于整數(shù)乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。第三課時(shí)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”以問(wèn)題“聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，你能說(shuō)說(shuō)怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)除法嗎？”引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)思維，歸納分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則。學(xué)生一般會(huì)將三句話疊加，或表達(dá)為“一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，等于一個(gè)數(shù)乘另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，除數(shù)不能為0”。教材表述為“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”，這樣的表述最為凝練，將三次表達(dá)并列呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生聚焦最具統(tǒng)領(lǐng)性的“通法”進(jìn)行比較，自主完善。

2.讀懂同伴，理解同學(xué)的表達(dá)

教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)老師的表達(dá)，學(xué)習(xí)同伴的表達(dá)，擇其善者而從之，這樣做有利于數(shù)學(xué)表達(dá)能力弱的學(xué)生重構(gòu)、優(yōu)化自身的表達(dá)話語(yǔ)系統(tǒng)。讓學(xué)生個(gè)體與個(gè)體、個(gè)體與群體間形成數(shù)學(xué)表達(dá)“互學(xué)場(chǎng)”很有必要，復(fù)述、補(bǔ)充、強(qiáng)化、評(píng)價(jià)等都是互動(dòng)式表達(dá)。“相觀而善之謂摩?！痹诠膭?lì)學(xué)生嘗試尋求÷2的結(jié)果時(shí)，教師應(yīng)將不同方法分類呈現(xiàn)，組織學(xué)生多元對(duì)話。方法有：將4個(gè)平均分成2份，得到每份為；將其轉(zhuǎn)化為求的，即×=；將升先轉(zhuǎn)化為800毫升計(jì)算，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為升；轉(zhuǎn)化為0.8÷2=0.4=；÷2==。也有一部分學(xué)生畫(huà)圖表示。教師可先組織學(xué)生在小組內(nèi)分享，然后進(jìn)行全班交流，讓學(xué)習(xí)成果惠及每個(gè)學(xué)生。

3.讀懂自己，改善自己的表達(dá)

引導(dǎo)學(xué)生與自己對(duì)話是促使學(xué)生反思內(nèi)化、改善表達(dá)的好方法。教師應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生與自我對(duì)話，在自我對(duì)話中“悟道”，逐步提升表達(dá)能力。教師應(yīng)充分利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，促進(jìn)學(xué)生反思、內(nèi)省，積極與自己對(duì)話。如，當(dāng)學(xué)生計(jì)算5.6×3.8得出錯(cuò)誤結(jié)果為2.124時(shí)，教師不要急于讓學(xué)生再列豎式計(jì)算一遍，而應(yīng)讓學(xué)生仔細(xì)觀察兩個(gè)乘數(shù)，估算積是2.124的可能性，請(qǐng)學(xué)生至少用兩種方法否定自己的答案（學(xué)生可從積的末位是8判斷，從積是兩位小數(shù)判斷，從估算積大于15判斷）。當(dāng)學(xué)生自覺(jué)調(diào)用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)辨識(shí)自己的錯(cuò)誤時(shí)，他們與自己內(nèi)心對(duì)話的成效將充分得到體現(xiàn)。

（四）明確思維路徑，促進(jìn)學(xué)生善表達(dá)

敢表達(dá)、樂(lè)表達(dá)是基礎(chǔ)，更多指向心情愉悅層面；會(huì)表達(dá)、善表達(dá)是根本，更多指向思維品質(zhì)提升層面?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神”［1］6。

1.明晰程序，引領(lǐng)學(xué)生習(xí)得表達(dá)之序

熟悉表達(dá)流程，明晰表達(dá)順序，是促進(jìn)學(xué)生善表達(dá)的基礎(chǔ)。教師必須強(qiáng)化基本的數(shù)學(xué)表達(dá)流程，一般可先引導(dǎo)學(xué)生熟悉學(xué)習(xí)素材，再經(jīng)歷“看一看”“想一想”“記一記”“說(shuō)一說(shuō)”“議一議”等過(guò)程，深入思考后落筆有據(jù)，有序表達(dá)，用“我們先……再……最后……”的方式有序逐層交流。如在教學(xué)“一一列舉的策略”時(shí)，當(dāng)學(xué)生用小棒圍一圍、畫(huà)一畫(huà)、記一記后，教師應(yīng)組織學(xué)生有序交流，引導(dǎo)學(xué)生從周長(zhǎng)22想到長(zhǎng)與寬的和為11，從和為11想到寬與長(zhǎng)可能為1和10、2和9、3和8、4和7、5和6，再通過(guò)計(jì)算、比較得出長(zhǎng)為6、寬為5時(shí)面積最大。

2.示范引領(lǐng)，幫助學(xué)生理清表達(dá)邏輯

在互動(dòng)交流時(shí)，教師要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生使用“因?yàn)椤浴币约啊巴ㄟ^(guò)某某同學(xué)的發(fā)言，我想到……”等句式，幫助學(xué)生掌握表達(dá)的基本規(guī)范，突出表達(dá)的邏輯性、承接性。如，在教學(xué)生估算“200元買4箱單價(jià)48元的西瓜夠不夠？”時(shí)，教師必須指導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的方式表達(dá)：“我把48估大為50。因?yàn)?×50=200，所以4×48＜200。因此，200元買4箱單價(jià)48元的西瓜夠了。”又如，在教學(xué)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教師要讓學(xué)生用自己的方式說(shuō)明為什么0沒(méi)有倒數(shù)。學(xué)生應(yīng)有的表達(dá)為：“我們已經(jīng)知道乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。因?yàn)?乘任何數(shù)都得0，積不可能是1，所以0沒(méi)有倒數(shù)?！苯處熞邩?biāo)準(zhǔn)、嚴(yán)要求，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)，這是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)走向結(jié)構(gòu)清晰、邏輯嚴(yán)密的必要之舉，能培養(yǎng)學(xué)生的說(shuō)理習(xí)慣。

3.加強(qiáng)比較，指引學(xué)生凝練表達(dá)內(nèi)容

先計(jì)算，再觀察每組算式的得數(shù)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）-= ×=

（2）-= ×=

你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律再寫幾組這樣的算式嗎？

圖1

教師必須用好教材中的探究性習(xí)題，讓學(xué)生自主探究，練習(xí)表達(dá)，深入內(nèi)省，提升認(rèn)知。以兩組數(shù)學(xué)思考題為例（如圖1），大多數(shù)學(xué)生對(duì)規(guī)律的初始表達(dá)為：“我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母相差1，分母大的在后面。這樣兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的差和它們相乘的積相等?！睂W(xué)生表達(dá)的意思是準(zhǔn)確的，但表述稍長(zhǎng)。如何引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)？教師可以用文字表述“相鄰兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的差與它們的積相等”點(diǎn)撥學(xué)生，也可以用字母式“-=×=”指導(dǎo)學(xué)生。學(xué)生對(duì)照簡(jiǎn)潔、規(guī)范的表達(dá)，恍然大悟，紛紛感嘆：“用字母式表示規(guī)律簡(jiǎn)潔明了！”

4.引導(dǎo)反思，助推學(xué)生自主回顧完善

在教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視回顧與反思的作用，讓回顧與反思環(huán)節(jié)成為提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的“最后一公里”，每課應(yīng)設(shè)計(jì)不少于一次的回顧與反思。教師可以讓學(xué)生先獨(dú)自“回放電影”，組織語(yǔ)言有效輸出，再互相借鑒、補(bǔ)充完善，提高表達(dá)水平；也可以在每單元結(jié)束時(shí)指導(dǎo)學(xué)生繪制單元學(xué)習(xí)思維導(dǎo)圖，借助導(dǎo)圖分享交流，促進(jìn)學(xué)生互相啟發(fā)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；還可以指導(dǎo)學(xué)生每周整理錯(cuò)題，剖析錯(cuò)因，記錄正確思路，再與同學(xué)交流。

三、總結(jié)

鄭毓信教授指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)必經(jīng)三個(gè)境界：從自言自語(yǔ)的表達(dá)，到目中有人的表達(dá)，走向心中有據(jù)的表達(dá)［2］7。這是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的“修行”之旅。數(shù)學(xué)表達(dá)是支持學(xué)生思維發(fā)展的核心能力，教師必須持之以恒地培養(yǎng)，久久為功。

［參考文獻(xiàn)］

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：6.

［2］鄭毓信.從“數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)”到“深度教學(xué)”［J］.教育視界，2020（5）：4-10.

［3］陳靜.數(shù)學(xué)表達(dá)：支持深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力［J］.教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2019（9）：5-10.