重視動手操作 促進能力提升

［摘 要］動手操作能有效激發學生的學習興趣，發展學生的思維，提升學生的創新能力和應用能力。文章聚焦核心素養，以“勾股定理的應用——最短路徑問題”為例，探討在初中數學教學中如何借助動手操作，助推學生能力提升。

［關鍵詞］動手操作；能力提升；勾股定理；最短路徑問題

［中圖分類號］ " "G633.6 " " " " " " " "［文獻標識碼］ " "A " " " " " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0012-04

在初中數學教學中，核心素養的培養需要注重動手操作。動手操作，涵蓋觀察、實驗、探索及應用等環節，對培養學生的創新意識和應用能力至關重要。

傳統教學多注重講授和解題，學生大多被動接受知識，缺乏實踐機會。而通過動手操作，學生不僅能加深對數學知識的理解，還能有效鍛煉觀察能力、分析問題能力和解決問題能力。因此，教師應鼓勵與引導學生動手操作。例如，在課堂上通過引導學生進行實際測量、圖形繪制，幫助學生有效把握數學概念和方法。

一、案例描述

“勾股定理的應用——最短路徑問題”一課的教學重點是將立體圖形展開為平面圖形，以構建直角三角形，進而利用勾股定理求解；教學難點是深化學生對轉化思想、方程思想、數形結合思想等的理解，提升其幾何直觀能力，并培育其模型觀念。在教學中，筆者引導學生以圓柱、長方體及“將軍飲馬”模型為載體將立體圖形轉化為平面圖形，從而求解最短路徑。

（一）任務一：探討圓柱的最短路徑

［例1］如圖1，有一圓柱形油罐，要從A點環繞油罐建梯子到B點，正好B點在A點的正上方，已知油罐的底面周長為12米，高AB為5米，則所建梯子最短需要多少米？

問題1：我們已學過平面內兩點之間線段最短，那么在圓柱中如何確定兩點間的最短路徑呢？

學生活動：根據題目要求，在預先準備好的圓柱模型上標出A、B點的位置，并嘗試在圓柱模型上畫出可能的路徑。

問題2：請采用合理的方法測量各條路徑的長度。

學生活動：嘗試將繩子沿著所畫路徑放置，隨后拉直繩子，以測量其長度。（由于在曲面上繪制的曲線彎曲程度不同，即使起點和終點均為A、B兩點，所得長度也不盡相同。學生由此發現曲面不好畫圖）

問題3：為了便于作圖，能否將曲面轉換為平面？應如何操作？

學生活動：將圓柱的側面展開，把曲面轉化為平面，利用“兩點之間，線段最短”求得最短路徑。以圖1為例，沿著AB所在的直線將圓柱剪開，得到如圖2所示的平面圖，連接[AB']，[AB']就是最短路徑。

問題4：油罐能否展開？如果不能，該如何計算最短路徑？

學生活動：通過觀察發現油罐無法直接展開，因此可采用“化曲為直”的策略，通過構建直角三角形，并利用勾股定理來計算作為最短路徑的斜邊長度。

通過以上操作，學生對“求圓柱中的最短路徑”有了初步的感知。若能多次操作，學生定會對這一知識理解得更加透徹。

問題5：如果點B的位置改變，如圖3所示，又會有什么變化？

變式1：如圖4，一個圓桶兒，底面周長為30 cm，高為8 cm，則一只小螞蟻從底部點A沿圓桶表面爬到頂部B處，則小螞蟻所爬的最短路徑長是__________________。

教學總結：學生通過動手操作驗證了如圖5所示的展開圖方法，即無論點如何變化，都能將曲面展開為平面，進而構建直角三角形，并利用勾股定理求解最短路徑。

（二）任務二：探討棱柱的最短路徑

［例2］如圖6所示為一個長、寬、高分別為10 cm，6 cm，12 cm的長方體，在其頂點A處有一只蜘蛛，它想吃到與頂點A相對的頂點B的食物。你能幫它找到最短路徑嗎？畫出展開圖并說明理由。

學生活動：分組操作，按照不同的方式繪制展開圖，尋找最短路徑，并通過計算比較，找出最終答案。

A組代表發言：我們小組按照不同的方式繪制了6張展開圖，其中有3張展開圖的內容是重復的，如圖7所示，所以我們認為可利用的最短路徑展開圖共有3張。

B組代表發言：我們組只繪制了兩張最短路徑展開圖，如圖8所示。

學生通過觀察與討論，提出了一個猜想：原長方體模型可能不同（這些模型一部分由學生親手制作，同組內尺寸統一；另一部分則來源于生活用品的包裝盒，尺寸各異）。隨后，學生將展開圖復原，發現：對于底面為正方形的特殊長方體，其最短路徑的展開圖僅有兩種。

教學總結：通過發現問題、提出疑問、動手操作及驗證猜想，學生總結出一般長方體的前后、左右、上下各組面分別相同，因此解答此類問題時只需從前后、左右、上下各組中選取一個面，即可繪制出所有相關的最短路徑圖，通常為3張。如果是底面為正方形的長方體，因為有4個面相同，所以能繪制的最短路徑圖只有2張。

（三）任務三：利用“將軍飲馬”模型求解立體圖形中的最短路徑

［例3］如圖9所示，圓柱形玻璃杯高為5 cm，底面周長為12 cm，在杯內壁底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離是______。（杯壁厚度不計）

這道題對學生來說相當有難度。在沒有動手操作前，有學生認為直接連接AB，即可得出最短路徑，雖然有學生不贊同這種做法，但也不知道從何下手，很迷茫。

學生活動：當教師提示學生把圓柱模型看成玻璃杯子時，學生迅速否定了直接連接AB的做法，并開始深入思考：“如何才能把點A和點B置于同一個平面內？”經過動手操作、小組討論與驗證，一名學生分享了他的方法：“我在模型內壁貼了一張薄紙，再把這張薄紙翻出來，這樣點A和點B就在同一個平面內，通過連線即可找到最短路徑（如圖10）。”

教師追問：“‘翻出來’這個動作運用了哪些數學知識？還能把點A翻到里面去嗎？”

學生回答：“運用了軸對稱，可以作A點的對稱點來實現。”

有了以上的知識積累，再讓學生完成以下鞏固練習。圖11是一個長方體透明玻璃魚缸，其中長[AB=80 cm]，高[AD=60 cm]，水深[ED=40 cm]，在魚缸內水面上緊貼內壁[P]處有一魚餌，[P]在水面線[EF]上，且[EP=60 cm]。一只小蟲想從魚缸外的[D]點沿魚缸壁爬進魚缸內壁[P]處吃魚餌，小蟲爬行的最短路徑長為______。

通過動手操作，學生成功找到了如圖12所示的[D'P]這一最短路徑。

教學總結：通過動手操作與鞏固練習，學生逐步將知識內化，提升了數學思維能力，實現了深度學習的目標。

二、作用分析

（一）深化學生情感體驗

心理學家皮亞杰指出：“活動是認識的基礎，智慧從動作開始。”要使學生深刻理解并熟練運用數學知識解決問題，僅憑看、聽是遠遠不夠的，唯有引導學生親自動手操作，方能達到預期的教學效果。本節課通過任務形式，為學生提供了動手操作的機會，使學生在自主探究與合作交流中找到解決問題的方法。在整個操作過程中，學生始終保持積極、活躍的狀態，思維在不斷碰撞。通過不斷嘗試、探索與驗證，學生找到了解決問題的方法，悟出了解題的思想，并獲得了愉悅感和成就感。不同層次的學生均能在操作過程中有所收獲，這使他們在面對復雜問題時變得更加自信。這樣的教學踐行了“因材施教”理念。總之，根據教學內容適當地開展動手操作活動，是吸引學生注意力，激發學生學習興趣，以及讓學生產生學習成就感的有效途徑。

（二）培養學生空間觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調，學生通過空間物體或圖形等相關知識的學習，應能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系；空間觀念有助于理解現實生活中空間物體的形態與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。可見，空間觀念的培養是培養學生空間想象力和創造力的基礎，缺乏空間觀念，發明創造將無從談起。

動手操作要求學生動手、動眼、動腦、動口，促使學生處于積極思維的狀態，這對于學生掌握知識、認識規律、培養空間觀念、提高能力具有極為重要的作用。因此，動手操作是培養學生空間觀念的有效途徑之一。例如，在任務二中，一些學生因制作特殊長方體模型，而只能繪制2張最短路徑圖。在這一過程中，學生通過反思歸納了相關原因。在利用圓柱、長方體求最短路徑時，學生依托動手操作積累了基本活動經驗，領悟了轉化思想，提升了空間想象力，并建立了數學模型。因此在完成提高題時，學生能夠丟掉學具模型這一“拐杖”，憑借豐富的知識儲備，展開空間想象，準確繪出展開圖。由此可見，動手操作在學生的日常生活經驗和系統的理論知識之間架起了一座橋梁，有利于培養學生的空間觀念。

（三）提升學生探究性學習水平

探究性學習旨在創設模擬科學研究情境，引導學生自主、獨立地發現問題，并通過實驗、操作、調查、表達與交流等活動，獲取知識、技能，培養情感。動手操作能使學生擺脫死記硬背，親歷知識生成過程，掌握解決問題的基本策略。以任務三為例，學生從模型中發現不能直接連接AB找到最短路徑，于是提出新問題：如何將點A與點B放置于同一個平面內？為了解決這個問題，學生在模型內壁貼上一層薄紙，然后將其翻出，使點A與點B在同一個平面內。在此過程中，學生明白了“翻”即運用軸對稱知識找到點B的對稱點，從而更深入地理解知識，實現了“知其然且知其所以然”。此外，學生在動手操作過程中還推導出利用軸對稱找出點A的對稱點作圖更為簡便。總之，動手操作能促進學生主動思維，提升學生的探究性學習水平，培養學生的數學思維能力。

三、策略方法

在初中數學教學中，教師鼓勵和引導學生動手操作是非常重要的。以下是一些策略和方法。

（一）創設情境，激發操作欲望

通過創設情境，讓學生對數學學習產生興趣，進而激發學生的操作欲望。例如，在講解幾何圖形時，教師展示各種不同的圖案，讓學生體悟不同風格的創意和美感，激發學生的創造力和想象力。這樣，學生在操作過程中能更好地理解幾何概念，如基本圖形、組合圖形、動態圖形的變換，為日后靈活應用幾何知識奠定堅實的基礎。

（二）創造實踐機會，促進主動參與

在初中數學教學中，教師應引導學生主動參與動手操作活動，讓學生通過實踐理解和掌握數學知識。例如，在教學“坐標系”這一內容后，讓學生繪制本校地圖，并分享給親友。這樣，學生既鞏固了坐標系知識，又提高了測量與繪圖技能，同時加深了對學校地理環境的認識。

（三）借助科技實踐，培養思維能力和創新能力

科技實踐活動強調學生動手動腦。教師可組織科技實踐活動，如紙橋承重制作，引導學生觀察、制作，親身體驗和實踐所學知識。在實踐活動中，學生需運用三角形穩定性原理，精心設計并構造能承受一定重量的紙橋，不斷思考如何解決問題、改進作品。這樣的活動有利于培養學生的思維能力和創新能力，使學生在探索與創新中不斷成長。

（四）多樣化教學方式引導動手操作

在初中數學教學中，教師應采用多樣化的教學方式，如項目式學習、小組合作學習、探究性學習、手工制作及模擬實驗等，以便更好地引導學生動手操作。例如，在“概率”教學中，教師可采用小組合作學習的方式，引導學生進行投幣實驗，之后再通過分析和總結來理解概率的意義和性質。

總之，在初中數學教學中引導學生動手操作至關重要。上述策略與方法能有效激發學生的學習興趣與主動性，幫助學生克服思維障礙，深入理解抽象的數學概念和原理，感悟數學思想，習得數學方法，培養空間觀念，提升解題能力，進而促進學生綜合能力的提升。

［ " 參 " 考 " 文 " 獻 " ］

[1] "韋秋梅.初中數學“空間觀念”的認識與培養[J].中學課程輔導（教師通訊），2018（10）：167-168.

[2] "鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之四：空間觀念[J].中國數學教育，2022（17）：3-8.

[3] "鄭大明.“數學眼光”的基本表現及其評價：基于數感、量感、形感的思考[J].小學教學參考，2021（29）：3-6.

［4］ "中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯 " "黃春香）