波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用探究

【摘要】數學解題能力在數學學習中具有重要作用，并且數學解題能力是衡量學生的數學學習情況的一項重要指標.高中數學中不同類型的題目，其解題模型的類別十分豐富.其中的波利亞解題模型是目前運用最為廣泛的一種解題模型，在數學解題領域中占據著重要地位.文章以高中數學為主要研究對象，將波利亞解題模型運用到高中數學的解題教學中，旨在為實際教學提供參考.

【關鍵詞】波利亞解題模型；高中數學；應用

引 言

數學作為三大主課之一，在高考中占據著重要位置，因此，有的教師在實際教學過程中，為了幫助學生強化知識點，使得學生可以靈活運用已學知識而采用“題海戰術”.但是這種教學方法會使得學生對數學產生排斥的心理，甚至造成厭學心理.這種教學方法無法有效幫助學生提高對于數學公式及理論的靈活運用能力.因此，文章研究將波利亞解題模型運用到高中數學解題教學中，以期該模型的應用，可以有效改善傳統教學方式，幫助學生樹立正確的解題意識，進一步提高學生的數學學習效率，為學生未來的數學學習奠定基礎.

一、核心概念解讀

波利亞解題模型是一種廣為流傳的解題模型，并且這一模型在后來的流傳過程中，也逐漸被運用到了數學的解題教學中去.因此在高中數學解題教學中，波利亞解題模型可以幫助學生學習正確的解題技巧，并且將諸多的復雜數學問題進行拆解，以此提高學生的解題效率.該模型最早出現在波利亞的《怎樣解題》中，后來被運用到數學解題模型中，逐漸演變成了今天的樣子.這一模型的運用需要明確四個要點，分別包括“明確題干，即題干中提到的已知量”“制訂措施，我們可以如何運用已知材料，思考當前要解決這一問題仍然缺失的材料”“在制訂好解題的基本思路后，可以針對預設解題思路加以實施”以及“完成解題后，需要對整體解題過程進行反思”.但是反觀當前的數學解題現狀，學生往往會遺漏最后的反思環節，因此在高中數學解題教學中，教師可以引入波利亞解題模型，以此優化實際教學過程，提高教學效率.

二、波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用

（一）明確題干意思

對問題的理解是解答難題的核心所在.唯有徹底明確了問題，才能有效地解決問題.對于問題的理解主要包括兩個方面，一是對題意的解析和精確剖析，在現有的題目基礎之上，通過自我表達方式對其進行再度詮釋，以便更深層次地理解題目.在這個階段中，重點在于確保解析題目的準確性和細致程度.學生必須細心審讀題目，確認看到的問題是否與原始問題相符，方可進一步處理.二是要明白條件，轉化語境.把問題直白呈現出來的條件叫作明顯條件，那些未被明確指出，但又確實存在的條件則被稱為隱藏條件.掌握條件就是要了解明顯的條件，發掘隱藏的條件，并將其中的文本表述、圖像描述等轉化為數學術語，這樣能更好地讓學生理解題目.運用波利亞解題模型第一步便是將晦澀難解的數學題目轉變為簡單明了的文字敘述，具體如下所示：

對上述題目加以分析和研究后，學生可以利用波利亞解題模型，將這一題目進行拆解：

【未知量】定點M在坐標系中的具體位置.

【已知量】N是一個動點.

【顯性條件】x的取值范圍為大于零，MN兩點之間的線最短距離為22.

（二）擬定解題方案

1.聯系知識，注重合理

在解決問題的過程中，學生會首先對題目中的條件進行分析，然后從這些條件出發，尋找相關聯的解決方案.因此，學生在這個階段，必須全面掌握所需的基礎知識，并能熟練運用.一旦找到了相關的知識，學生還需要確定使用這些知識解決問題的合理性，尋找出最適當的解決方案，以減小計算量，提高解題的準確度.

例2 已知圓x2+y2=4，直線l：y=x+b，當b為何值時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1.

針對上述題目，教師首先可以向學生提出問題：在以往的作業中，大家接觸過這樣的題型嗎？知道此類題型主要考查的是哪方面的知識點嗎？教師通過詢問可以引發學生對題目背后的出題思路加以思考，并且引導學生做出進一步的探究，思考這一類型的題目是和平時課堂教學中的哪部分知識相呼應的.此外，教師可以引導學生進行進一步的思考：在解決這一類型題目時，可以具體用到什么樣的方法加以解答？最后，教師指導學生結合目前已經學習的基本知識，對這一題目運用自己的語言加以重新表述.教師以此幫助學生進行對已學知識的鞏固，同時通過學生對題目的復述情況，檢驗學生目前對相關知識的掌握程度，以此為后續教學提供參考意見.

2.發散思維，合情推理

“啟發法”中的一種思維方式就是邏輯推理，指的是學生基于自身已有經驗來進行思考和判斷的過程.因此，在解決問題的過程中，教師有必要教導學生如何運用“合情推理”這種思考方式，以提升他們解決問題的技巧.例如，他們可以通過對比來學習推理，也可以通過對已有的信息加以整理從而得出結論.

（三）實施解題方案

1.剖析方法，高效解題

各種題型各自具備獨特的屬性.部分題目的考查內容較為淺顯，因此提供的線索也相對直觀，學生通過解析就能輕易地構建出已知與未知的關聯，進而獲得一種簡便的方法來解答題目.然而，也有一些問題的難度較大，提供的信息也比較冗雜，即使學生付出極大的努力去解讀，也可能并未發現最佳的解決方式，這會使得計算過程變得更加復雜，增加了犯錯的可能性.運用波利亞解題模型，指導教師引導學生尋找最簡單的解決方案，以此提升他們的解題速度，提高他們解題的準確度.

例3 已知矩形ABCD，AB=20，BC=15.沿對角線AC將ΔABC折起，使得BD=481，則二面角B-AC-D的大小是多少？

解法1 過D作AC的垂線，垂足記為O.以O為原點，OA為x軸，OD為y軸建立如圖1所示的空間直角坐標系.

求二面角大小借助法向量是比較常規的解法，但是此題對于學生來說，建立坐標系以及計算都有不小的困難，所以教師可以引導學生思考是否存在更合適的解法以優化計算.

解法2 為了方便表示點B坐標，過B點作AC垂線（垂足記O），并延長交CD于點E.以OE為x軸，OC為y軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系.

2.優化計算，提高效率

對許多學生而言，數學計算一直是他們亟待提升的一項技能.他們在解答問題時常遇到這樣的困擾：盡管理解了問題的解決方法，但就是不能順利地給出最后的答案.如果這種狀況持續發生的話，可能會削弱他們的學習熱情.因此，教師應該引導學生尋找最佳的計算策略，并遵從波利亞解題法的原則，鼓勵他們詳細描述每一個解題環節，確保其準確無誤.同時，教師在解釋解題流程的過程中也應依照波利亞解題法的規定，避免省略任何一步驟，并且盡可能詳盡闡述計算背后的理論基礎，把這些理論分解為更為細小、易于理解的部分，以助推學生計算技巧的進步.

（四）反思解題過程

1.分析錯題，逐個突破

對于每個學生出錯的具體原因，教師都需要深入研究并逐步攻克.例如，如果某個學生的基礎知識存在不足，那么教師就應該強化他學習基礎知識的能力.當學生掌握了基礎知識卻無法運用時，教師則需要通過相關題目，來增強他們的實踐經驗.對于那些已經能夠熟練應用知識且正確作答的學生，他們可能只是因為粗心大意而出錯，這時教師可以提升他們的計算技巧.對于那些只能應對已知問題、面對未知難題就無從下手的學生，教師必須加強對他們的思維和想象力的培養，以破除他們的固有思維模式.所以，教師在解題訓練過程中應當鼓勵學生定期自我反思，以便更深刻地理解問題，同時要針對各類學生的情況制訂個性化輔導計劃，真正實現有針對性指導，助力學生完成挑戰.

2.總結題型，探索規律

對每一個學生而言，從入學就開始了數學的學習之旅，隨著時間的推移，數學逐漸從具體轉變為抽象.當他們面臨高級別的問題時，需要通過歸納相似題目、研究其解答模式來尋找答案，熟練掌握一種題目的解決方案能加速他們的學習進程.

結 語

總的來說，波利亞解題模型作為一個解決問題的有效模型，被廣泛地運用到數學問題解答的過程中，不僅提高了學生的數學解題效率，還促使他們逐步養成良好的解題習慣，提高了他們的數學解題能力.因此，高中數學教師應該在常規的解題教學過程中，根據具體的習題深入研究波利亞解題模型，讓學生學習該模型，慢慢熟悉并掌握它.

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