基于逆向思維的小學數學解題教學研究

【摘要】逆向思維，是基于問題結果轉化問題的一種思考方式，在數學解題中的應用有助于學生快速定位解題關鍵點，把握題目關鍵信息，形成清晰的解題思路，從而提高解題能力.文章基于逆向思維對小學數學解題教學方法展開研究，首先論述逆向思維的概念及特點，其次分析小學數學解題中運用逆向思維的重要性，最后結合實際案例提出幾點運用逆向思維解題教學的策略，旨在幫助教師完善小學數學逆向思維培養方案，提高學生逆向思維能力，提升小學數學解題教學水平.

【關鍵詞】逆向思維；小學數學；解題教學

近年來，小學數學的出題角度和命題方式更為新穎，對學生的數學思維能力提出更高的要求，需要學生具備更為靈活的解題思維，根據具體題目類型與信息選擇合適的解題方式，提高數學學習能力.小學數學教師應重視培養學生的逆向思維，以解題教學為載體，向學生直觀演示和講解逆向思維在解決數學問題中的應用方法，使其掌握逆向思維的運用要點，有效攻克解題難點，提高解題的快速性和準確性.教師需在基于逆向思維下深入探索數學解題教學的創新方法，幫助學生積累更為豐富的解題技巧，促進學生數學綜合能力的全面發展.

一、逆向思維的概念及特點

逆向思維具有求異性，其本質是逆向思考定論、觀點的思維方式.與根據已知條件探究問題結果所運用的正向思維不同，逆向思維強調從問題的角度探究相關條件，在思考方式上與正向思維相反，在解題中具有更大的靈活性.

逆向思維具有普遍性、批判性和創新性的特點.普遍性是指逆向思維在解題中具有廣泛的應用范圍，適用于各種解題情境，能夠從多角度、全方位探索問題解決的可能辦法，從而達到高效解題的目的；批判性是指運用逆向思維進行思考的過程本質上是對固有定論和觀點的挑戰，這也是逆向思維與傳統思維和慣性思維的本質區別.逆向思維強調從問題本質與問題條件的內在關聯切入，找到最佳的解題辦法；創新性是指逆向思維在原有的常規思維模式基礎上，擺脫刻板、僵化的思維局限性，以全新的視角審視和分析問題，獲得更多樣的問題解決方案.

二、小學數學解題中運用逆向思維的重要性

（一）擺脫思維定式

通過解題教學指導學生運用逆向思維，能夠更新學生固有的解題思維模式，幫助其擺脫套用公式和解題模板等固有解題思路的局限性，打破思維定式，大膽嘗試從問題的相反面找尋解題突破口，通過反向推導分析數學解題方案.這能夠拓展學生的解題思路，使其運用逆向思維強化數學知識的遷移與運用能力，在提升思維靈活性的同時，充分發揮數學知識在解題方面的應用價值.

（二）降低解題難度

運用逆向思維解決數學問題，可以幫助學生跳過復雜的題目信息，直擊解題關鍵條件，把握問題解決要點，快速準確地解決數學問題.相較于學生運用正向思維解題的方式，逆向思維的運用可以幫助學生更簡潔明了地閱讀和分析題目條件，使其擁有更為廣闊的思考空間，從而快速確定解題思路，提高解題速度與準度.由此可見，在小學數學解題教學中培養學生的逆向思維，在一定程度上能夠降低學生解決數學問題的難度.

（三）提升思維能力

逆向思維在打破學生思維定式的基礎上，挖掘學生思維潛能，更有助于活躍解題思維，增強其通過解決數學問題學習數學知識應用方法的動機.可以說，逆向思維的運用，能夠鼓勵學生面對數學問題探究不同的解題方案，尋求更多的解題“可能性”，促進其思維的多元發展，在提升學生數學思維能力方面起到了積極的影響作用.

三、基于逆向思維的小學數學解題教學策略

（一）逆用公式，掌握靈活解題技巧

小學數學問題多用公式作為解題方法，學生能夠在分析問題要求的基礎上靈活運用公式，是學生解題的關鍵.教師可以通過解題教學向學生演示逆用公式的解題方法，由此培養學生的逆向思維.在教學中，教師應指導學生根據題目中的已知數量關系，將其代入公式進行反向思考，逆向推理問題中未知的數量，使其掌握逆向運用公式解決數學問題的方法，積累解題經驗.

如，在人教版小學數學三年級上冊“長方形和正方形”一課中，以習題“要用一根長36厘米的鐵絲恰好圍成一個寬為6厘米的長方形，這個長方形的長是多少？”為例，解題涉及“長方形周長計算公式”的運用.

學生通過本節課程學習，能夠掌握“長方形周長=（長+寬）×2”，而在本題中，要求計算長方形的長，且已知該長方形的周長為36厘米，寬為6厘米，因此教師應引導學生運用逆向思維，將“長方形周長計算公式”進行變形，以“求長”為解題目的，得到“長方形的長=周長÷2-寬”，再將該變形后的公式代入本題，正確求解長方形的長.利用這種逆向思維，學生很容易解得長方形的長為36÷2-6=12（厘米），也能夠體會到逆用公式在解決數學問題中的靈活性，認識到逆向思維的重要性，有助于教師以此題為范例，培養學生逆向思考的解題能力，并熟練運用公式的變形用法解決數學問題.

（二）逆向思考，分析解題關鍵條件

解決數學問題的基本步驟為分析題目、獲取已知條件、確定解題思路，求解題目結論，可見，分析題目的已知條件是解題的基礎，也是學生需要具備的解題能力之一.教師應創新解題教學思路，改變學生固有的“根據已知條件求解問題”解題思維，引導其反向思考“要求出問題的結果，需要哪些已知條件？”從而突破學生以往的常態化解題思想，促進其逆向思維的形成.學生在具備這種靈活分析題目能力的基礎上，能夠迅速把握解題關鍵信息，提高題目分析效率，提升解題準確度.

如，在人教版小學數學三年級下冊“兩位數乘兩位數”一課中，以習題“小王收集了一些明信片，送給小吳40張，剩下的明信片打算放在相冊里收集，相冊一共30頁，每頁可以放12張明信片，小王剩下的明信片剛好放滿一整本相冊，小王之前一共有多少張明信片？”為例，在解決本題時，學生需要掌握的已知條件為“小王送給小吳40張明信片”“小王剩下的明信片可以放滿一整本相冊”.根據上述已知條件，教師可以指導學生在畫圖的基礎上運用逆向思維對已知條件進行思考，如圖1，使學生認識到：放滿一整本相冊所需的明信片張數與送給小吳明信片張數的和，便是小王之前所擁有的所有明信片的數量，由此得到解決本題的關鍵條件.

因此，學生在逆向思維的幫助下，首先應運用“兩位數乘兩位數”的相關知識，計算“相冊里明信片的數量”為30×12=360（張）.其次，學生應分析：因小王送給小吳的40張明信片，也包含在“小王之前所擁有的明信片”之內，所以要再加上送出去的40張明信片.最后，學生列出完整解題算式：30×12+40=400（張），解得本題.

運用逆向思維對題目已知條件展開思考，學生能夠準確把握解題的關鍵信息，正確分析題目所給條件內容，高效解決數學問題.

（三）逆向梳理，建立正確解題思路

解題思路的確定是影響學生解題效率和解題正確率的重要因素，逆向思維的培養能夠幫助學生在解題過程中擺脫思維困境，不局限于以常規思維思考問題，能夠迅速形成明確的解題思路，提高解題能力.教師應指導學生在解題過程中運用逆向思維剖析問題本質，層層深入，理清解題思路，提高解題效率.

如，在人教版小學數學四年級下冊“數學廣角———雞兔同籠”一課中，以習題“某班級共有38人，集體到湖邊租船游玩，大船可以坐6人，小船可以坐4人，班級一共租了8條船，且每條船都坐滿了，則大船和小船各租了幾只？”為例，本題與雞兔同籠題相似，因此同樣可以采用解雞兔同籠問題的逆向思考方式進行求解.

學生在解決本題時，發現若根據題目信息運用常規正向思維思考，無法找到解題的切入點，難以確定解題思路.因此，教師指導學生嘗試運用逆向思維剖析問題，運用假設的方式進行分析：假設班級租的8條船均為大船，則船上的座位數為8×6=48（人），比班級總人數38人多10人，即船上多出10個座位.而為了滿足每條船都坐滿這一要求，可以選擇用租小船代替租大船的方式，減少多余的座位數.已知每條小船的座位數比大船的座位數少2個，要避免全部租大船多出10個座位這一情況的發生，可以用每租一條小船少2個座位的方式，租5條小船，將多出的10個座位清空，則此時全部船的座位都能夠坐滿.在確定小船租了5條的基礎上，根據“一共租了8條船”這一條件，可輕松解得大船的數量為3條，代入驗算5×4+3×6=38（人），符合題意.因此，班級租了5條小船和3條大船.

可見，運用逆向思維分析本題的解題思路，學生更容易找到解題的突破口，并通過層層分析，解得正確答案.

（四）變式訓練，培養解題逆向思維

逆向思維的本質是以與正向思維相反的方式思考問題，因此培養學生的逆向思維可以采用圍繞數學問題設置變式訓練的方式，通過引導學生先以正向思維分析解決問題，再以逆向思維嘗試改變解題方法，在正向思維與逆向思維形成的強烈對比的影響下，使學生感受其中的反差，認識逆向思維在解題方面的優勢作用，最終達成促進其逆向思維形成的解題教學目標，活躍學生的思維能力.

如，在人教版小學數學五年級上冊“小數除法”一課中，教師首先設計一道可以運用常規思維解決的數學問題：一條道路長為150km，一輛貨車以30.5km/h的速度行駛，需要多長時間行駛完全程？學生運用常規解題思維，利用“時間=路程÷速度”求得貨車行駛完全程所需的時間為150÷30.5≈4.9（h）.

在此基礎上，教師對題目進行變式：一條道路長為150km，一輛貨車行駛完全程需要2.5h，若貨車行駛速度加快10.5km/h，則貨車行駛完全程可以節省多少時間？本題學生無法通過直接代入公式求出結果，因此需要在教師的指導下，運用逆向思維思考：求貨車節省的時間，需要求貨車提速后行駛完全程所需的時間，而求出這一時間又需要求出貨車提速后的行駛速度，涉及貨車初始速度的計算.由此，學生可以把握解決本題的關鍵，首先應運用公式求得貨車的初始速度為150÷2.5=60（km/h）.其次，求出貨車提速后的速度為60+10.5=70.5（km/h），最后，運用公式求出提速后所需行駛時間為150÷70.5≈2.13（h），解得節省時間為2.5-2.13=0.37（h）.

通過前后變式訓練的對比，學生深刻體會到逆向思維在解決數學問題上的靈活性和廣泛性，由此教師可以在實際練習中引導其形成逆向思維.

（五）反向推導，還原逆向思維過程

一些數學問題多會存在已知條件發生變化的情況，多變的已知條件使整體問題內容更為復雜，導致學生難以摸索解題思路，思維運轉受限.為提高學生分析復雜問題條件的解題能力，教師應引導學生嘗試運用反向推導的方式，在分析題干中羅列所有已知條件與未知條件，理解題目實際要求，從而高效探尋解題路徑.學生應運用變化后的結果反向推導出變化的已知條件，綜合各條件進行分析，最終獲得正確的題目結果.

如，在人教版小學數學六年級上冊“百分數（一）”一課中，以習題“某件商品第一天價格上漲20%，第二天在變動后價格的基礎上下跌10%，第三天在變動后價格的基礎上上漲30%，現價為200元，則該商品初始價格為多少？”為例，本題中的條件發生3次變化，且變化的條件導致商品最終的價格定在200元，因此教師可以引導學生以“200元”這一最終價格為思考起點，運用逆向思維反向推導，結合價格變動條件推理初始價格.

在反向推導過程中，教師指導學生將題目中的“上漲”變為“下跌”，將“下跌”變為“上漲”，則商品初始價格應以最終價格200元先下跌30%，再上漲10%，再下跌20%后，即可求出.根據這一解題思路，學生可列出解題算式為200÷（1+30%）×（1+10%）÷（1+20%）≈141（元），解得本題.

通過根據題目中反復變化的條件，運用反向推導的方式，根據條件變化得到的最終結果反向推理變化前的結果，理清解題思路，得到準確答案，使學生的逆向思維得到有效強化.

結 語

綜上所述，在小學階段培養學生的逆向思維尤為重要，而通過解題教學引導學生形成逆向思維，將強化學生運用逆向思維解決數學問題的技巧，是培養學生逆向思維能力的關鍵.教師應及時更新數學解題教學思路，將逆向思維培養滲透入解題教學的各個環節，拓展學生的思維深度，引導其從問題的對立面出發，反向思考觀點和結果的生成過程，掌握數學概念與公式的逆向運用方法，靈活掌握不同類型數學問題的解題技巧，切實提高解題能力.教師應在基于逆向思維下創新小學數學解題教學理念，引導學生走出思維定式，活用逆向思維高效解決數學問題，強化學生的數學思維能力.

【參考文獻】

[1]談應琪.逆向思維在小學數學解題中的應用技巧[J].理科愛好者，2023（6）：170-172.

[2]張海軍.逆向思維在小學數學解題中的應用技巧[J].數學學習與研究，2023（33）：159-161.

[3]鐘漳延.逆向思維在小學數學解題中的作用與培養[J].當代家庭教育，2023（1）：202-204.

[4]劉紅紅.逆向思維在小學高年級數學解題中的應用策略[J].智力，2021（19）：77-78.

[5]何平.逆向思維在小學數學解題中的作用與培養[J].數學大世界（下旬），2021（6）：76-77.