應用函數思想解高中數學題的策略研究

【摘要】函數作為高中數學中的一大主線，函數思想在非函數章節中也有著廣泛的應用，并且一直是高中數學教學中的重點.函數思想的本質是以運動、變化的觀點去探尋問題中的數量關系，再以函數建模的方式，利用圖像和性質去分析、轉化問題，從而找到解決問題的途徑.文章簡述應用函數思想解題的表現，并通過案例分析的方式，闡述函數思想解決方程、不等式、數列、最值、實際優化、比較大小等問題的具體策略，旨在強化學生的解題能力.

【關鍵詞】函數思想；高中數學；解題策略

函數知識貫穿于整個高中數學教學中，仔細閱讀教材內容可以發現，方程、數列、不等式、立體幾何等章節中都存在函數思想的“蹤跡”.高中數學教學中，學生需要通過逐步積累經驗來內化函數思想，這樣才能在解決問題時，找到題目數量關系與函數之間的銜接點，從而得到正確的答案.對此，在教學中，高中數學教師應在解題教學中積極運用函數思想，提高學生思維的深刻性和廣闊性，進而提升學生解題的效率和正確率.

一、應用函數思想解題的表現

高中數學學習中，學生經常可以遇到一些表面上非函數，但隱含函數關系的問題，這類問題非常適合應用函數思想去解決，通過凸顯隱含的函數關系來順利得到正確答案.同時，還有部分問題中有著明顯的函數形態，包含參數、取值范圍等表義明顯的關鍵詞，學生可以轉換視角，利用函數思想揭示問題中的函數關系，突破題設的限制，切入問題的本質，從而有效解決原本的問題.此外，遇到條件、結論與函數毫不相干的問題，學生也可以通過類比、聯想、抽象、概括等手段，構建出函數關系.基于此，利用函數思想和方法解決問題，具體表現在以下兩個方面：第一，利用初等函數的性質，即在解決問題時靈活運用函數的奇偶性、單調性、周期性來解答求值，解不等式或解方程等問題.第二，建立函數關系或構造中間函數，這顯然是利用函數思想解題的更高層次體現，構造函數時需要審時度勢，通過分析原題中類比、聯想的主要因素，以思維遷移的方式進行構造，一旦成功，就可以將探究的問題轉化為討論函數的某種性質，有效降低數學學習難度.

二、高中數學解題教學中應用函數思想的策略

（一）方程問題：凸顯邏輯關系，利用圖像求解

方程問題貫穿了學生的數學學習生涯，從小學開始就接觸方程求解問題，隨著年級的增長和知識量的積累，解方程的難度也大大提高，尤其是步入高中后，方程求解問題的復雜性大大增加，且與函數有了密切的聯系.對此，在解決方程問題時，教師應嘗試引導學生利用函數思想來求解，指導其根據方程中的數量關系來構建函數，完成“方程”向“函數”的轉化，讓學生通過觀察和分析函數圖像找到解題思路.

以湘教版高中數學必修第一冊“函數與方程”教學為例，教師可以根據函數與方程之間的關系，設計難度適宜的問題并利用圖像解決問題.具體內容如下：

基于此，可以發現函數思想能助力解決方程問題，且函數圖像在解題中發揮著重要作用，結合圖像分析問題、解決問題能更加便捷地得出正確答案，從而提高學生解方程的效率和質量.

（二）不等式求解：構建邏輯關系，轉化解題思路

不等式是高中數學教學中的另一重點，在高考試卷中也占據著較高的分值，提高學生解決不等式問題的準確率，能有效培養學生的思維能力.分析教材的內容發現，高中數學中的不等式多是通過符號來構建邏輯關系的，解決問題的過程中，教師應指導學生利用函數思想轉化解題思路，進而得出正確的答案.展開來說，函數思想多用在不等式求解、不等式恒成立等問題中，通過構建相應的函數，將不等式問題轉化為函數問題，再以解方程為一般手段，得出正確結果.

以湘教版高中數學必修第一冊“一元二次不等式”教學為例，教師在指導學生求解時，應積極構建邏輯關系，轉變學生的解題思路，具體內容如下：

（三）數列求解：分析數量關系，拓展解題方法

數列是高中數學教學中的另一個重點，分為等差數列和等比數列兩個主要類型，其中，學生對數列的概念和公式印象較為深刻，但應用理論知識求解時，則容易陷入思維誤區.為了避免上述問題的出現，教師應指導學生在求解數列的過程中應用函數思想，將數列轉化為函數，再結合函數中已知量和未知量的關系，構建合理的函數邏輯關系，從而實現快速求解的目的.

以湘教版高中數學選擇性必修第一冊“等差數列”教學為例，教師可以設計等差數列問題，具體內容如下：

（四）最值問題：立足函數視角，降低解題難度

最值問題是學生出錯率較高的問題，也是高中數學學習中的一大難點.一般來說，常見的最值問題包括導數最值、立體幾何最值、不等式最值、平面向量最值等，教師應立足函數思想引導學生探索最值問題，靈活運用函數的性質去分析和討論，從而降低學生解題的難度.值得注意的是，教師可以結合學生作業、測試中的真實表現，搜集其犯錯率較高的問題，探索犯錯的原因，如忽視了取值問題、沒找到正確的函數關系等，再設計具有針對性的解題練習，以確保函數思想滲透的效果.

以湘教版高中數學選擇性必修第二冊“幾種簡單幾何體的表面積和體積”教學為例，教師在教學中要著重引導學生探究面積最值的問題，具體內容如下：

立體幾何最值問題 王爺爺購買了一段長為30米的籬笆，準備圍成一個靠墻的矩形菜地（如圖2），通過測量知道墻的長度為18米，這個矩形長、寬各為多少時，菜園的面積最大呢？最大面積是多少？

（五）實際優化問題：利用函數思想，提高解題效率

實際優化問題是高中數學教學中較為常見的一種問題，且與生活實際密切相關，如利潤最大、用量最省、效率最高等.這類問題的抽象性較強，且分散在教材中的各個章節之中.面對這樣的問題，利用函數思想審題、分析能得出更直觀的計算思路，提煉出題目中自變量與因變量之間的關系，從而快速找到解題的突破口.

基于此，面對抽象性較強的問題，函數思想的運用以及模型的建立，能幫助學生找準題目中自變量和因變量的直接關系，快速地解決問題.

（六）比較大小問題：代入函數視角，形成解題思路

比較兩個實數的大小，一直是高考數學命題中的熱點，大多數情況下，命題者喜歡結合函數來考查學生對知識的掌握情況，那么，如何根據題目來構建相應的函數，便成了解決問題的關鍵.有的時候需要構建的函數非常簡單，題目中有著直接的體現，還有的時候題目與函數沒有直接的關系，學生在審題之初無法直接聯想到函數或是構造函數解決問題.對此，教師應指導學生展開分析，代入函數視角去尋找解題的突破點，逐步形成解題的思路.

以湘教版高中數學必修第一冊“相等關系與不等關系”教學為例，實數大小比較是本課中的重點知識，教師在解題教學中應指導學生嘗試從函數視角去分析和探索，從而形成相應的解題思路，具體內容如下：

比較大小 已知實數a，b，c滿足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，則a，b，c大小關系是（ ）.

A.c≥b>a B.a>c≥b

C.c>b>aD.a>c>b

在解決這一問題時，教師應先給學生充足的時間去探究和分析，學生發現兩個式子中都是關于a的表達式，且“b+c”和“c-b”非常容易聯想到利用作差法比較a，b，c的大小.但如何利用b或c來表示a的表達式，則需要應用到函數思想展開進一步的分析.對此，教師可以啟發學生運用函數思想進一步展開思考，利用a-b或b-a，c-b或b-c，a-c或c-a等看成關于a的函數，再根據題意解題，如由題意可知b+c=6-4a+3a2 ①；c-b=4-4a+a2 ②.通過①-②得出，b=a2+1，故而b-a=a2-a+1，再利用函數思想將“b-a”看成關于a的二次函數，可以得出函數圖像開口向上，且Δ=1-4<0，故而b-a>0，即b>a.再推導b與c之間的關系，根據c-b=4-4a+a2進行遷移，得出c-b=a2-4a+4，利用函數思想將“c-b”看成關于a的二次函數，可以得出函數圖像開口向上，且Δ=16-16=0，故而c-b≥0，即c≥b，進而得出a，b，c的大小關系為c≥b>a，故選擇A.

結 語

總的來說，在高中數學解題教學中應用函數思想，能有效提高學生的解題能力.縱觀近些年高考數學試卷的命題趨勢，可以發現出題者越來越重視函數思想的運用，主要表現在加強了對計算能力、邏輯思維的考查，旨在強化學生的函數思想.對此，教師應以解題教學為媒介，設計具體的問題，引導學生探究函數思想在解決方程、數列、不等式等問題中的應用策略，讓學生學會多角度思考復雜問題，以促進學生綜合素養的發展.

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