新課標背景下培養小學生數學眼光的策略探究

【摘要】數學眼光就是從數學的角度來看待生活問題，即從生活問題中抽象出數學本質的能力.在新課標的引領下，小學數學教師應關注對學生數學眼光的培育.文章以“倍的認識”教學為例，分別從“知識梳理，逐級抽象”“多元表征，理清關系”“變式應用，形成模型”三個方面展開教學與分析，并有針對性地談幾點思考與感悟.

【關鍵詞】數學眼光；核心素養；倍數

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）的頒布，培養學生的“三會”能力受到廣大教育工作者的關注.“三會”即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.《新課標》所說的“會用數學的眼光觀察現實世界”.是指數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式.筆者以為，所謂數學眼光，就是從現實世界以及客觀事物當中發現數量關系以及空間形式的意識與能力.因此，在授課時，教師可結合學生認知特點，應用好“形”的可視、直觀、簡明與結構性等特點，讓學生“以形轉思、以形促思”，從而自然而然地形成用數學的眼光觀察世界的能力.下面就遵循這樣的理論思考，談談一些具體的教學實踐與教后反思.

一、教學實踐

通過教學實踐來培養學生的數學眼光，當然是有效的教學途徑.尤其是結合文章開頭的分析，當教師決定借助于圖形來培養學生的數學眼光時，實際上就從宏觀層面確定了這樣的教學必然是從形象思維走向抽象思維的過程.學生能否順利地從形象思維走向抽象思維，一方面需要學生的自主建構與思考，另一方面也需要教師有針對性的指導.教師結合具體的數學知識，讓學生經歷知識的建構過程，并從中體驗、抽象與建模，可以有效培育學生的數學眼光.下面就以“倍的認識”這一知識的教學為例，來談談筆者的實踐過程及思考.

（一）梳理知識，逐級抽象

從教學內容分析的角度來看，關于“倍的認識”，其“形”的呈現異常豐富，如形象圖、實物圖、線段圖等.學生從各種“形”的變化中，可實現“以形轉思”的完整抽象.這不僅是促使學生用數學的眼光觀察世界的過程，還是發展學生數學抽象能力與核心素養的過程.與此同時，筆者發現，在本節課的教學過程當中，要讓學生真正認識“倍”，主要存在如下三個核心內容：①認識倍；②解決一個數是另一個數幾倍的問題；③解決一個數的幾倍是多少的問題.與之關聯的圖主要有實物圖、形象圖與線段圖.每一種圖形逐層進階，對培育學生的數學眼光具有重要價值.

通過這樣的分析可以發現，在具體的教學設計過程中，要讓學生的數學眼光得到培養，很重要的一點就是幫助學生梳理知識，并在此基礎上引導學生進行逐級抽象.這樣就可以讓學生真正處于學習主體的地位，無論是知識梳理的過程還是逐級抽象的過程，都是學生自主完成的.從數學眼光培養的角度來看，由于這樣的過程可以讓學生一方面借助于相對較低水平的抽象思維去梳理知識，另一方面借助于相對較高水平的抽象思維去完成對現實世界的加工，如此從低階向高階過渡的抽象思維可以奠定數學眼光培養的基礎.因此，在進行教學設計的時候，筆者思考先借助于實物圖展示讓學生思考其中的倍數關系，然后運用變式提供新的例子，讓學生思考其中的倍數關系.如此重復之后，學生就可以完成一次較高水平的數學抽象.具體例子如下.

例1 實物圖展示，2根胡蘿卜，6根（3組2根）圓蘿卜，圓蘿卜是胡蘿卜的幾倍？

探索此例時，學生通過蘿卜的分類與圖的圈畫，初步抽象本節課的主題———倍.學生根據“幾個幾”進行圈畫，建立倍的概念.

例2 形象圖展示，班上掃地的學生有4人，擦桌椅的學生有12人，擦桌椅的人數是掃地人數的幾倍？

此例以離散型的小人圖進行展示，并將4個小人作為一個小單位（圖下畫一條弧線），以幫助學生從真實情境中抽象“一個數是另一個數幾倍”的關系.學生的思維在此過程中逐步升級.

例3 線段圖展示，軍棋的價格是8元，象棋的價格為軍棋的4倍，象棋的價格是多少元？

“實物圖———形象圖———線段圖”的進階，促使學生思維進一步發展，充分感知“一個數的幾倍”問題中所蘊含的數量關系，此為本節課關鍵性的一步.至此，學生的思維成功地實現了從實物關系到抽象數量關系的升級.

（二）多元表征，理清關系

客觀存在的個體差異導致學生的認知水平與領悟能力有較大差別.對于相同的問題，學生會根據自身的認知經驗形成不同的思考，那么表征方式也有較大區別.對于“求一個數的幾倍”問題，教師可在尊重學生個體差異的基礎上，鼓勵其用圖來表達對問題的理解.用圖來表達，一方面，可展現學生的思維過程，另一方面促使學生逐步摘除問題中的“生活味”，學會用數學的眼光來審視現實問題，保留問題中的“數學味”，并通過對數學元素間關系的建立來分析與解決問題.

教學片段一 探索“一個數的幾倍”問題

觀察圖1，說說你從圖中能獲取哪些信息.根據這些數學信息能解決什么問題？

生1：通過對圖形的觀察，可知軍棋的價格為8元，象棋的價格為軍棋價格的4倍，我所想到的問題是“購買一副象棋需要多少元？”

師：非常好！表述得非常清晰，這是用語言表達的過程，有沒有同學能夠用圖形語言來表達這個問題？

在教師的啟發下，學生自主畫圖，教師擇取部分圖進行投影展示（見圖2）.

師生活動：首先，以小組合作的方式，學生交流各自的想法，由組內成員一起評判所畫圖形是否滿足題意；其次，各組展示所畫的圖，通過對實物圖、符號圖與線段圖的類比分析，探尋不同表征方法之間的異同點；最后，教師引導學生梳理問題中所蘊含的數量關系，即將軍棋的單價視為1份，而象棋的單價則為4份，由此可以理解象棋的單價為4個8元，那么應用已有的知識結構（乘法運算）就能順利解決問題.

從學生所展示的圖來看，學生的思維經歷了逐級抽象、上升的過程.隨著思維的深入，其概括程度也越來越高.此例帶給學生的啟發如下：一條線段可以代表任何現實生活中的事物，如8個人、8只雞、6只球等，也可以代表任意數量，如8元、10只、1000個等.不論該線段代表的是什么，它的本質都是表示“1份”，再畫另一條線段來表示“幾分”，這兩條線段之間就存在了倍數關系，即“1份”與“幾份”的關系.只要明確1份的具體值，那么“幾份”就用該值乘幾，從而運用乘法運算解決問題.

隨著多元表征的應用，學生不僅深刻理解了線段圖的現實意義，還學會應用不同的方式來表達現實生活中的一些數量關系.此為“以形輔數、以形助思”的過程，而學生的感知在圖形的協助下逐漸清晰，其用數學的眼光觀察世界的能力也逐漸形成.進一步思考多元表征在培育學生數學眼光過程中的作用可以發現，前者對后者有著極為重要的促進作用.對同一個生活事物或者數學問題進行多元表征的時候，意味著學生要從多個角度去思考同一對象或問題，且需要用不同的方式.在這個過程中，學生的思維是非常豐富的，且會自然地從形象思維向抽象思維過渡.學生會經歷時間較長、水平較高的數學抽象過程，因此其數學眼光能夠得到培養.從這個角度來看，小學數學教師要釋放更多的時間與空間讓學生進行多元表征.教師在學生進行多元表征的過程中要進行積極評價，要引導學生從形象思維走向抽象思維，從而讓數學眼光的培育更高效.

（三）變式應用，形成模型

模型是對教學內容的高度抽象.簡練的表達是數學模型的本質.模型作為一種特殊的表達形式，對發展學生的概括與抽象能力具有重要影響.在本節課中，如何引導學生從“形”中抽象模型，提煉模型思想，以準確地刻畫數量關系呢？

教學片段二 探索“一個數是另一個數的幾倍”問題

教師借助多媒體設備展示圖3（此為實物圖，沒有數據）.

師：請大家觀察圖3，結合之前的學習，談談你的想法.

生2：我們可以將2朵白花視為一個整體，此圖需要求解藍花的數量是白花數量的幾倍.

師：這個想法不錯，若用數學語言描述，該怎么表達？

生3：求6中有幾個2？

師：怎么列式？

生4：6÷2=3.

師：非常好！現在我們將題目稍微變化一下，大家一起思考.

變式1 如圖4，將圖3中的藍花直接用數據12來表達，隱去花朵.請你說說觀察這幅圖之后的想法.

生5：我們同樣可以將2朵白花視為1份，求12中存在幾個“1份”，即12里面存在幾個2？依然用除法運算解決問題.

變式2 如圖5，隱去所有花朵，要求學生思考圖示所傳遞的數量關系.

學生自主列式：12÷3=4.

師：通過以上三個變式的研究，大家有什么發現？

生6：不管以什么形式呈現的問題，標準量和比較量無論怎么變化，想要獲得一個數是另一個數的多少倍，就是探索“一個數內有幾個幾”的問題，都可以用除法運算解決問題.

學生在變式訓練中強化了對“倍”的理解，并學會從除法的角度構建新的概念.這種形式的展示本質就是動態演示“標準量”與“比較量”的變化過程.隨著圖示的變化，學生的思維也逐漸深刻，其對問題的理解也越發清晰，即分析一個數是另一個數的幾倍，其中表示“率”的數量發生改變，那么所獲得的“倍數”也隨之改變.圖形的變式應用為學生的思維搭建了“腳手架”，讓學生自主學會用數學的眼光來觀察事物，提升核心素養.

隨著圖形的變化以及師生積極的互動，學生不僅提煉出問題的本質，獲得“倍”的模型，還獲得了去偽求真的能力，即去除問題信息中的無效信息，提取問題本質，形成用數學眼光觀察世界的能力.

二、感悟與思考

1.“形”的直觀性，可讓學生用數學眼光感知世界

教師充分借助圖示的直觀性，可讓學生的直觀形象思維向抽象邏輯思維轉化，這是促使學生學會用數學眼光觀察世界的基礎.在本節課，一個個圖示的應用讓學生在直觀的圖中提煉問題的本質，形成良好的解決問題的能力.尤其是不同形式圖形的應用讓學生的思維由淺入深地螺旋式上升，成功實現了從形象到抽象的發展.因此，教師借助“形”的可視化特征，可將問題化繁為簡，不斷豐富學生的思維，提升學生用數學眼光感知世界的能力.

2.“形”的簡明性，可讓學生用抽象眼光理解世界

鑒于學生個體差異性的存在，教師應鼓勵學生用不同的方法來表達同一個問題.每名學生結合自身的認知經驗進行了文字表達、畫圖表達，將原本模糊的數學問題轉譯成清晰的問題，從而感知問題本質，獲得良好的解題思路.由此可見，“形”的簡明特征可進一步增強學生探尋事物本質的機會，促使學生形成用抽象的數學眼光來理解這個現實的能力.

3.“形”的結構性，可讓學生用模型眼光洞察世界

“形”的結構性特征可讓學生更加直觀、客觀地理解與想象問題，形成直觀分析與推理，為建模奠定基礎.建模過程就是不斷錘煉思維的過程.隨著模型思想的形成，學生獲得了用數學眼光洞察現實世界的能力.

結 語

總之，在數學教學中，“形”的應用可有效拔高學生的思維，讓學生的思維順利地從低階走向高階.這是很多傳統教學方式所無法達成的效果.這就要求教師能夠充分發揮“形”的價值，從而奠定學生深入思考的基礎，促使學生學會用數學的眼光觀察與分析現實問題，幫助學生提煉數學思想方法，提升邏輯推理能力，這對發展學生的數學核心素養具有重要價值與意義.

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