一般觀念思維引領 促進知識自然建構

【摘 要】基于單元教學的高三第一輪知識復習，在一般觀念的思維指引下，首先對具有某種內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，形成相對完整的復習單元，接著以問題鏈為載體，促進一般觀念具象化、結構化，引導學生開展系列化的單元復習活動。這樣融合一般觀念而設計的問題鏈，能夠有效促進知識整體化、方法系統化、復習過程自然化，凸顯復習課的邏輯性和系統性，從而發展學生的一般觀念，培養學生的思維能力。

【關鍵詞】一般觀念；單元教學；問題設計；三角函數

現行教材遵循一般觀念的思維引領，以研究數學對象基本思路（背景—概念—要素—表示—分類—關系—運算—性質—應用）為線索，以數學知識的內在邏輯關系為基本依據，將學習內容組織成單元模塊進行編排，再分課時展開單元整體教學。基于單元教學的高三第一輪知識復習也應遵循這“一定之規”，從整體著眼，以教材為基礎，在一般觀念的引領下，對具有某種內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，形成相對完整的復習單元。同時，引導學生開展系列化的單元復習活動，幫助學生自然建構知識脈絡，夯實學生的“四基”，優化知識復習效果，發展學生的一般觀念，切實讓高三第一輪知識復習成為提高學生“四能”的沃土。

一、一般觀念的概念界定

一般觀念是數學大概念的一種表現形式，是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論，對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用。［1］

根據教學功能不同，一般觀念可以分為：（1）指向內容“是什么”的一般觀念，如幾何圖形性質是什么（圖形的形狀特征、大小度量及位置關系）。（2）指向內容“怎么學”的一般觀念，如如何借助單位圓研究三角函數，如何利用坐標法研究幾何對象，如何建立曲線方程（通過實際背景抽象出曲線的幾何特征，再根據幾何特征建立適當坐標系求出標準方程，最后進行方程與曲線等價性的驗證），如何通過運算研究數列問題，如何研究幾何圖形的性質（可由形到數，通過觀察畫出的圖象，得到函數的一些性質，再通過代數變換加以驗證；或由數到形，進行代數變換，得出解析式的某些特征，然后翻譯為圖象性質）等。（3）指向內容所蘊含的數學基本思想方法的一般觀念，如三角函數性質是圓幾何性質（主要是對稱性）的直接反映；向量是溝通幾何與代數的橋梁；培養解析幾何的數學思維方式（先用幾何眼光觀察，再用代數解決幾何問題）；同一事物的不同形式之間一定存在內在聯系，可以相互轉化；空間問題平面化；函數思想統領方程、不等式；定義一種運算就要研究運算律，這是代數的核心思想；導數是研究函數性質的工具等。［2］由此可見，一般觀念具有數學基本思想和具體研究策略雙重屬性。

二、一般觀念引領下的單元教學設計策略

單元教學設計的難點在于找到串聯、整合、重構內容的邏輯。在一般觀念的引領下進行單元教學設計，可將散布在教材中具有關聯的知識按“是什么”的一般觀念組織在一起，形成單元教學內容。另外，在“怎么學”“數學基本思想方法”的一般觀念指導下確定教學思路，開展教學活動。一般觀念是單元整合的依據和標準，使得單元教學設計與實施有邏輯可循，同時為教師進行單元教學實踐提供了整體思路，實現單元教學“上接下聯”（即上接學科核心素養，下聯課時教學目標）。

三、一般觀念引領下的知識復習建構要點

高三第一輪知識復習，是對之前獲得的知識、方法以及經驗的重組與深化。高三學生在“研究什么”“如何發現”“如何研究”“如何推導”“如何解決”等一般觀念上已經積累了一定的元認知，復習時將一般觀念融于系統性、層次化的數學對象研究過程，可以喚醒學生對知識和方法的認知，促成知識體系的自然建構，學生“四能”的培養也就在一般觀念的引領下水到渠成。

因此，一般觀念引領下的高三第一輪知識復習建構的關鍵，主要是內容的選擇和組織，以及內容所反映的一般觀念的深化。

1.立足教材，以一般觀念為思維指引，劃分單元及課時內容

顯性化的復習內容不應該是離散的、不連貫的碎片化知識，也不應該是數學概念、定理、公式、法則的簡單堆砌，而應該圍繞結構化、有聯系的數學核心概念及其所反映的一般觀念進行精心選擇并合理重組，將復習課組織為連續的、邏輯連貫的學習進程。

以三角函數單元復習為例，內容編排應遵循研究函數的基本思路“背景—概念—要素—表示—分類—關系—運算—性質—應用”，但是三角函數的研究方法又具有特殊性，那就是一以貫之地發揮單位圓的作用。同角三角函數關系、誘導公式、三角恒等變換是單位圓特殊對稱性、旋轉對稱性的解析表示，同樣是借助單位圓這個腳手架展開研究。三角函數圖象與性質的研究內容與其他基本初等函數類似，但由于三角函數的這些性質與單位圓的幾何性質緊密關聯（這些性質反映單位圓上的點按逆時針方向旋轉時其坐標的數量化和變化規律），基于邏輯的連貫性，教材借助單位圓的幾何直觀作圖，并重點研究三角函數的周期性等整體性質。三角函數應用中，如函數y=Asin（[ωx+φ]）圖象與性質研究，主要是通過與函數y=sinx建立聯系，從代數變換的角度得出相關性質，拆除單位圓這個腳手架，研究視角從幾何直觀上升至代數推理，思維從感性上升至理性。

基于上述分析，可發現三角函數研究過程中的共性，即遵循函數的研究思路，以單位圓為腳手架展開探究。由此提煉出以下一般觀念：（1）如何研究三角函數？利用單位圓，發揮腳手架作用。（2）函數性質是什么？變化中的不變性和規律性，主要研究單調性、奇偶性、周期性、特殊取值、對稱性。（3）三角函數的性質是圓的幾何性質（主要是對稱性）的直接反映。（4）如何研究幾何圖形的性質？可由形到數，通過觀察畫出的圖象，得到函數的一些性質，再通過代數變換加以驗證；或由數到形，進行代數變換，得出解析式的某些特征，然后翻譯為圖象性質。

本文以內容所體現的一般觀念為思維指引，重構三角函數復習單元：三角函數的定義和基本性質（第一單元）、三角函數的圖象與性質（第二單元）、三角函數的應用（第三單元）。綜合復習實際安排課時內容如下：任意角、弧度制及三角函數的概念（1課時），同角三角函數的關系和誘導公式（1課時），三角恒等變換（1課時），三角函數的圖象與性質（2課時），函數y=Asin（[ωx+φ]）的圖象與性質（2課時），三角函數模型的應用（1課時）。

2.以問題鏈為載體，促進一般觀念具象化、結構化

一般觀念是高度抽象的，其與具體對象的關聯以及在解決問題中的引導作用并不是顯而易見的。一般觀念也不可能是一蹴而就地學會，而是要經歷從接觸到熟悉領悟再到自覺運用的“生長”過程。［3］因此，復習過程中需要借助具體的研究對象，以問題為載體，將一般觀念融于有邏輯、有結構的問題鏈中，通過問題鏈給出一般觀念的明確提示，并適當變化問題情境，讓學生應用一般觀念解決問題。

首先，融合一般觀念來設計系統性的問題鏈，能讓學生更直觀地感知一般觀念及內隱化的數學基本思想和方法，有效發揮“暗線”的育人價值，使得“只可意會不可言傳”的一般觀念具象化、結構化。接著，重構的具有內在關聯的單元復習內容使學生有機會不斷接觸、反復領悟，充分感受一般觀念在研究數學對象、解決數學問題中的思想引領作用，更有力地培養學生的理性思維，使學生的“四基”“四能”得以升華。

數學問題鏈是根據教學內容及所蘊含的思維脈絡，立足學生認知水平而設計的系統性、層次性、結構化的問題序列［4］，是激活學生數學思維，深化一般觀念，驅動學生思維進階，培育核心素養的重要學習形態。

數學問題鏈由橫向的主干問題及縱向的追問組成，具體設計步驟如下：首先以整體到局部的結構化思想為指導，融合學習任務及所蘊含的思維主線來設置主干問題，搭建問題鏈整體框架，構建思維層次；接著細化局部，設計追問，延展思維深度。主干問題是驅動數學知識發生、發展的核心問題，追問是遵循學生認知過程，聯結主干問題思維跨度，指引學生深入思考的重要問題。［5］

四、一般觀念引領下的知識復習建構案例

1.復習片段一：三角函數的定義

三角函數定義的復習需引導學生再次回顧研究一個數學對象的基本思路的一般觀念。

引導語：現實世界中存在著各種各樣周而復始變化的現象，你能舉例說出其中一兩個實例嗎？

師生活動：學生能說出圓周運動、潮汐現象、簡諧運動等。

主干問題：圓周運動是這類現象的代表。如圖1所示，將單位圓“放在”直角坐標系中，單位圓上點P以點A為起點逆時針旋轉[α]角，你能建立一個函數模型，刻畫點P的位置關系變化情況嗎？

師生活動：利用幾何畫板，教師引導學生觀察終邊變化，發現終邊與單位圓交點坐標呈規律性變化，且任意給定一個角[α]，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y都是唯一確定的。

追問1：你能說一說三角函數的定義嗎？

師生活動：學生自主說出三角函數的定義。

追問2：如果點P與原點的距離為r，那么[sinα]的值為多少？

師生活動：教師引導學生辨析三角函數兩種定義方式（“單位圓定義”與“終邊上點的坐標比定義”）的區別與聯系。

課堂小結：你能將本節課所學內容對照研究函數的基本思路進行歸類嗎？

師生活動：學生能說出基本思路“背景—概念—要素—表示—分類—關系—運算—性質—應用”，并將復習內容進行歸類整理，形成知識的復習結構。

課后思考：按照研究一個數學對象的基本思路抽象出概念后，我們還可以研究三角函數的哪些問題？

【設計意圖】基于單元教學的復習課起始課，重在勾起學生對過往知識的回憶，回想起整個單元的研究內容、研究方法，然后運用一般觀念將內容與方法串連成線，構建單元知識與方法的整體結構脈絡。在概念的抽象環節，問題設計要起點低一些，坡度緩一些，同時要遵循一般觀念的思維指引，且符合知識自然發生發展。通過層層遞進的追問，學生經歷了重要概念的建構過程，循序漸進地將思維引向綜合。課后思考題的設計，要為思考留白，發揮學生思維的主動性，幫助學生養成一般性思考問題的習慣。

2.復習片段二：三角函數基本性質

三角函數基本性質的復習在“如何研究三角函數性質”“三角函數的性質是圓的幾何性質（主要是對稱性）的直接反映”等一般觀念指引下展開知識建構。

主干問題1：上節課我們回顧了三角函數研究思路中的概念、要素、表示、分類等內容，若從“關系”著手，根據以往學習基本初等函數的經驗，我們可以研究三角函數的哪些關系呢？

師生活動：學生回顧以往基本初等函數學習過程中涉及的“關系”（如指數函數與對數函數的關系），共同歸納出以同一個角作為分類標準的同角三角函數的關系，以兩個不同角（如[α]與[-α]，[α]與[π±α]，[α]與[π2±α]，[α]與[2kπ+α]）作為分類標準的三角函數的關系，三個角［（[α-β]）、[α]、[β]］的正弦、余弦之間關系等。

追問1：如何發現并證明這些關系式？

師生活動：遵循研究三角函數性質的一般觀念，首先，學生根據圓的幾何性質得到同角三角函數的基本關系，接著，教師引導學生繼續以單位圓為腳手架（即基于幾何直觀，再到代數驗證的一般觀念），從圖形特征（主要是圓的特殊對稱性）入手，根據角度之間的關系找到對應終邊的關系，轉化坐標關系，再轉化為三角函數的關系這一探究過程去轉化化歸。

主干問題2：三個角之間的關系又該如何證明？你能以cos（[α-β]）與[α]、[β]的正弦、余弦之間關系為例嘗試證明嗎？

師生活動：學生先在單位圓中表示出三個角（[α-β]）、[α]、[β]以及相應點的坐標，由向量的數量積公式入手進行關系推導，接著教師引導學生從圓的旋轉對稱性角度，表示出角（[α-β]），再利用兩點間距離公式將三個角的坐標關系聯系起來。

追問2：如何推導sin（[α+β]）與[α]、[β]的正弦、余弦之間的關系？

師生活動：教師引導學生借助誘導公式進行余弦與正弦的互化，即sin（[α+β]）=[cosπ2-（α+β）]=[cosπ2-α-β]，學生再將[β]用[-β]替換即可得到兩角和正弦公式。

追問3：[sin2α]又該如何推導？[cos2α]和[tan2α]呢？

師生活動：學生從替換的角度推導公式，這是兩角和三角公式的應用。

追問4：[sinα2]需要重新推導嗎？[cosα2]和[tanα2]呢？

師生活動：學生自主發現[α]與[α2]為二倍角關系，可以看成是二倍角公式的應用。

追問5：輔助角公式又可以看成是什么公式的應用呢？你能舉例說明嗎？

師生活動：教師引導學生以[12sinα+32cosα]為例，在此基礎上進行變式[sinα+3cosα]等，再變式到一般情況。

課堂小結：觀察今天復習的這些三角恒等式，你發現什么規律了嗎？

師生活動：教師引導學生歸納，誘導公式“誘導”的是[α]的終邊與[π2±α]、[π±α]的終邊成軸對稱、中心對稱關系，三角恒等變換是旋轉任意角的誘導公式，反映的是圓的特殊對稱性和旋轉對稱性。在研究方法上，上述三角公式本質上是圓的基本性質的解析表示，因此這些公式可以借助單位圓的幾何直觀，用旋轉變換的方法統一起來，即把角[α]的終邊旋轉整數周（[2kπ+α]），旋轉特殊角（[π±α]，[π2±α]），旋轉任意角[β]（[α+β]）的三角公式。

課后思考：按照研究函數的基本思路，三角函數的圖象與性質又該如何研究？

【設計意圖】將內容及研究方法具有內在關聯性的復習內容整合成一個單元，易于揭示誘導公式、三角恒等變換的本質（即圓的基本性質的解析表示），讓學生感受對稱、變換的思想。三角恒等變換公式的推導具有層次性：兩角差的余弦公式是第一層，推導兩角和與差、二倍角的三角公式是第二層，積化和差、和差化積、半角公式等是第三層。第三層公式可以看成是第一、第二層公式的應用，且第二、第三層公式的證明可拆除單位圓這個腳手架。兩個主干問題的設計，從“關系”的角度將兩種擁有共同屬性的內容自然銜接，接著通過追問突出這種循序漸進的探究過程。追問的問題設計為“如何發現”“如何推導”，一般觀念給出明確提示，側重思路的指引，讓學生反復體會單位圓的腳手架作用。學生在經歷公式發現、推導、關聯的過程中自然構建知識網絡。課堂小結、課后思考是單元教學的固定結構，旨在回歸一般觀念，引領學生應用一般觀念進行后續內容的研究，發展學生的一般觀念。

五、一般觀念引領下的單元復習教學反思

1.一般觀念促進知識自然建構

在一般觀念的思維引領下開展基于單元教學的高三第一輪復習課，要對數學對象的研究內容及研究方法關聯性上加強指導，以問題鏈為載體，設計適應學生認知水平，展現知識、方法內在聯系的問題，從而引導學生經歷前后一致、邏輯連貫的復習過程。這樣設計的復習過程，凸顯知識發展過程中的邏輯和知識間的內在關聯，有效促進知識的整體化和方法的系統化，使得復習過程自然化。

2.一般觀念幫助學生形成專家思維

一般觀念反映的是專家的一種思維方式，一般觀念引領下的單元教學是以培養學生具備解決真實問題的專家思維為核心目標的教學。通過重組的單元教學內容，學生有機會反復體驗知識建構過程中的一般觀念，對知識背后的邏輯、方法關聯有更深刻的體會。一系列緊密聯系的問題鏈將一般觀念具象化，可以讓學生體會問題解決過程中的專家思維，幫助學生構建解決實際問題的思維支架，而不僅僅是記住結論。如此，學生在面對新問題時就能從模仿自然過渡到應用，最終學會像專家那樣思考。

數學教育很重要的一個方面是概念和定理形成背后蘊含的一般觀念的深化與發展。一般觀念可以說是學生學好數學的基礎和關鍵，它為建構學生基本知識結構、提出問題和解決問題提供了思維的方向和策略。在一般觀念教學的指引下，學生必然能獲得更深刻的知識理解，發展數學思維，從而做到提出問題更有方向性，解決問題更具策略性。運用一般觀念指導學生的數學學習與探究活動，應成為教師進行教學創新的又一重要課題。

參考文獻：

［1］章建躍. 學會提問（之五）［J］. 中小學數學（高中版），2022：封四，64.

［2］黃暉明. 一般觀念為統領 方法體系成自然：例析一般觀念下高三數學第二輪專題復習設計［J］. 理科考試研究，2023（7）：2-5.

［3］章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續4）：《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學數學教學參考，2019（10）：7-11.

［4］唐恒鈞，張維忠. 數學問題鏈教學的理論與實踐［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021：49.

［5］黃暉明. 數學問題鏈：讓課堂煥發思維活力：例析“兩個過程合理性”下的探究性問題鏈設計［J］. 中小學數學（高中版），2022（9）：39-42.

（責任編輯：潘安）