核心素養背景下對不等式證明的若干思考與探究

摘 要：文章以含三元的方程為已知條件，對不等式的證明進行若干思考與探究，主要運用柯西不等式及變量替換法，并推廣到四元，幫助學生啟迪思維，提升數學學習的興趣.

關鍵詞：核心素養；四元；柯西不等式；變量替換

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）30-0032-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡介：曾沈陽（1982.7—），男，福建省龍巖人，本科，中學一級教師，從事數學課堂教學研究.

不等式證明的教學是培養學生數學核心素養的重要途徑之一，包括了不等式證明的重要方法和技巧，并進行了一定程度上的推廣.

1 高中數學核心素養主要內容、培養方式及與不等式證明教學之間的關系

高中數學核心素養是指高中學生在數學學習過程中必須掌握的基本能力和素質，具體包含以下幾個方面^［1］.

數學思維能力：這是數學核心素養的核心，包括邏輯思維、創新思維、批判性思維、探究性思維和應用性思維等.數學思維能力是指學生學習數學所需要掌握的思維方法和技巧，包括掌握符號概念、定理、算法，以及推理論證能力、選用多種解題方法進行解題、學習新內容、進行推理和抽象能力等.

數學知識與技能：這是高中數學核心素養的基礎，包括數學基本概念、基本定理、基本公式和解題技巧等.學生需要掌握這些知識，以便能夠理解和解決數學問題.

數學應用能力：學生能夠將所學的數學知識應用到實際生活中，解決實際問題.這包括建立現實問題和數學問題之間的聯系，運用論證、推理等方法，有創造性地解決綜合性問題.

數學交際能力：學生能夠有效地表達和交流數學思想和解題方法，包括用準確的數學語言表達學過的數學概念、規則、命題與模型，能夠從多個角度理解數學概念、規則和命題，并理解和構建相關數學知識之間的聯系.

數學情感態度：教師需要培養學生對數學學習的積極態度和興趣，使其愿意主動學習和探索數學知識，進而形成持續的學習動力.

為了培養學生的數學核心素養，建議教師可以采用以下方式.

（1）深化數學理解，培養數學抽象能力.教師在教學中應引導學生理解數學概念的本質和內涵，通過具體實例引導學生理解數學概念，通過圖形、表格等方式展示抽象概念，鼓勵學生將實際問題抽象為數學問題.

（2）教師應加強學生邏輯推理訓練，提升其邏輯思維能力.在教學過程中注重邏輯推理的展示和訓練，如不等式的證明題的解題過程，教師鼓勵學生提出假設并進行驗證，培養他們的探究精神和邏輯推理能力.

（3）教師開展適合班級學生的數學建模活動，培養學生的數學建模能力.如可引入簡單的實際問題作為數學建模的素材，讓學生親身體驗數學建模的過程，并教授學生基本的數學建模方法和工具，如數據分析、統計方法等.

（4）利用直觀手段，培養直觀想象能力.教師經常鼓勵學生進行空間想象和幾何變換的練習，培養他們的直觀想象能力.如在課堂教學中引入三維幾何軟件等現代技術工具，幫助學生進行更直觀的學習.

（5）強化數學運算訓練，提高數學運算能力.教師加強對數學運算法則和技巧的講解和訓練，提高學生的運算速度和準確性，也可在班級舉辦數學運算比賽等活動，激發學生的學習興趣和動力.

（6）以注重學生發展為主要教學目標，將培養學生核心素養真正落實到課堂教學中.同時，教師還需要注重激發學生的學習興趣，讓學生愿學、樂學.

以上六種實施方式，可以有效培養學生的數學核心素養，提高他們的數學能力和綜合素質.同時，教師也需要不斷更新自己的教育理念和教學方法，以適應新時代數學教育的需求.

不等式證明作為數學教學中的重要內容，涉及數學思維的深度與廣度，能夠幫助學生深入理解數學概念，掌握數學方法，提高數學思維能力^［2］.不等式證明的教學過程能培養學生的邏輯推理能力和嚴謹性.在不等式證明的教學中，教師可以引導學生通過觀察、分析、歸納、推理等思維活動，逐步掌握不等式的證明方法.在不等式證明的過程中，學生需要面對各種問題情境，通過不斷嘗試、探索和實踐，找到解決問題的有效方法，這本身就是提高核心素養的過程.

高中數學核心素養可以在不等式教學中進行深度培養.不等式證明需要學生建立在一定的不等式知識基礎上，教師應助力學生熟練掌握不等式的基本概念、性質和解法等基礎知識，培養良好的學習習慣，為他們解決有一定思維容量的不等式證明題打下堅實的基礎，這個過程就是促進學生數學核心素養提升的過程.在不等式教學中，邏輯推理能力是至關重要的.教師引導學生從題目要求出發，按照清晰的邏輯規律進行推理，從而得出正確的結論.教師應強調學生對不等式的定義、性質和解法的精確理解，培養他們嚴謹的數學態度.學生需要在不等式證明前綜合考慮各種條件和因素，做出合理的判斷和選擇.

2 由條件“xyz=x+y+z+2”引出的不等式證明方法

柯西不等式是常見的重要不等式之一，且不失為至善至美的不等式，它是解決數學問題的重要工具，適當巧妙地運用柯西不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的作用.變量替換法是數學的一種常用技巧，主要用于簡化復雜的數學表達式或解決較為復雜的問題.這種方法的核心在于用新的、簡單的變量替換原有的復雜表達式或變量，從而使問題變得更加容易處理，尤其是在處理不等式問題時，合理的變量替換也能顯著簡化題目信息，幫助學生找到解題思路.

以“xyz=x+y+z+2”或其等價形式為已知條件背景的不等式問題，可以演變出眾多靈巧、新穎、有趣、實用且深淺適度、富有啟發性的優美不等式^［3］.下面兩個代數等式與x+y+z+2=xyz是等價的.

4 結束語

綜上，基于高中數學核心素養與不等式證明教學之間的關聯性，從柯西不等式及變量替換法出發，以“xyz=x+y+z+2”為條件對不等式證明進行了探究并推廣到四元.不僅是為了讓學生掌握幾道不等式的證明方法，更重要的是激發師生進一步探究不等式的興趣和積極性，特別是引導數學能力比較強的學生學會挖掘問題條件所蘊含的內涵和聯系，學會看準目標進行代數恒等變形的技能.引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求規律，從而逐步培養學生靈活多變的思維品質，提高其數學核心素養．進一步促進數學學科的“優長發展”，最終培養創新的思維品質.

參考文獻：

［1］ 李桂花.高中數學教學中培育學生數學核心素養的策略研究［J］.教師，2024（12）：27-29.

［2］ 張杰.基于數學核心素養的基本不等式教學研究［D］.聊城：聊城大學，2022.

［3］ 孫少仙.對相同條件的一類不等式問題的探究［J］.中學數學教學，2021（06）：71-75.

［責任編輯：李 璟］