多元表征視域下初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

摘 要：隨著基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革的深入發(fā)展及創(chuàng)新研究，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)受到越來(lái)越多人的關(guān)注，其不僅可以幫助學(xué)生更好地進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，還能夠深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解，有效幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

關(guān)鍵詞：多元表征；教學(xué)有效性；初中數(shù)學(xué)

二次函數(shù)作為初中函數(shù)教學(xué)中的重要組成部分，其不僅是重要的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，還具有廣泛的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生有效地解決幾何問(wèn)題，并對(duì)學(xué)生的分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想有著重要影響.基于二次函數(shù)承上啟下的作用，現(xiàn)針對(duì)人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》第二十二章的“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”進(jìn)行教學(xué)過(guò)程的陳述，實(shí)現(xiàn)對(duì)之前所學(xué)一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)一步補(bǔ)充，并首次系統(tǒng)化地對(duì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行分析研究，便于為后續(xù)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).^［1］在具體的課程設(shè)計(jì)中，教師要充分利用多元表征的內(nèi)涵開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步讓學(xué)生能夠透過(guò)課程表象，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)模型思維、類比思想等，進(jìn)而讓學(xué)生能夠有效地形成運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.另外，在該教學(xué)設(shè)計(jì)中，借助二次函數(shù)的特殊性質(zhì)更深入地理解函數(shù)行為和特征，是學(xué)生開(kāi)展高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的靈活運(yùn)用，可有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)．本文以“二次函數(shù)”為例，基于多元表征要素，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性進(jìn)行深入探究，力求能夠運(yùn)用有限的課堂時(shí)間，讓學(xué)生獲得最大化的學(xué)習(xí)效益.

1 明確教學(xué)目標(biāo)，梳理課程重難點(diǎn)

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的指導(dǎo)要求，并結(jié)合本節(jié)課的教材內(nèi)容及知識(shí)點(diǎn)特征，筆者對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行分析.九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)掌握了初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)?shù)學(xué)概念及定理的理解產(chǎn)生自主的認(rèn)知，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的探究與學(xué)習(xí).因此，可將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)設(shè)計(jì)如下，用以作為衡量教學(xué)有效性的基準(zhǔn)．

1.1 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：能夠精準(zhǔn)掌握和理解二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象的基本特征要素，對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析和總結(jié).

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：能夠讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)形成自主探索和研究，較全面地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，有效培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并鍛煉學(xué)生的解題能力.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：能夠在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的探索過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，并借助小組合作學(xué)習(xí)互動(dòng)，讓學(xué)生具備團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神；能夠掌握問(wèn)題解決的方法，并在教學(xué)活動(dòng)中提升創(chuàng)新力．

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：可使用描點(diǎn)法進(jìn)行二次函數(shù)圖象的繪制，并對(duì)二次函數(shù)y=ax2的圖象特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行解讀．

教學(xué)難點(diǎn)：

正確理解二次函數(shù)y=ax2的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單變量的二次函數(shù)關(guān)系式.

結(jié)合該課程的教學(xué)重難點(diǎn)，教師可運(yùn)用多元表征教學(xué)手段，提升課程設(shè)計(jì)的教學(xué)有效性，并盡量讓學(xué)生進(jìn)行自主動(dòng)手探索，使其能夠?qū)Χ魏瘮?shù)的圖象及性質(zhì)形成更深刻的理解，并在探索中發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)．

2 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，形成直觀感知

教師在本節(jié)課的課程導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，可借助多媒體課件回顧一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并對(duì)一次函數(shù)的研究方法進(jìn)行歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究方法的遷移應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究.^［2］為了更進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)感，教師可利用電子白板讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖象進(jìn)行繪制并提出以下問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)有效的復(fù)習(xí)和回顧.

問(wèn)題1 y=kx+b（k≠0）是一次函數(shù)基本式，請(qǐng)大家概述之前是如何研究一次函數(shù)圖象與k值規(guī)律特征的？

問(wèn)題2 借助此種研究方法的遷移，對(duì)二次函數(shù)y=ax2的圖象及性質(zhì)進(jìn)行研究，探究二次函數(shù)有什么圖象特點(diǎn)及性質(zhì)？

教師組織開(kāi)展小組學(xué)習(xí)互動(dòng)，讓學(xué)生類比一次函數(shù)的研究方法，運(yùn)用圖象法進(jìn)行二次函數(shù)圖象的研究.學(xué)生可在小組內(nèi)對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行繪制和觀察，并結(jié)合討論結(jié)果總結(jié)出圖象形狀、特點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)出二次函數(shù)的圖象規(guī)律及性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，教師引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用以前一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)過(guò)程中的研究方法，進(jìn)行新知的引入，用最直觀的圖象表征讓學(xué)生對(duì)新知內(nèi)容快速理解.設(shè)計(jì)中能夠較為清晰地辨識(shí)教師想要達(dá)到的教學(xué)目的，即借助視覺(jué)直觀表征方式，引發(fā)學(xué)生對(duì)課程新知內(nèi)容的探索，有效降低新知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)難度，便于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感，讓其能夠更好地參與后續(xù)的學(xué)習(xí)互動(dòng).該環(huán)節(jié)進(jìn)行的表征設(shè)計(jì)能夠緊扣課程教學(xué)主題．

3 組織體驗(yàn)活動(dòng)，加強(qiáng)畫圖操作探究

該環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)主要針對(duì)二次函數(shù)y=x2的圖象繪制，以及圖象的特點(diǎn)探究.

活動(dòng)1：教師組織學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=x2的圖象進(jìn)行畫圖操作，并幫助學(xué)生親身感受二次函數(shù)圖象的繪制過(guò)程.其中，繪制過(guò)程主要有兩大步驟：一是“列表”，主要是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=x2的自變量進(jìn)行取值范圍設(shè)定，并利用列表法進(jìn)行標(biāo)注；二是“描點(diǎn)和連線”，該步驟主要是對(duì)應(yīng)列表中的取值，并根據(jù)取值進(jìn)行直角坐標(biāo)系的描點(diǎn)及連線.學(xué)生已經(jīng)在之前的學(xué)習(xí)中掌握基本操作方法，可以順利得到函數(shù)y=x2圖象（如圖1）.教師要注重該實(shí)操活動(dòng)中對(duì)學(xué)生操作步驟的規(guī)范指導(dǎo).

活動(dòng)2：以小組為單位，對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行觀察和分析.教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀點(diǎn)的表述，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=x2圖象基本特征進(jìn)行描述，可從開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、坐標(biāo)原點(diǎn)等要素進(jìn)行內(nèi)容分析.同時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行變式，對(duì)a 進(jìn)行賦值，并引導(dǎo)學(xué)生沿用剛才的方法進(jìn)行圖象繪制.小組討論函數(shù)圖象的變化，最終學(xué)生可發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象會(huì)隨著a值改變而改變的規(guī)律.為了更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及變化特征進(jìn)行歸納總結(jié)，可讓小組針對(duì)函數(shù)圖象“變”與“不變”的關(guān)系進(jìn)行探究，進(jìn)而能夠讓學(xué)生更加深刻地理解二次函數(shù)圖象性質(zhì)，并有效鍛煉學(xué)生的思維能力.

【設(shè)計(jì)意圖】在該環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，借助動(dòng)手實(shí)踐操作及小組合作學(xué)習(xí)，圍繞教師提供的預(yù)設(shè)任務(wù)進(jìn)行深入探索和思考，能夠讓學(xué)生更深刻地掌握和理解新知內(nèi)容.實(shí)際動(dòng)手操作中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種表征方式進(jìn)行探究，如圖象表征、列表表征等，力求能夠讓學(xué)生通過(guò)多種表征方式的呈現(xiàn)與轉(zhuǎn)換，形成獨(dú)特的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，凸顯多元表征在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，以及多元表征對(duì)學(xué)生解題思維的影響.^［3］另外，借助課堂上開(kāi)展的小組合作學(xué)習(xí)，能夠一定程度上引發(fā)學(xué)生的主動(dòng)思考，便于學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)形成更深刻的理解．

4 加強(qiáng)師生互動(dòng)，鼓勵(lì)自主歸納

為了更進(jìn)一步鞏固新知內(nèi)容，教師可借助生活中的實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的共同探索.例如，借助籃球運(yùn)動(dòng)中投籃軌跡特征的探索，進(jìn)一步對(duì)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)進(jìn)行歸納.

活動(dòng)1：教師可利用多媒體課件展示籃球運(yùn)動(dòng)中投籃的運(yùn)動(dòng)軌跡，借助動(dòng)畫模擬效果創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生形成更為直觀的體驗(yàn)，并組織學(xué)生開(kāi)展小組討論.

活動(dòng)2：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行觀點(diǎn)的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生將籃球抽象成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并借助數(shù)學(xué)模型思想，尋找籃球運(yùn)動(dòng)的軌跡與二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)性.教師可結(jié)合微課視頻，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)模型表征，便于進(jìn)行下一步的探究，讓學(xué)生總結(jié)籃球運(yùn)動(dòng)軌跡的相關(guān)特征（如圖2）.

活動(dòng)3：借助圖象模型表征的展現(xiàn)，可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行圖象特點(diǎn)的描述，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)模型思維，使學(xué)生能夠自主地根據(jù)圖象進(jìn)行y 軸的預(yù)設(shè)，并形成對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)的總結(jié)和歸納，并將其抽象為二次函數(shù)圖象.

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，能夠有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思維和類比歸納意識(shí).教師借助現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的事物，構(gòu)建實(shí)物表征和模型表征，能夠一定程度上實(shí)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的具象化，便于學(xué)生形成數(shù)學(xué)與生活之間關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)，降低學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解難度.此種具體到抽象的演變過(guò)程，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平得到發(fā)展，有助于提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力．

5 開(kāi)展辨析交流，引發(fā)深入探究

該環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，可借助預(yù)設(shè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的深入探究與交流.

問(wèn)題1 根據(jù)教材例1的兩個(gè)函數(shù)式，將其在同一直角坐標(biāo)系中進(jìn)行體現(xiàn)，并觀察其中的異同點(diǎn)？若設(shè)定a≥0，二次函數(shù)y=ax2圖象有何特征變化？

問(wèn)題2 根據(jù)教材中“探究”的內(nèi)容，進(jìn)行函數(shù)圖象的繪制，并分析其存在什么異同點(diǎn)？

活動(dòng)1：學(xué)生

可參照函數(shù)y=x2圖象繪制過(guò)程，

利用列表法和描點(diǎn)法對(duì)問(wèn)題1中的圖象進(jìn)行繪制.對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生總結(jié)二次函數(shù)y=ax2圖象的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)位置，并小組討論二次函數(shù)圖象開(kāi)口大小與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而總結(jié)兩者的聯(lián)系（如圖3）.

活動(dòng)2：教師可利用電子白板將這三個(gè)函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比展現(xiàn)（如圖4），便于學(xué)生較為直觀地進(jìn)行對(duì)比和探究.教師可引導(dǎo)學(xué)生從圖象開(kāi)口方向及開(kāi)口寬窄差異等方面進(jìn)行思考，進(jìn)而讓其能夠明確二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)取值，對(duì)函數(shù)圖象開(kāi)口方向的影響，以及a值變化與圖象開(kāi)口寬窄的關(guān)系.最終讓學(xué)生自主得出以下結(jié)論：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口朝上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口朝下；且|a|越大，圖象開(kāi)口越窄.

圖4 二次函數(shù)開(kāi)口方向探究過(guò)程示意圖

【設(shè)計(jì)意圖】此種對(duì)比表征的運(yùn)用，使學(xué)生更加直觀地對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行感知，能夠幫助學(xué)生快速地進(jìn)行圖象特點(diǎn)的總結(jié)，有助于鍛煉學(xué)生的觀察和推理能力.教師在該環(huán)節(jié)充分運(yùn)用電子白板等信息化的教學(xué)工具，便于巧妙地展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的多元表征，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

6 借助表征轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)新知鞏固

完成知識(shí)點(diǎn)的基本探究后，教師可利用以下問(wèn)題，幫助學(xué)生應(yīng)用表征思維解決問(wèn)題.

問(wèn)題1 在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)圖象：y=4x2，y=-4x2，y=14x2，y=-14x2，并總結(jié)快速繪制圖象的方法.

問(wèn)題2 說(shuō)出函數(shù)y=1.25x2圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)，總結(jié)y=-1.25x2的函數(shù)值y隨自變量x的變化規(guī)律.

活動(dòng)1：運(yùn)用所學(xué)的二次函數(shù)圖象繪制方法，對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行繪制.教師要引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)式的關(guān)系，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)性，即對(duì)應(yīng)組的函數(shù)式a值為相反數(shù).因此，在進(jìn)行快速繪制過(guò)程中，只需利用描點(diǎn)連線法繪制其中一個(gè)函數(shù)圖象，便可借助其軸對(duì)稱的圖象特征，進(jìn)行快速地繪制（如圖5）.

活動(dòng)2：同理，問(wèn)題2中的y值可隨自變量x 的變化規(guī)律，可根據(jù)a值為相反數(shù)的規(guī)律聯(lián)系，進(jìn)行相應(yīng)的變化規(guī)律總結(jié)，得到結(jié)論為y=1.25x2以對(duì)稱軸為界，左側(cè)圖象走勢(shì)隨x增大而下降，在對(duì)稱軸右側(cè)圖象走勢(shì)隨x增大而升高.y=-1.25x2則與y=1.25x2的變化相反，對(duì)稱軸左側(cè)圖象隨x增大而上升，對(duì)稱軸右側(cè)圖象隨x增大而呈現(xiàn)下降趨勢(shì).

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)能夠進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)a值對(duì)函數(shù)圖象性質(zhì)的影響.教師可在該環(huán)節(jié)的教學(xué)中充分運(yùn)用圖象表征，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比分析，快速地發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的符號(hào)規(guī)律，為學(xué)生有效地揭示二次函數(shù)圖象的本質(zhì)，發(fā)揮符號(hào)表征的價(jià)值，進(jìn)而幫助學(xué)生快速地進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)，并形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)表征方式的轉(zhuǎn)換．

7 做好課堂總結(jié)，加強(qiáng)拓展延伸

課堂總結(jié)環(huán)節(jié)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行自主的總結(jié)，并鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，有效地歸納和總結(jié)二次函數(shù)y=ax2圖象的性質(zhì)及特征.學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，即二次函數(shù)y=ax2的圖象是一個(gè)開(kāi)口朝上或朝下的拋物線，與a值有直接關(guān)系，a＞0時(shí)，開(kāi)口朝上;a＜0時(shí)，開(kāi)口朝下，并作為對(duì)稱圖形，具有相應(yīng)的關(guān)系屬性.教師還可在該環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的延伸與拓展，引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行深入探索.已知正比例函數(shù)y=kx 與一次函數(shù)y=kx+b 圖象之間的平行關(guān)系，可嘗試使用同樣的研究方法，判斷y=ax2的圖象與y=ax2+bx+c 的圖象是否存在類似平移關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓其對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，便于培養(yǎng)學(xué)生的表征思維，鍛煉學(xué)生總結(jié)能力和推理能力.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠充分結(jié)合多元表征推進(jìn)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的展現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)圖象和性質(zhì)的自主探究和學(xué)習(xí)，有助于啟發(fā)學(xué)生的表征思維，能夠有效地提升數(shù)學(xué)課堂的有效性.但在課堂教學(xué)中，部分學(xué)生對(duì)于多元表征的把握并不充分，還需教師在后續(xù)的教學(xué)中，更注重表征的應(yīng)用，方能進(jìn)一步強(qiáng)化多元表征教學(xué)的有效性．

8 結(jié)語(yǔ)

多元表征在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的作用，其不僅可以增強(qiáng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，還能夠降低課程教學(xué)難度，讓學(xué)生更快速地掌握知識(shí)點(diǎn).因此，教師應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)多元表征的研究和應(yīng)用，從表征內(nèi)容、表征方式和表征思維等維度，進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)框架的設(shè)計(jì)，并在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表征的轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步增強(qiáng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中多元表征的應(yīng)用.同時(shí)，多元表征可一定程度上提升教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性，讓教學(xué)過(guò)程更具有效性，有效實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)．

參考文獻(xiàn)

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