關注兩個切線不等式的解題應用

摘要：結合幾則例題，分類討論兩個切線不等式的應用，以提高學生的解題能力，發展學生的數學思維，培養學生的核心素養.

關鍵詞：切線；不等式；應用；高中數學

高中數學中，學習導數之后，易知曲線y=ln x在點（1，0）處的切線方程為y=x－1，從而結合圖象可得切線不等式ln x≤x－1；同時也易知曲線y=ex在點（0，1）處的切線方程為y=x+1，從而結合圖象可得切線不等式ex≥x+1.

1 運用切線不等式ln x≤x－1解題

一般地，當涉及自然對數時，可考慮切線不等式ln x≤x－1（當且僅當x=1時不等式取等號）及其變式ln（x+1）≤x（當且僅當x=0時不等式取等號）的靈活運用.

1.1 求值

1.2 證明數列類不等式

1.3 證明函數類不等式

2 運用切線不等式ex≥x+1解題

一般地，當涉及以無理數e為底的指數時，可考慮切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時不等式取等號）及其變式ex≥ex（當且僅當x=1時不等式取等號）的靈活運用.

2.1 求參數的取值范圍

2.2 證明函數類不等式

3 綜合運用切線不等式ex≥x+1和ln x≤x－1解題

一般地，當試題中同時涉及自然對數和以無理數e為底的指數時，可綜合考慮切線不等式ln x≤x－1（當且僅當x=1時不等式取等號）和ex≥x+1（當且僅當x=0時不等式取等號）在解題中的的靈活、綜合運用[2].

3.1 比較大小

3.2 證明不等式

一般地，當所求證不等式中同時含有“ex”和“ln x”時，可在等價轉化（即實施適當的變形）的基礎上，靈活運用切線不等式ln x≤x－1和ex≥x+1加以思考、分析，往往可獲得目標不等式的巧妙證明.

此外，還需特別提醒的是：作為解答題，在具體考試時，需要先證明切線不等式，再靈活運用切線不等式；否則，若直接利用切線不等式，則會被適當扣分.

總之，關注切線不等式ln x≤x－1和ex≥x+1及其變式在解題中的靈活、綜合運用，往往有利于幫助我們迅速獲得具體的解題思路，進而給出簡潔、明了的解答過程，同時可提高處理此類相關數學問題的技能技巧，也有利于較好地提升數學運算與邏輯推理方面的核心素養.

參考文獻：

[1]許秋峰.賞析考題 變式探究[J].中學教學參考，2022（17）：31-33.

[2]孟慶杰.巧用曲線y=ln x與其切線y=x-1解高考題[J].理科考試研究，2019，26（23）：20-23.