指向推理意識培養(yǎng)的小學數(shù)學教學策略研究

孫源彬 / 黔南民族師范學院教育科學學院，從事小學教育研究；周武雷 / 黔南民族師范學院教育科學學院，教授，從事基礎(chǔ)教育課程與教學論研究；王鈺 / 黔南民族師范學院教育科學學院，從事小學教育研究（都勻 558000）；*通訊作者，E-mail：11995409@qq.com

【基金項目】2023年黔南州“揭榜掛帥”教科研項目“新課標下小學數(shù)學教師課堂提問的有效性研究”（2023B012）；黔南民族師范學院2023年研究生質(zhì)量工程項目“指向核心素養(yǎng)培育的小學數(shù)學教學案例開發(fā)研究”（23yjszl028）；黔南民族師范學院重大專項項目“論證內(nèi)核驅(qū)動的理科教育實踐研究”（QNSY2018JS012）

【摘 要】推理意識作為小學數(shù)學核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)之一，對學生的數(shù)學思維發(fā)展和理性建構(gòu)具有關(guān)鍵作用。文章分析推理在數(shù)學學習過程中的重要價值，并提出創(chuàng)設(shè)真實情境、鼓勵大膽猜想、遵循認知規(guī)律、注重有序觀察和精心設(shè)計提問等具有可操作性的教學策略，為教師落實學生推理意識的培養(yǎng)提供借鑒。

【關(guān)鍵詞】推理意識 小學數(shù)學 教學策略

【中圖分類號】G623.5" " 【文獻標識碼】A" 【文章編號】1002-3275（2024）08-45-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱課程標準）總結(jié)了核心素養(yǎng)的三個方面，其中“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學能力——邏輯推理［1］，在小學階段主要表現(xiàn)為推理意識。經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）公布的PISA 2022數(shù)學素養(yǎng)測評框架中，將數(shù)學推理置于問題解決的核心地位?？梢姡瑪?shù)學推理素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為數(shù)學教育的一個重要趨勢。在小學階段培育學生的推理意識，有利于他們在今后的數(shù)學學習中形成推理能力，進行有邏輯、有條理的數(shù)學思考，從而提升核心素養(yǎng)。小學數(shù)學教師了解基于推理意識培養(yǎng)的小學數(shù)學教學策略，既響應了課程標準對學生數(shù)學思維發(fā)展的要求，又有利于探索出培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的新方向。

一、推理在數(shù)學學習過程中的價值

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式。從推理的分類來看，小學階段的推理主要包括歸納推理與演繹推理。歸納推理主要出現(xiàn)在學習新知的過程中，表現(xiàn)為通過觀察得出猜想，列舉發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，得出假設(shè)性結(jié)論。演繹推理主要用于證明數(shù)學法則、規(guī)律，以及驗證某結(jié)論的正確性等。

課程標準將小學數(shù)學推理意識界定為“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”。具備推理意識的學生，能從已有事實出發(fā)，基于較嚴密的邏輯，作出合乎規(guī)則的推論，從而得出能用于解決數(shù)學問題的新結(jié)論。推理對于學生的數(shù)學學習具有重要的價值，具體體現(xiàn)如下。

（一）推理有利于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

課程標準提出“三會”的核心素養(yǎng)，具體是指會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。這三者分別主要對應抽象、推理、建模三種數(shù)學能力。從三者的關(guān)系來看，抽象是推理的基礎(chǔ)，它將數(shù)學從外部世界現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成了內(nèi)部思維活動，為推理提供了數(shù)學對象。推理是抽象的手段，是在數(shù)學學科內(nèi)部將條件進行理性分析、合理推導，從而得出某數(shù)學結(jié)論的進一步抽象。建模是對具體問題進行抽象和推理之后，用數(shù)學的語言所總結(jié)出的解決問題的工具，通過遷移可以將其廣泛應用于解決同類型的數(shù)學問題。由此可見，推理作為三大數(shù)學能力之一，貫穿了學生學習數(shù)學的全過程。要在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，離不開推理過程的精心設(shè)計；要讓學生學會數(shù)學表達并建立數(shù)學模型，離不開推理過程的嚴密完整。因此，學生推理意識的養(yǎng)成過程也就自然而然地契合了“三會”核心素養(yǎng)的內(nèi)在邏輯，可有效促進數(shù)學核心素養(yǎng)的全面培養(yǎng)。

（二）推理有利于促進學生對數(shù)學知識的理解

小學數(shù)學各學段的知識學習都離不開數(shù)學推理，小學數(shù)學四大領(lǐng)域課程內(nèi)容的學習過程中都蘊含推理這一重要思維形式。例如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域通過演繹推理、運用四則運算等一般性前提來解決許多具體數(shù)學問題；“圖形與幾何”領(lǐng)域借助歸納推理觀察并概括多邊形的特征，通過不同的轉(zhuǎn)化方法推導多邊形面積公式；“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域通過整理數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖、分析數(shù)據(jù)，來推測事物發(fā)展趨勢，作出合理決策；“綜合與實踐”領(lǐng)域在現(xiàn)實情境下抽象出數(shù)學信息，建構(gòu)數(shù)學模型并解決問題等。從核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視角來看，以上提到的課程內(nèi)容又包含了運算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)意識、模型意識等具體表現(xiàn)。在學習以上相關(guān)知識的過程中，學生借助推理從數(shù)學現(xiàn)象中歸納總結(jié)出數(shù)學猜想，再將未知與已知相聯(lián)系，證明猜想的正確性，從而得出數(shù)學結(jié)論。這樣的過程有利于促進學生對數(shù)學知識的理解，最終實現(xiàn)培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的育人目標。

（三）推理有利于提高學生的數(shù)學問題解決能力

數(shù)學課堂始于問題，學生的學習起點始于從真實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，而問題的解決過程則需要用到數(shù)學推理。實際上，在數(shù)學概念的學習和規(guī)律類知識的發(fā)現(xiàn)學習過程中，常常需要采用問題鏈（也稱問題串）來推動數(shù)學推理教學。從歸納的視角來看，在數(shù)學問題解決的過程中，具備推理意識的學生可以想到通過列舉、觀察等方式發(fā)現(xiàn)學習對象的某種規(guī)律，并提出相應的假設(shè)。從演繹的視角來看，具備推理意識的學生可以想到利用已學的數(shù)學規(guī)律、法則去嘗試驗證假設(shè)的正確性，知道能將一般化的法則運用于特殊的問題情境，將新問題轉(zhuǎn)化為已知問題，從而順利解決問題。借助推理，學生在分析題目已知條件、尋求解題依據(jù)的過程中形成一種求解數(shù)學問題時的思維模式，在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上進一步豐富數(shù)學基本活動經(jīng)驗，在求知欲的驅(qū)動下通過自主思考來解決數(shù)學問題，而不是依賴于教師給出的提示，從而提升數(shù)學問題解決能力。

總之，在以核心素養(yǎng)培養(yǎng)為目標的課程改革背景下，數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落實依托于學生在具體數(shù)學學習過程中的認知發(fā)展，認知發(fā)展的核心是邏輯性思維的發(fā)展，推理顯然是發(fā)展學生邏輯性思維的重要手段，同時作為一種思維方式貫穿于數(shù)學學習活動的全過程。［2］它既是學生具備數(shù)學核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)之一，也是培養(yǎng)核心素養(yǎng)其他具體表現(xiàn)所必須經(jīng)歷的過程。因此，從學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看，研究并實踐指向推理意識培養(yǎng)的教學策略十分必要。

二、指向推理意識培養(yǎng)的小學數(shù)學教學策略

（一）創(chuàng)設(shè)真實情境，激發(fā)學生思維活躍性

來源于生活又具備一定挑戰(zhàn)性的問題情境是學生開展推理的動機?；谕评硪庾R培養(yǎng)的數(shù)學課應始于現(xiàn)實世界中的真實問題情境，從學生的直接經(jīng)驗出發(fā)，讓學生在真實情境中領(lǐng)悟到這一節(jié)課將要學習的知識在生活中的價值，從而為接下來的推理過程提供活躍的思維基礎(chǔ)。

教師可通過深入研讀教材，結(jié)合課程標準要求，提取教材中與學生生活密切相關(guān)的要素，借此創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，同時結(jié)合學生的具體學情，如年齡特征、生活經(jīng)驗、思維發(fā)展水平等來選擇最適合學生的問題情境，將推理的起始情境與學生現(xiàn)實生活緊密關(guān)聯(lián)。例如“小數(shù)的初步認識”是與推理意識有關(guān)的一節(jié)“數(shù)的認識”課，基于推理意識培養(yǎng)的教學應滲透小數(shù)概念所蘊含的數(shù)學思想，即十進制的理解。教學中通常使用的問題情境為由長度單位引入和由貨幣單位引入。然而，在數(shù)字經(jīng)濟時代背景下，學生在生活中已很少用現(xiàn)金結(jié)賬，大多數(shù)學生使用手機掃碼支付?？蓪滩闹鞋F(xiàn)金支付形式的問題情境進行一定改編，如以電子支付后的賬單界面作為情境，引出“認識小數(shù)”這一主題。此外，以測量長度為問題情境也是一種可行做法。如課堂伊始讓學生測量并表示自己的課桌長度是多少，由于生活中物體的長度不一定是整數(shù)，學生便會意識到有必要引入一種不同于整數(shù)的數(shù)來表示，進而可以引導學生發(fā)現(xiàn)生活中的小數(shù)，幫助學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，在發(fā)展推理意識的基礎(chǔ)上進一步促進數(shù)據(jù)意識、量感等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（二）鼓勵大膽猜想，創(chuàng)造推理起點

猜想是推理的前提，是展開推理的思維起點。學生的數(shù)學猜想能力是推理能力的重要組成要素之一，要發(fā)展學生的推理意識，首要任務應是鼓勵學生大膽猜想。數(shù)學大多數(shù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、新概念的認識、創(chuàng)造性問題解決辦法的提出，都是從基本的猜想開始的。在指向推理意識培養(yǎng)的教學中，教師應把握好學生提出猜想的契機，在恰當?shù)膯栴}節(jié)點上鼓勵他們表達自己的猜想。例如在“3的倍數(shù)的特征”一課中，讓學生結(jié)合已學的2和5的倍數(shù)的特征進行初步猜想，設(shè)想3的倍數(shù)可能具備什么特征。學生可能會猜想：“或許只需通過個位數(shù)字（如3、6、9）來判斷某個數(shù)是否是3的倍數(shù)?！憋@然這是很容易在教學中通過反例來推翻的，但如果教師能抓住這一容易引發(fā)學生認知沖突的契機，鼓勵學生分享猜想、舉出反例、勇敢質(zhì)疑，便可為這一堂課創(chuàng)造推理的起點。在這一過程中，學生會初步感知到僅憑個位數(shù)字難以作出某個數(shù)是否是3的倍數(shù)的推斷，并以此作為推理的思維起點。在表達與交流中，讓學生基于證據(jù)反駁，感悟邏輯推理過程中猜想的重要性，從而培養(yǎng)學生勇于質(zhì)疑的數(shù)學精神。

（三）遵循認知規(guī)律，將歸納與演繹相結(jié)合

在小學數(shù)學教學過程中，合情推理與演繹推理是相互依存的。［3］小學階段的合情推理主要體現(xiàn)為歸納推理。歸納推理是從特殊到一般的推理，在數(shù)學學習中主要用來幫助學生獲取新信息，提出假設(shè)。演繹推理是從一般到特殊的推理，主要用來驗證假設(shè)，得出可靠的數(shù)學結(jié)論。歸納推理與演繹推理是人類認識客觀世界的兩種普遍思維方法，是對立統(tǒng)一的兩個方面。依據(jù)自然的認知發(fā)展規(guī)律，人在認知過程中的思維應當是從歸納到演繹的，只有從經(jīng)驗事實中歸納概括出有關(guān)假設(shè)，才能具備演繹推理的前提；只有進行演繹推理論證了假設(shè)的正確性，才能真正地得出結(jié)論。

因此，將歸納與演繹相結(jié)合來探究數(shù)學問題答案是符合學生認知發(fā)展規(guī)律的一種做法。一般來說，學生在課堂上的數(shù)學推理過程主要由以下四個步驟組成：①開始于真實的情境與相關(guān)的數(shù)學信息；②觀察情境中的數(shù)學信息或已有數(shù)據(jù)；③經(jīng)由歸納形成初步假設(shè)；④借助已知的數(shù)學公理、定理、法則等大前提進一步驗證假設(shè)。其中第四步屬于演繹推理的方法，而前面歸納推理方法中假設(shè)的得出，為引出演繹推理提供了一種強烈的動機，促使學生隨后使用演繹推理來驗證假設(shè)，以使學生更加確信經(jīng)由自己努力獲得的結(jié)論，從而發(fā)展元認知，獲得數(shù)學學習的自我效能感。

（四）注重有序觀察，提高思維嚴謹性

有的小學生在推理過程中常感到困難，如對于找數(shù)字的規(guī)律無從下手，計算組合圖形的面積時出現(xiàn)遺漏，找復雜圖形中的正方形個數(shù)時數(shù)多或數(shù)少，等等。這些問題反映出學生沒有做到有序觀察。小學生的抽象邏輯思維仍不夠成熟，對于數(shù)學對象的認識更多地源于直接觀察。因此，基于推理意識培養(yǎng)的教學應格外注重讓學生學會有序觀察，從而使學生完整提取問題條件與信息，訓練思維的嚴謹性，發(fā)展歸納推理的能力。例如學習“圓的面積”時，可以讓學生通過剪拼圓形紙片，意識到剪的份數(shù)越多，曲邊部分看上去越平直。學生這個過程的觀察應經(jīng)歷一個“由少到多”并伴隨著“由曲變直”的認知推理過程。教師先引導學生觀察將圓等分成4個小扇形后拼成的圖形的特點，即輪廓有點像平行四邊形，但底邊依然很彎曲。然后將圓8等分、16等分，讓學生繼續(xù)觀察拼成的圖形，發(fā)現(xiàn)隨著等分份數(shù)的增多，底邊越來越平。接下來可借助多媒體演示32等分、64等分，甚至等分更多份數(shù)的情況，學生將觀察到拼成的圖形近似長方形。這樣“由少到多”的有序觀察過程，讓學生的思維經(jīng)歷了較為完整的歸納，有利于得出正確結(jié)論，提高思維的嚴謹性，從而發(fā)展推理意識。

（五）精心設(shè)計提問，搭建推理支架

從提出問題到得出結(jié)論可能需經(jīng)歷多輪的猜想與驗證，問題解決也較難僅通過一步操作就獲得答案。教師可在教學設(shè)計時，精心設(shè)計課堂提問，將課堂要研究的主要問題分解成若干個子問題，從而在課堂上鼓勵學生經(jīng)歷多步推導，將得出的結(jié)論組合為推理論證鏈，充分利用題目信息，逐漸縮小可行的解法范圍，通過子問題把學生的思維引導至正確的方向上，減小結(jié)果與問題之間的差距。教師應基于不同的學習內(nèi)容生成不同類型的問題串，并向?qū)W生展示問題關(guān)系，從而使學生明晰問題間的邏輯關(guān)系，有助于他們深度地探究解決各個子問題。［4］借助若干個子問題搭建起的支架，促使學生應用已學知識進行推理，得到具有根據(jù)的結(jié)論，這樣歸納和論證的過程可以為后續(xù)進行更加嚴謹?shù)臄?shù)學證明打下基礎(chǔ)。

【參考文獻】

［1］史寧中．《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養(yǎng)［J］．教師教育學報，2022，9（3）：92-96.

［2］張僑平，邢佳立，金軒竹．小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的理論和實踐［J］．數(shù)學教育學報，2021，30（5）：1-7.

［3］李劍鋒．小學生數(shù)學推理能力提升的路徑［J］．基礎(chǔ)教育研究，2020（17）：45-46.

［4］吳尚琴．基于小學數(shù)學問題串教學培養(yǎng)學生的合情推理能力［J］．數(shù)學學習與研究，2023（20）：56-58.