“五有四化”主題式教學理念下的“余弦定理”作業設計

【摘 要】 合理的作業設計有助于學生構建并完善學科知識網絡，領悟并深化對數學思想方法的認識，促進數學學科能力與核心素養的發展.在進行高中數學“余弦定理”一節的課后作業設計時，可以根據知識結構化、結構問題化、問題情境化、情境生活化的“四化”原則與策略，精心謀劃，合理布局，充分彰顯有趣、有用、有理、有魂、有效的“五有”教學思想與主張.【關鍵詞】 主題式教學；作業設計；余弦定理

作業是教學活動不可或缺的重要組成部分，教師通過學生的作業反饋可以對學生數學核心素養的達成情況進行客觀評價，對自己的教學得失及時進行調整和改進；學生通過作業可以鞏固課堂所學知識，加深對所學知識的理解并形成相應技能^[1].但在現實教學中，教師更多地關注課堂教學的設計，而忽略了作業的類型設計和針對性訓練，學生缺乏自我的反思總結和方法提煉，把作業看作每天的任務去完成，機械打卡，完成作業的過程卻不能使其經歷有意義的學習過程.因而非常有必要對作業設計予以足夠的重視，針對具體教學內容，在教學目標和數學課程標準的指引下，考慮學生的不同特點和知識能力水平，通過選擇重組、改編完善、自主開發等手段，為不同類型的學生設計出符合他們自身特點和需求的作業.

基于減負增效的考慮，筆者所在學校開展了各學科的作業設計大賽，筆者代表高中數學組參加了這項有意義的比賽，設計了基于“五有四化”主題式教學理念的“余弦定理”作業設計，受到了評委的一致好評.以下將此次的作業設計案例整理成文，以供教育同仁研討.

1 “五有四化”主題式教學理念的內涵

長沙市教育科學研究院教研員、正高級教師劉玉岳先生順應基礎教育課程改革要求，在多年教學實踐與反思的基礎上，提出了“五有四化”教學主張，其研究成果獲得2022年基礎教育國家級教學成果一等獎.“五有四化”主題式教學理念倡導：課堂教學頂層設計要體現“五有”的教學思想，即“創設問題情境，激發學生求知內驅，使教學有趣；聯系生活實際，融合學科課堂實踐，使教學有用；注重問題探究，培養學生思維品質，使教學有理；滲透學科思想，體現學科育人價值，使教學有魂；關注主體發展，提升學生生命質量，使教學有效”.課堂教學結構優化須凸顯“四化”的教學策略，即“知識結構化，結構問題化，問題情境化，情境生活化”^[2].“五有四化”主題式教學理念不僅適用于課堂教學，同樣適用于課后作業設計.

2 “余弦定理”作業設計案例

2.1 內容分析

（1）知識脈絡：本知識點安排在《普通高中教科書·數學必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應用》中的“平面向量的應用”一節中，處于三角、平面向量等知識之后，是對三角與平面向量知識的應用.同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，定理本身的應用廣泛." （2）知識價值：本節課共1個課時，是解三角形內容的第一節課，需要學生掌握利用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三個角”“已知兩邊及其夾角求三角形其他邊與角”及“已知兩邊及其中一邊對角求三角形其他邊與角”問題，培養學生數學思維品質，激發學生探究數學、應用數學的潛能，發展數學核心素養.

2.2 學情分析

（1）知識水平：本節學習之后，學生初步掌握了余弦定理的證明、余弦定理的內容與重要變形，對于三角形中的邊角關系有了新的認識." （2）難點預計：總體上，學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度.另外，從具體問題中抽象出數學的本質并解決問題是學生學習的一大難點.

2.3 作業設計目標

（1）知識與素養目標：掌握運用余弦定理解已知“邊角邊”“邊邊邊”和“邊邊角”三類三角形的方法，發展邏輯推理、數學運算和直觀想象等核心素養." （2）課程思政目標：通過將文化融入數學試題來充分發揮作業的育人功能和積極的導向作用；通過實踐類作業加強社會認知，提升社會參與意識，感受數學在日常生活生產實際中的應用價值；通過平面幾何、三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一.

2.4 作業設計內容

從考查方向、核心素養、試題難度、完成時間等多維度擬定了作業多維細目表，將本節的作業設置為基礎鞏固題、能力提高題、數學文化題、實踐應用題、設計分享題等五種類型，共11道題.

第一類：基礎鞏固題

（1）在△ABC中，若三邊a，b，c滿足a2=b2+c2+bc，則A="" .

（2）在△ABC中，已知a=3，b=4，C=π3，求c.

（3）在△ABC中，已知A=π3，a=3，b=1，求c，B，C.

（4）在△ABC中，已知A=π6，a=1，b=3，求c，B，C.

設計意圖 課本習題的一組變式，對數字適當修改，便于無計算器演算.主要是運用余弦定理解“邊角邊”“邊邊邊”和“邊邊角”三類三角形的方法，比較基礎和簡單，目的是鞏固基礎知識，使知識結構化，并發展學生邏輯推理、數學運算和直觀想象的核心素養.

第二類：能力提高題

（5）在△ABC中，已知三邊之比為4∶5∶6，求最大角的余弦值.

（6）在△ABC中，已知a=7，b=8，cos C=1314，求最大角的余弦值.

（7）在△ABC中，若acos A=bcos B，請判斷這個三角形的形狀.若acos B=bcos A呢？（選做）

設計意圖 這是針對余弦定理的應用有一定深度的作業，主要是對教材內容的深度學習，通過不同角度、不同層次的問題啟發思維，引導學生探索問題之間內在的聯系，激勵學生自主發現問題、分析問題、解決問題、提出新問題，體現結構問題化的要求.

第三類：數學文化題

（8）湘潭市境內的潭寶汽車站始建于1925年，其外形酷似“碉堡”，曾開創多個“第一”：我國第一個實行人車分流的車站、我國唯一保存最完整的早期汽車站、湖南早期最大的汽車站…….關于潭寶汽車站的設計者是誰暫無定論，但設計師一定有著豐富知識和廣博見聞，他反復計算、測量了湘江的水位.在建房前，先用土方打下了一個用麻石砌護的臺基，才使得建成后的潭寶汽車站，在洪水面前安然無恙.潭寶汽車站的站房主體建筑為層疊的圓柱形碉堡狀，圓形的天井頂底直通，屋頂四周配以高大的窗戶，采光充分，還可以充當瞭望塔（圖1）.這種別出心裁的設計，當時一度成為湖南的標志性建筑.

某數學興趣小組為了測得一層站房的直徑AD的長，先在站房外圍測得AB=30米，BC=30米，CD=20米，∠ABC=π3，∠BCD=2π3，據此可以估計一層站房的直徑AD的長大約為"" .（參考數據：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646，結果精確到1米.）

設計意圖 數學文化是貫穿于整個高中數學課程的重要內容之一，滲透在每個模塊與專題中.高考命題也強調增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極的導向作用，故而作業設計時應給出一些蘊含數學文化價值的選題.同時，數學問題情境化、情境生活化也能使數學學習與作業更有趣、有用.如圖2，長沙市望城區茶亭鎮惜字塔上塔樹共存了一百多年，學習完正、余弦定理后，還可以樹的高度為情境設置具體問題.

第四類：實踐應用題

（9）在校園選取兩棵不能直接到達的樹木，借助三角板、量角器、卷尺等測量工具測出所需數據，寫出測量方案并利用余弦定理求出兩棵樹木之間的距離.

設計意圖 數學學習中的許多內容與社會、生活密切相關，通過問題情境化、情境生活化的作業，讓學生通過觀察、嘗試等活動，加強社會認知，提升社會參與意識，感受數學在日常生活生產實際中的應用價值，促進個體社會化進程.這類作業要求小組合作完成.

第五類：設計分享題

（10）設計一份“余弦定理”的思維導圖.

（11）查閱相關資料，撰寫一篇關于《余弦定理的巧思妙證》的小論文.（選做）

設計意圖 數學設計分享題可以讓學生在動手操作、發散思維的過程中培養綜合思考的能力，提升數學核心素養，如設計章節思維導圖、創新問題解決辦法、設計制作手工教具和學具等.

2.5 作業完成質量評價

3 作業設計反思

課后作業是對課堂教學內容的復習與鞏固，更是對所學知識的梳理與內化、重構與升華.從這個意義上說，合理的作業設計有助于學生構建并完善學科知識網絡，領悟并深化對數學思想方法的認識，促進數學學科能力與核心素養的發展.基于這樣的認識，在進行課后作業的設計時，可以根據“四化”原則與策略，精心謀劃，合理布局，充分彰顯“五有”的教學思想與主張.

3.1 遵循“知識結構化”“結構問題化”的原則，讓作業設計因結構性與層次性而“有效”

在設計作業時，遵循“知識結構化”與“結構問題化”的原則，旨在通過構建清晰的知識框架和將知識轉化為具體可解的問題，來提升作業的有效性和學生的學習效果.這種設計方式不僅有助于學生系統地掌握知識，還能促進他們的問題解決能力和批判性思維的發展.一方面，作業問題要體現知識框架，引導學生深入理解和梳理作業中所考查的關鍵知識點與思想方法，明確它們之間的邏輯關系，進一步完善數學知識體系，形成對知識較為宏觀的整體認知；另一方面，確保作業設計的有效性與層次性，根據知識框架的層次性，設計不同難度級別的問題，從基礎記憶型問題到理解應用型問題，再到創新拓展型問題，滿足不同學生的學習需求，確保每個學生都能在適合自己的難度和挑戰中取得進步.

3.2 遵循“問題情境化”的原則，讓作業設計因情境化而“有趣”

遵循“問題情境化”的原則來設計作業，是一種將學習內容融入具體、生動、有趣的情境中，以激發學生興趣、增強學習動機的有效方法.把知識點融入情境之中，讓生動有趣的作業取代機械重復、枯燥乏味、無思維價值的繁瑣計算與練習，使學生情緒高昂，樂于思考.這樣的作業設計不僅能使學習過程更加有趣，還能幫助學生更好地理解和掌握知識，提升他們的問題解決能力和實際應用能力.作業設計的情境創設要突出趣味性與科學性，吸引學生的注意力，激發他們的好奇心.情境創設也強調情感共鳴，可以選擇與學生情感產生共鳴的情境，如環境保護、社會公益等話題，讓學生在解決問題的同時，培養社會責任感.情境創設還應鼓勵創新探索，通過設計開放式的問題情境，鼓勵學生自由發揮想象力和創造力，提出多種解決方案，培養他們的創新思維能力.

3.3 遵循“情境生活化”的原則，讓作業設計因生活化而“有用”

遵循“情境生活化”的原則，意味著將作業設計與學生的日常生活緊密結合，使學習內容更加貼近學生的實際經驗，從而提高學習的實用性和相關性.數學作業更加貼近學生的生活實際，就能讓學生感受到數學不僅僅是抽象的符號和公式，而且與他們的日常生活緊密相關，具有實際應用價值.這樣的學習與作業體驗能夠激發學生的學習興趣，提高他們的數學應用能力和解決問題的能力.在具體的作業設計中，可以設計需要學生運用所學知識解決現實生活問題的作業；可以設計跨學科的項目，讓學生將不同學科的知識綜合運用到解決一個實際問題中；可以鼓勵學生參與社區服務或社區研究項目，將學習延伸到校園之外；可以要求學生寫反思日記或維護個人博客，記錄他們將課堂所學應用到日常生活中的體驗…….通過將生活化的元素融入作業設計，學生不僅能夠在解決實際問題中鞏固和深化對數學知識的理解，還能夠感受到數學的實用性和魅力，從而更加積極地學習和探索數學世界.

3.4 設置開放性的問題，讓作業設計因開放性而“有理”

開放性習題通常沒有固定答案，允許學生從不同角度進行思考和回答，因而具有思維的發散性、結論的不確定性、過程的探究性、情境的模擬性等特征.設置開放性的作業問題，注重問題探究，使作業的解決過程充滿理性的科學精神，可以激發學生的創造性思維和批判性思考能力，有助于培養自主學習能力、創新精神和實踐能力.本節中的數學文化類、實踐應用類與設計分享類作業，有條件的學校可以以更開闊視角給學生提供實踐、學習與研究的平臺.比如，可以提供多樣化的學習資源，如書籍、文章、視頻、網站鏈接等，幫助他們從不同渠道獲取信息；鼓勵合作學習，組織小組討論或項目合作，讓學生在團隊中交流想法，互相啟發；引導批判性思考，教導學生如何評估信息的可靠性和有效性，培養他們的批判性思維；采用多元化的評價方式，如口頭報告、論文、項目展示、同伴評價等，全面評估學生的學習成果；鼓勵創新和實踐，鼓勵學生將所學知識應用到實際情境中，解決真實世界的問題.

3.5 注重數學文化的滲透，讓作業設計因文化而“有魂”

通過作業進一步完善學科知識體系，這是學科知識之魂.將人類文明史等文化知識融入數學試題，使數學作業散發出文化味，發揮作業的育人功能和積極的導向作用，這是學科思政之魂.數學文化包括數學的歷史、數學家的故事、數學在不同文化中的應用等等.本節作業設計中將三角測量知識與身邊的經典建筑結合在一起，既有助于學生在實際問題中獲得應用數學知識的實踐探究，也在解決問題過程中感受人類經典建筑的魅力和自然的力量.可以這樣認為，將數學文化融入數學作業之中，使得作業更有深度和靈魂，不僅可以幫助學生建立起對數學的全面認識，激發他們對數學的熱愛，并且讓他們意識到數學不僅僅是抽象的符號和公式，它還是人類文化的重要組成部分.這樣的作業設計能夠讓數學學習變得更加生動有趣，同時也能夠培養學生的文化素養和批判性思維能力.參考文獻

[1]吳玉章．指向深度學習的高中數學作業設計探討[J].中國數學教育：高中版，2022（12）：37．

[2]劉玉岳．課堂教學新主張[J].中學地理教學參考，2018（7）：1．

作者簡介

朱賢良（1981—），男，安徽樅陽人，中學高級教師，基礎教育省級教學成果一等獎獲得者，市級“名教師”“學科帶頭人”“骨干教師”“教研先進個人”;主持完成三項省、市課題研究;發表教學研究論文130余篇，主編或參編教育教學圖書10余部.

龍鳳（1984—），女，湖南長沙人，中學高級教師，長沙市周南梅溪湖中學高中數學教研組長，省級優課獎獲得者;多次獲長沙市教育局“嘉獎”表彰，參與多項省市級課題研究;發表教育教學論文10余篇.