數(shù)學(xué)文化視角下基于“大概念”的勾股定理教學(xué)

[摘" 要] 數(shù)學(xué)文化是傳播與傳承人類數(shù)學(xué)思想的重要方式，屬于現(xiàn)代文明的表現(xiàn)，亦是鏈接社會(huì)與自然的重要工具. “大概念”體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)核心思想. 將“數(shù)學(xué)文化”與“大概念”深度融合，可碰撞出怎樣的火花呢？文章以“勾股定理”的教學(xué)為例，分別從“史料引入，揭露主題”“多元證明，發(fā)散思維”“情境展示，自主探索”三個(gè)環(huán)節(jié)展開研究，并從勾股定理的探索意義、數(shù)學(xué)文化的滲透價(jià)值及勾股定理的研究前景等方面談一些思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;大概念;勾股定理

作者簡(jiǎn)介：武培培（1985—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

勾股定理的形成過程，體現(xiàn)了人類偉大的創(chuàng)造力. 如何從數(shù)學(xué)文化的視角基于“大概念”的維度來設(shè)計(jì)勾股定理的課堂教學(xué)呢？實(shí)踐表明，在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的當(dāng)下，在“以生為本”理念的驅(qū)動(dòng)下，通過師生、生生積極的互動(dòng)與交流，并借助現(xiàn)代化的信息技術(shù)手段展開探索，可取得不錯(cuò)的教學(xué)成效. 學(xué)生在充滿文化底蘊(yùn)的課堂中能夠切身感受到勾股定理的璀璨歷史.

核心概念界定

1. 大概念

國(guó)內(nèi)外給予了“大概念”不同的說法，我國(guó)學(xué)者張丹提出：大概念是指數(shù)學(xué)學(xué)科中處于核心地位的思維方式或思想方法概括而來的一種核心觀念. 查爾斯（Charles R.I.）認(rèn)為大概念是關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀念陳述，即將數(shù)學(xué)學(xué)科視為連貫的整體，此為數(shù)學(xué)的核心. 結(jié)合當(dāng)下的各類研究文獻(xiàn)，可確定大概念是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的思維方式或思想方法的概括，可從內(nèi)容與過程兩個(gè)維度去細(xì)分大概念，其中“內(nèi)容大概念”涵蓋了與數(shù)學(xué)核心思想有關(guān)的知識(shí)原理及其下位概念;“過程大概念”涵蓋了學(xué)生在建構(gòu)核心思想過程中，因親歷知識(shí)形成過程而獲取的能力，這些能力是核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

2. 數(shù)學(xué)文化

人類社會(huì)經(jīng)歷了數(shù)年的積淀形成了文化，其中數(shù)學(xué)文化屬于人類文化的重要組成部分之一. 從狹義的視角來看，數(shù)學(xué)文化是指和數(shù)學(xué)相關(guān)的精神、觀點(diǎn)、符號(hào)、語言、思想等;從廣義的視角來看，數(shù)學(xué)文化不僅涵蓋了與數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)發(fā)展歷程、科學(xué)故事、數(shù)學(xué)美等，還與人文科學(xué)有著高度關(guān)聯(lián). 正如鄭毓信教授所言：數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)共同體特有的態(tài)度、觀念與行為，既屬于數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的統(tǒng)稱，又是數(shù)學(xué)家行為的表達(dá)[1]. 簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)文化就是“數(shù)學(xué)”與“人文”的組合，其中數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)文化的重要體現(xiàn).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 史料引入，揭露主題

課堂伊始，教師用多媒體展示這樣一段話：與“陳子測(cè)日、商高量地、方磚地板”相關(guān)的一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)是什么？

生：勾股定理.

師：不錯(cuò)，勾股定理被譽(yù)為千古第一定理，本節(jié)課我們將基于數(shù)學(xué)文化的視域，從“大概念”的維度與大家一起探索勾股定理. 課前大家已經(jīng)做過預(yù)習(xí)，現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)說說什么是勾股定理？

生1：勾股定理就是直角三角形中的斜邊平方等于兩條直角邊平方的和.

生2：用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，記三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有a2+b2=c2.

師：非常好！看來大家都認(rèn)真預(yù)習(xí)了，古代人們將直角三角形的斜邊定義為“弦”，短直角邊為“勾”，長(zhǎng)直角邊為“股”. 根據(jù)勾股定理，該怎么形容“勾、股、弦”之間的關(guān)系？

生3：勾2+股2=弦2.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家一起來看勾股定理的發(fā)展歷程. （多媒體播放）

設(shè)計(jì)意圖" 在大眾的認(rèn)知中，總覺得勾股定理由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楣垂啥ɡ碛直环Q為畢達(dá)哥拉斯定理. 事實(shí)上，從勾股定理的歷史發(fā)展進(jìn)程來看，我國(guó)的商高至少比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派早了五六個(gè)世紀(jì)發(fā)現(xiàn)特殊情況下的勾股定理;陳子發(fā)現(xiàn)普遍性的勾股定理也要比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派早了兩百年左右[2]. 顯而易見，我國(guó)才是歷史上最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家. 以數(shù)學(xué)史料作為課堂導(dǎo)入的起點(diǎn)，不僅成功激發(fā)了學(xué)生對(duì)勾股定理的探索興趣，滲透了數(shù)學(xué)文化，還有效激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感，為“大概念”教學(xué)奠定基礎(chǔ).

2. 多元證明，發(fā)散思維

師：據(jù)統(tǒng)計(jì)，世界上關(guān)于勾股定理的證明方法高達(dá)四百多種，現(xiàn)在請(qǐng)大家結(jié)合課前預(yù)習(xí)情況，說說你們所知道的證明方法.

生4：公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所提出的證明方法，至今都令人驚嘆，他的證法可用一張簡(jiǎn)單的圖來詮釋（見圖1）. 這張圖被譽(yù)為一篇無字論文，圖形構(gòu)思巧妙，通過圖示就能看到簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，即正方形ABCD被分割成1個(gè)黃實(shí)與4個(gè)朱實(shí)，列式為4·ab+（b-a）2=c2，計(jì)算可得a2+b2=c2.

[圖1][B][D][C][A][E][b][a][a][b-a][朱實(shí)][朱實(shí)][朱實(shí)][朱實(shí)][黃實(shí)]

師：太棒了！表述得非常完整. 現(xiàn)在請(qǐng)大家來看趙爽在“勾股圓方圖”中所記載的原文（多媒體展示），請(qǐng)大家讀一讀，感受其創(chuàng)意. 有沒有同學(xué)知道，這張圖在近代數(shù)學(xué)家大會(huì)上還應(yīng)用到了？

生5：如圖2，2002年在中國(guó)舉辦的數(shù)學(xué)家大會(huì)上，就以這張圖為背景設(shè)計(jì)了會(huì)徽.

師：趙爽通過截取、切割、拼接等方法證實(shí)了代數(shù)之間所存在的恒等關(guān)系，這種將抽象的數(shù)用直觀圖形展示的過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的彌久留香，此為科學(xué)創(chuàng)新的表現(xiàn). 還有其他比較經(jīng)典的證明方法嗎？

生6：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）所提出的證法具有代表意義，具體過程如下，如圖3，分別以Rt△ABC的三條邊為正方形的三條邊，向三角形外側(cè)分別作三個(gè)正方形，并將CD，BF連接起來.

因?yàn)镃A=FA，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△ABF≌△ADC. 再作CL與AD平行，并與AB邊相交于點(diǎn)M. 因?yàn)镾△ABF =AF·AC=SHFAC，S=AD·LD=S，所以SHFAC=SDLMA. 與之類似，易證得S=S. 所以SADEB=SHFAC+SKGCB，AB2=BC 2+AC 2，也即c2=a2+b2.

師：歐幾里得在《幾何原本》中記錄了這種方法，該方法廣為流傳，法國(guó)的“驢橋問題”，希臘的“已婚婦女定理”，阿拉伯的“新娘的座椅”，歐洲的“大風(fēng)車”均為該方法的延伸. 有興趣的同學(xué)，課后可以查閱資料，看看兩千多年來的世界不同文字對(duì)這一證法的闡釋，以從不同的視角發(fā)現(xiàn)該證明過程的趣味.

為了進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，教師借助多媒體展示中外其他各種經(jīng)典證明方法，如我國(guó)的劉徽、梅文鼎、項(xiàng)名達(dá)等人，意大利的Leonardo da Vinci，日本的關(guān)孝和，英國(guó)的T.Simpson等，他們都用了不同的方法求證了勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖" 想要真正滲透數(shù)學(xué)文化，就要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 此環(huán)節(jié)，教師并沒有做過多引導(dǎo)，而是在學(xué)生自主預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生說說勾股定理的證明方法. 學(xué)生從最經(jīng)典的趙爽弦圖與歐幾里得證法出發(fā)，進(jìn)一步感知了勾股定理的歷史之悠久，以及勾股定理對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響，這對(duì)學(xué)生發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ染哂兄匾饬x. 同時(shí)，“大概念”下的勾股定理教學(xué)，應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想作為教學(xué)的核心，因此教師借助多媒體展示了中外不同學(xué)者求證勾股定理的簡(jiǎn)圖與方法，進(jìn)一步提升了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).

3. 情境展示，自主探索

師：以上不同學(xué)者、專家所應(yīng)用的證明方法均與“等面積原理”相關(guān)，通過構(gòu)圖與變圖實(shí)現(xiàn)了求證. 現(xiàn)在請(qǐng)大家思考一下，如果在不構(gòu)造其他圖形的基礎(chǔ)上，直接用直角三角形可否證明勾股定理？

隨著此問的提出，學(xué)生積極開動(dòng)腦筋，通過合作交流，分別提出從內(nèi)切圓半徑、銳角三角函數(shù)、射影定理等角度進(jìn)行求證.

證明方法1：通過內(nèi)切圓半徑定理進(jìn)行求證.

如圖4，在Rt△ABC的內(nèi)部作一個(gè)半徑為r的內(nèi)切圓，那么三角形的斜邊c=（a-r）+（b-r），易求得r=. 因?yàn)镾=ab=r·=·，所以2ab=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2，也就是a2+b2=c2.

證明方法2：根據(jù)比例中項(xiàng)求證.

如圖5，過Rt△ABC的頂點(diǎn)C，作AB邊的高CH，由此獲得兩個(gè)相似的直角三角形，即△ABC分別與△CBH，△ACH相似. 設(shè)AH=e，BH=f，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，易得=與=，結(jié)合比例中項(xiàng)定理，發(fā)現(xiàn)a2=cf以及b2=ce，將兩個(gè)式子相加，有a2+b2=c（f+e）=c2.

證明方法3：根據(jù)投影關(guān)系求證.

根據(jù)投影關(guān)系，有a=ccosB，b=ccosA，c=e+f=c（cos2A+cos2B），據(jù)此推導(dǎo)出cos2A+cos2B=1，那么a2+b2=c2（cos2A+cos2B）=c2. 值得注意的是，此處的cos2A+cos2B=1并非由勾股定理推導(dǎo)而來，此為第二種證明方法的變化.

設(shè)計(jì)意圖" 前兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)文化的滲透，成功激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)勾股定理的證明產(chǎn)生了濃厚的探索興趣. 此環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生在不額外建構(gòu)圖形的基礎(chǔ)上，從直角三角形本身去研究勾股定理的證明過程，成功啟迪了學(xué)生的思維，讓學(xué)生積極主動(dòng)地討論與分析，形成了三種求證方法. 如此設(shè)計(jì)，不僅凸顯了“大概念”教學(xué)的趣味性，還發(fā)散了學(xué)生的思維，為核心素養(yǎng)的形成夯實(shí)了基礎(chǔ).

思考與感悟

1. 勾股定理的探索意義

勾股定理作為世界第一大定理，對(duì)數(shù)學(xué)史的發(fā)展具有重要的推動(dòng)作用. 教師若在課堂中純粹地與學(xué)生討論勾股定理，而不帶領(lǐng)學(xué)生深入其發(fā)展歷程，不僅無法滲透數(shù)學(xué)文化，也無法促使學(xué)生提煉出核心思想方法，最終難以達(dá)到“大概念”教學(xué)的意義. 為了讓學(xué)生感知勾股定理獨(dú)特的美，教師還可在展示其歷史資料時(shí)添加與勾股定理相關(guān)的郵票，提升學(xué)生的視覺效果，也可以借助幾何畫板展示精美的“勾股樹”，促使學(xué)生從迭代變化中感知千姿百態(tài)的勾股樹所帶來的視覺盛宴（見圖6），發(fā)展數(shù)學(xué)審美能力.

2. 數(shù)學(xué)文化的滲透價(jià)值

美國(guó)學(xué)者Bidwell認(rèn)為：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有機(jī)地滲透數(shù)學(xué)史，可成功救出孤島上的學(xué)生，讓學(xué)生到充滿生機(jī)的陸地上感受數(shù)學(xué)的趣味. 數(shù)學(xué)文化反映的是人類文明的進(jìn)步，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)家們的心血. 在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，能讓課堂充滿生機(jī)，為“立德樹人”創(chuàng)造條件，為學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力奠定基礎(chǔ). 實(shí)踐表明，“文化之魅”可體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史的研究上. 教師在課堂上應(yīng)用豐富的素材，為學(xué)生的思維提供豐富的養(yǎng)分，學(xué)生的思維之樹因數(shù)學(xué)史的不斷滲透而保持常青. 教師在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都有機(jī)地滲透了與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，其中有很多史料由學(xué)生自主提出并分析，這有效激發(fā)了學(xué)生探索勾股定理的興趣，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)造了條件.

3. 勾股定理的研究前景

有學(xué)者認(rèn)為，太陽系之外或許存在智慧的生命，想要探尋外星文明就要具備與外星人溝通的技能，或許“勾股定理”就是不同星球共同的語言. 正如華羅庚所言，想要讓兩個(gè)星球?qū)崿F(xiàn)信息交流，最好的辦法是用表示“數(shù)”的洛書將勾股定理圖送給對(duì)方. 理由是該定理反映了最基本的數(shù)形關(guān)系，凡具備智慧的生物，必然能理解其所蘊(yùn)含的意義. 因此，勾股定理體現(xiàn)了重要的數(shù)形關(guān)系，值得繼續(xù)深入探索與研究，也許它能為我們打開通往宇宙的大門.

總之，帶領(lǐng)學(xué)生切身感知勾股定理的形成與發(fā)展過程，體會(huì)其漫長(zhǎng)且曲折的發(fā)展史，可讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)人類的偉大，并對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程形成深刻理解，為發(fā)展邏輯推理能力夯實(shí)基礎(chǔ). 因此，數(shù)學(xué)文化視角下基于“大概念”的教學(xué)，是值得廣大教育工作者深究的話題.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫翀. 再探初中數(shù)學(xué)勾股定理[J]. 理科考試研究，2014，21（12）：10.

[2]卞新榮. 多元文化下的勾股定理——數(shù)學(xué)文化研究性學(xué)習(xí)教學(xué)案例[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（12）：9-14.