基于深度學習的數學教學實施與思考

摘"要：在數學教學活動中，教師應當基于深度理解新課標和教材，在單元視角下形成有個性的教學設計，促使學生深度學習的發生；學生則應當通過多樣化的學習方式，開展促進高階思維發展的、有深度的學習活動，構建知識內部邏輯，提升數學學科核心素養.

關鍵詞：深度學習；數學教學；對數函數

核心素養時代要求學習超越“有知識無素養”的淺表化學習，超越教學實踐中對三維目標表述的割裂，走向深度學習.深度學習是指在教師引導下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得發展的有意義的學習過程.［1］下面筆者以“對數函數（第一課時）”為例，具體闡述如何在高中數學課堂中開展深度學習.

1"教材分析

“對數函數”是蘇教版《普通高中教科書數學必修第一冊》的內容，是在一般函數的概念、圖象和性質，冪函數和指數函數以及對數及其運算性質的基礎上，進一步研究對數函數的概念、圖象和性質.學生已積累了研究函數基本方法的經驗，本節課的研究思路為后續研究三角函數搭建了“腳手架”.本節課注重類比思想的運用，通過指數函數和對數函數的關系，類比構建對數函數的研究路徑，歸納其圖象和性質；注重特殊到一般思想的運用，通過對具體對數函數的研究，推廣到一般情況；注重數形結合思想的運用，從幾何直觀和代數運算兩個角度研究對數函數的圖象與性質.

2"教學過程

2.1"創設情境，引入對象

問題1"良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區良渚和瓶窯鎮，1936年首次發現.考古學家利用遺址中遺存物碳14的殘留量測定，古城存在時期為公元前3300年—前2500年.你知道考古學家在測定遺址年代時用了什么數學知識嗎？

追問1"動植物死亡后，它機體內原有的碳14不再產生，且原有的碳14會自動衰變，大約每經過5730年（碳14的半衰期）衰減為原來的一半.如果碳14的原始含量為1，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的聯系？

追問2"已知死亡生物體內碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？

追問3"死亡時間x是碳14含量y的函數嗎？

師生活動：教師提出問題，引導學生從實際情境中出抽象出數學問題.根據指數和對數的關系，經運算推理，得到死亡時間x與碳14含量y之間的關系式.師生合作，先直觀認識直線y=y0（0lt;y0≤1）與圖象只有一個交點（x0，y0），再回歸定義說明對于任意y∈（0，1］，都有唯一確定的x與之對應，因此x是y的函數.習慣上，用x表示自變量，得到函數y=log573012x.

問題2"某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數y與x有怎樣的關系？已知細胞個數y，如何確定分裂次數x？

【設計意圖】從兩個實際問題中抽象出數學問題，引入本節課研究的對象——對數函數.學生體驗到數學的實際應用性以及與其他學科的聯系，激發學習興趣，為深度學習的開展提供了先決條件，同時提升學生的數學建模素養.這兩個問題在指數函數中已接觸過，從舊知引出新知，符合學生認知規律.從形和數兩個方面理解定義，為后續生成和深入理解對數函數的概念作鋪墊.

2.2"抽象概念，理解定義

問題3"結合上述兩類具體指數函數得到新函數的過程，能否推廣到一般情況？

追問"你能舉出其他的對數函數嗎？

師生活動：學生觀察、分析、合作探究，自主抽象概括出對數函數的定義.教師引導學生類比指數函數概念的敘述，完善對數函數的定義.

【設計意圖】本節課的難點之一是抽象對數函數的定義，區別于指數函數由特殊到一般歸納共性得到定義，對數函數是由指數函數通過演繹推理得到的.學生已有兩個具體指數函數得到相應對數函數的經驗，因此具備自主抽象概括定義的能力，很自然地突破本節課的難點，提升數學抽象和邏輯推理素養.

2.3"合作探究，歸納性質

問題4"類比冪函數和指數函數的研究，你能構建對數函數的研究路徑、內容和方法嗎？

追問1"如何研究對數函數的圖象和性質？

追問2"具體研究哪些性質？

師生活動：教師引導學生回憶冪函數和指數函數的學習經歷，構建對數函數的研究路徑.教師總結此路徑、內容和方法為研究函數的一般順序.

【設計意圖】以研究函數的一般方法為指導，借鑒冪函數和指數函數的學習經驗研究對數函數，加深并掌握建構函數知識的研究框架.基于單元視角看待新知識，實現高階思維發展、學習遷移等能力的培養.

小組探究1"在同一個直角坐標系中作出y=log2x，y=log12x，y=log3x，y=log13x，y=lgx的圖象.

追問1"如何作出y=log2x與y=log12x的圖象？

追問2"觀察y=log2x與y=log12x的圖象，你發現了什么？能否從代數角度解釋圖象的這種關系？

追問3"如何將此結論推廣到一般情況？

追問4"已知y=log3x的圖象，你有哪些方法作出y=log13x的圖象？

【設計意圖】指數函數中，學生已學習了y=ax與y=1ax（agt;0，a≠1）圖象的對稱關系，能利用對稱關系來作圖，但并不熟練.因此，教學中先通過觀察y=log2x與y=log12x的圖象，喚醒學生最近發展區，并從代數角度解釋對稱關系，得到一般性結論之后，再應用于函數y=log13x的作圖，從“以形助數”和“以數助形”兩個方面體會數形結合思想.教師布置有挑戰性的學習任務，讓學生獨立思考、自主合作探究，全身心參與，促進深度學習的發生.

小組探究2"推測y=2x與y=log2x的圖象關系，并推廣到一般情況.

師生活動：學生獨立思考得到同底的指數函數和對數函數圖象關于直線y=x對稱.教師給出結論，即y=ax與y=logax（agt;0，a≠1）互為反函數，定義域和值域互換.

【設計意圖】通過指數函數、對數函數圖象關系的研究，學生進一步積累從代數角度研究圖象的經驗.

小組探究3"結合對數函數圖象，歸納性質，完善表格.

師生活動：學生通過幾個特殊的對數函數圖象，類比指數函數圖象，直觀感知并作出對數函數底數agt;1，0lt;alt;1兩類圖象.教師利用GGB，動態作出對數函數圖象，驗證學生猜測.

【設計意圖】通過信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性.類比指數函數性質，從圖象歸納對數函數的性質，同時讓學生根據所得性質進一步分析函數的圖象.經歷由形到數、由數到形的過程，培養學生深度學習基礎上的高階思維.

2.4"例題精析，鞏固新知

例1"求下列函數的定義域.

（1）y=log0.2（4-x）；（2）y=log（2-x）（5x-4）.

例2"比較下列各題中兩個值的大小.

（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga1.8，loga2.7（agt;0，a≠1）；（4）log0.46，log0.56，20.4.

【設計意圖】檢驗學生對對數函數范圍的理解，以及利用性質解決數學問題的能力.

2.5"總結提煉，提升素養

問題5"概述本節課知識發生、發展過程的基本脈絡.

問題6"通過本節課的學習，你是否對研究函數的內容和方法有了進一步的認識？

【設計意圖】師生回顧本節課的學習過程，掌握研究具體函數的路徑、內容和方法.學生理解從幾何直觀和代數運算兩個角度研究函數的圖象和性質，掌握類比、特殊到一般、數形結合等思想方法.

3"幾點思考

3.1"單元視角下的教學內容是實現深度學習的基礎

新課改以來，一線教師在新課程的理念下積極地轉變教學模式，開展以生為本的教學活動，但是實施過程中還是存在許多困惑，如教師認真教，學生認真學，作業反饋卻發現不少學生只會就題論題，難以發現知識間的聯系.究其根本，其中一個很重要的因素就是教學內容的碎片化，導致學生只會使用淺層的學習方式完成學習任務.

單元視角下的教學內容即教師將教學的視野從課時拓展到單元，甚至是整個知識模塊，摒棄以課時和離散知識點為設計單位的碎片化設計，以單元為內容組織的最小單位，對課程內容進行結構化組織，強調知識間的聯系.對數函數雖為新知，但與之前的冪函數和指數函數的研究內容和方法是一脈相承的.因此，教學內容可以以函數模塊為設計單位，引導學生感受知識生成過程的同時，整體把握研究函數的基本方法，把握單元的整體脈絡，構建可遷移的學習經驗.

3.2"多樣化的學習機會是實現深度學習的抓手

設定教學目標之后，教師還需要組織多樣的教學活動，給學生提供多樣化的學習機會來促進深度學習的真實發生.深度學習需要教與學方式的根本性轉變，將教學內容轉化為“引領性的學習主題”.教師設置具有挑戰性的學習任務，也可以利用螺旋式的問題串稚化思維，吸引學生深度參與.教師根據任務的難度，引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、合作探究等，從個體學習走向師生、生生共同學習和合作交流，構建學習共同體.本節課抽象對數函數的概念是一個難點，教學時由y=2x得到y=log2x的過程可以師生共同探討，y=12x得到y=log12x的過程可以小組合作探究，y=ax得到y=logax（agt;0，a≠1）的過程可獨立思考.同底對數函數的對稱關系以及同底指數函數和對數函數關系的發現可根據學情，設置更開放的研討氛圍，整個過程可由學生合作探究發現結論并代數證明，教師從旁指導即可，真正創設適應學情的以生為本的課堂.

3.3"指向素養培養的學習目標是深度學習的歸宿

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“全面落實立德樹人要求，深入挖掘數學學科的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿教學活動的全過程.”［2］指向核心素養的學習目標既是深度學習的出發點，也是歸宿.上述案例中，基于學生已有函數的研究經驗，教師通過問題串的形式，引導學生運用特殊到一般、演繹推理、類比推理等方法，得到對數函數的圖象和性質，提升學生數學抽象和邏輯推理素養.函數圖象描述的是函數的形，函數性質呈現的是函數的數，建立數與形的聯系，在探究過程中感受數形結合思想，提升直觀想象素養.

參考文獻

［1］劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養（理論普及讀本）［M］.北京：教育科學出版社，2018.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.