融入數(shù)學文化的高中數(shù)學教學設計

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學課程中重要的組成部分之一，知識點繁多且瑣碎，對學生的抽象思維能力的要求較高.在函數(shù)相關知識的教學過程中，融入數(shù)學文化有利于加深學生對函數(shù)知識的理解，促進學生思維拓展.本文以人教版高中數(shù)學教材中的“函數(shù)”章節(jié)為例，對高中函數(shù)相關知識內(nèi)容進行整合梳理.在教學過程中，融入數(shù)學文化，并在初中函數(shù)知識學習的基礎上引出高中函數(shù)知識，對高中“函數(shù)”內(nèi)容進行分步教學，旨在促進學生全面掌握高中函數(shù)知識，提高數(shù)學課程教學效率.

【關鍵詞】數(shù)學文化；高中數(shù)學；函數(shù)

數(shù)學文化融合了思想、精神和語言等多個方面的內(nèi)容，伴隨著數(shù)學學科的發(fā)展而出現(xiàn)，在數(shù)學教育中具有不可忽視的價值.數(shù)學文化涉及人類活動和科學技術等領域，均對數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了積極的影響.在高中數(shù)學教育中，數(shù)學文化起著重要的作用，有利于促進學生更好地領會數(shù)學知識的精髓，深化數(shù)學基礎知識的學習，增強數(shù)學綜合能力與數(shù)學素養(yǎng).在一線教學實踐中，融合數(shù)學文化，有利于拓展數(shù)學課程知識，深化課程講解與教學，增強數(shù)學課程設計的總體效能，提高高中數(shù)學教學效率.本文以人教版高中數(shù)學“函數(shù)”為例進行教學設計，實現(xiàn)數(shù)學文化與數(shù)學實踐之間的有機統(tǒng)一.在教學過程中，帶領學生領會數(shù)學的精髓，培養(yǎng)學生的綜合能力［1］.

1" 人教版高中數(shù)學“函數(shù)”內(nèi)容的教學目標

在人教版高中數(shù)學“函數(shù)”教學設計中，教師結合學生的認知基礎，對課程知識內(nèi)容進行深入整合與設計.在初中階段，學生首次接觸到了函數(shù)，了解了函數(shù)的概念、表示方法，學習了函數(shù)的解析式、圖象等相關知識，開始探索一次函數(shù)和反比例函數(shù)等一些簡單的特殊函數(shù).在這一階段，學生的理解往往停留在表面，主要是對函數(shù)形式和圖象的直觀感受.為了更好地促進學生對“函數(shù)”概念進行理解，教師可鼓勵學生思考溫度變化、距離與時間的關系等相關的函數(shù)案例，使得學生們逐漸意識到函數(shù)不僅僅是一個數(shù)學概念，而是現(xiàn)實生活中普遍存在的規(guī)律.

進入高中階段，學生開始系統(tǒng)地學習函數(shù)知識，對數(shù)學知識的理解逐漸從原有的直觀感受向更深入的數(shù)學化理解轉(zhuǎn)變.為此，教師借助系統(tǒng)的函數(shù)知識結構體系，引導學生從特殊到一般地認識函數(shù)，再從一般到特殊地應用函數(shù).在教師的引導之下，學生深入學習了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，開始理解函數(shù)與方程、不等式之間的密切聯(lián)系.通過大量的練習與實例分析，逐漸掌握了函數(shù)的數(shù)形同一性等性質(zhì)，學會了運用函數(shù)知識解決各種數(shù)學問題.當對函數(shù)有了深入的數(shù)學化理解后，教師通過數(shù)學建模等表現(xiàn)性任務進行函數(shù)知識的拓展，結合數(shù)學文化，強化學生對函數(shù)的深入理解［2］.學生可以用函數(shù)描述化學反應的速率和平衡狀態(tài)，學會用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的思維思考生活，利用函數(shù)分析股票走勢、預測天氣變化等，將函數(shù)思維引入生活之中，實現(xiàn)與數(shù)學文化之間的緊密結合.

2" 人教版高中數(shù)學“函數(shù)”內(nèi)容的教學過程

2.1" 課程導入

教師對函數(shù)相關知識進行整合，以導入課的方式促進學生思考，引入相關的問題情境，結合頭腦風暴法促進學生對知識的理解.在教師的引導之下，學生繪制函數(shù)知識結構圖，對函數(shù)的常見相關要素進行整合，并寫下自己在學習函數(shù)過程中的問題與疑惑，便于教師在課堂上重點講解.教師對學生的學習活動進行整體串聯(lián)與跟蹤，全面評估學生的學習情況，在學生遇到困難時，給予及時的支持，輔助學生進行學習，促進學生構筑思維結構圖［3］.

2.2" 函數(shù)概念及復合函數(shù)

在介紹函數(shù)的概念時，可以結合數(shù)學文化中的審美特征和歷史特征，讓學生了解函數(shù)在數(shù)學史中的發(fā)展及其在數(shù)學美學中的應用.在教學中引導學生從映射的觀點去理解函數(shù)的概念，明確函數(shù)的三個要素.

師" 什么叫從集合到集合上的映射？

師" 從映射的觀點如何定義函數(shù)？

函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個映射f：A → B，其中集合A，B非空集.

定義域是原象的集合，值域是象的集合（記作C）其中CB.

即f：對應法則xSymbolNC@A→ySymbolNC@B.

函數(shù)符號可以表示為y=f（x），讀作“y是x的函數(shù)”，簡記為f （x）.

結合課本中的例子，帶動學生理解與思考，強化學生對函數(shù)概念的理解，深化學生對一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的理解.

二次函數(shù)的值域應分a gt; 0，a lt; 0討論，教師在課堂中帶動學生思考.

在函數(shù)值f （a）講解中，以f（x）=x2+3x+1為例進行課程講解，得出f（2）=22+3×2+1=11.

在y=f（x）中f表示對應法則，不同的函數(shù)含義不一樣.促進學生了解對應法則、定義域、值域三要素.

以下述習題為例，教師帶動學生深入分析，引導學生思考.

下列各組中的兩個函數(shù)是不是同一函數(shù)？并說出原因.

（1）y1=x+1x－1，

y2=（x+1）（x－1）.

解" 不是同一函數(shù)，定義域不同.

（2）f（x）=x，F(xiàn)（x）=3x3.

解" 是同一函數(shù).

（3）y1=（x+3）（x－5）x+3，y2=x－5.

解" 不是同一函數(shù)，定義域不同.

（4）f（x）=x，g（x）=x2.

解" 不是同一函數(shù)，值域不同.

（5）f1（x）=（2x－5）2，f2（x）=2x－5.

解" 不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同.

在復合函數(shù)教學中，教師帶動學生理解復合函數(shù)的定義.

設f（x）=2x－3，g（x）=x2+2，那么稱fg（x）（或gf（x））為復合函數(shù).

fg（x）=2x2+2－3=2x2+1，

gf（x）=2x－32+2=4x2－12x+11，

以下題為例進行分析.

已知：f（x）=x2－x+3，

求：f1x，f（x+1）.

解" f1x=1x2－1x+3，

f（x+1）=（x+1）2－（x+1）+3=x2+x+3.

在教學中，教師從映射出發(fā)，引出函數(shù)的定義與符號f（x），加深學生對函數(shù)要素的理解，深化復合函數(shù)的學習.

2.3" 定義域

函數(shù)自變量x取值的集合叫作函數(shù)y=f（x）的定義域.給定函數(shù)時，應當指明函數(shù)的定義域.用解析式表示的函數(shù)若沒有給出定義域，則認為函數(shù)的定義域為函數(shù)表達式有意義的自變量取值的集合.在關于函數(shù)定義域的教學中，教師對相關知識進行整合，促進學生掌握分式函數(shù)、根式函數(shù)定義域的求法，以具體習題為例，帶動學生理解與思考.教師結合生活中的實例引出函數(shù)定義域的概念，激發(fā)學生的學習興趣.詳細講解函數(shù)定義域的定義、求解方法，并演示如何找出給定函數(shù)的定義域，促進學生理解.設計多樣化的練習題，讓學生自主練習，鞏固所學知識.回顧本節(jié)課的重點內(nèi)容，強調(diào)函數(shù)定義域的重要性，引導學生思考如何在實際問題中應用所學知識［4］.

例" 求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=1x－2；

（2）f（x）=4－x2－1.

解" （1）為了使該函數(shù)有意義，要求滿足：x－2≠0，x≠2，

所以函數(shù)f（x）=1x－2的定義域是：x|x≠2.

（2）為了使得該函數(shù)有意義，要求滿足以下條件：

4－x2≥1，

即－3≤x≤3，

所以函數(shù)f（x）=4－x2－1的定義域為：x－3≤x≤3.

2.4" 分段函數(shù)與區(qū)間

高中函數(shù)課程知識的重要組成部分之一是分段函數(shù)與區(qū)間.在教學過程中，教師應對分段函數(shù)的相關知識進行梳理，以幫助學生掌握相關的課程知識內(nèi)容.教師應結合教材相關內(nèi)容，講解函數(shù)常見的解析法、列表法、圖象法等三種表示方法，要求學生明晰分段函數(shù)與區(qū)間的概念，結合函數(shù)文化，實現(xiàn)對該部分內(nèi)容的精準理解［5］.

解析法即將兩個變量的函數(shù)關系用一個等式來表示，這種表示方式關系清楚，便于計算函數(shù)值，函數(shù)的性質(zhì)也一目了然.較為常見的例子有：

圓面積公式：S=πr2，

二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a≠0），

圓柱表面積：s=2πrh+2πr2，

在y=x+1－x－3分析中，運用“零點法”將絕對值符號去掉，得出：

y=x+1－x－3

=14，x≤－1，2x－2，－1lt;x≤3，4，xgt;3.即得到分段函數(shù).

列表法是通過列出表格展示兩個變量之間的函數(shù)關系，在分析函數(shù)關系時，不必計算就能夠直接得出函數(shù)的對應值.教師可以引導學生思考生活中的常見案例，例如國民生產(chǎn)總值表、三角函數(shù)表、平方根表、立方根表、平方表、立方表、車輛里程價目表等，通過這些實例引發(fā)學生的思考，幫助他們理解函數(shù)變量之間的關系［6］.

圖象法則是使用函數(shù)圖象來表示兩個變量之間的關系.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象等是較為常見的函數(shù)圖象.教師可以講解氣象臺溫度的自動記錄器的原理，引導學生理解溫度隨時間變化的過程，從而加強學生的認知與學習.人口出生率變化曲線也是較為典型的例子，它可以幫助學生輕松理解函數(shù)關系.圖象法能夠直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況，在多種場景中被廣泛運用，具有較強的運用價值.函數(shù)的圖象有多種不同的呈現(xiàn)方式，包括拋物線等曲線、一次函數(shù)等直線以及折線等，形態(tài)多樣，適用于不同的情況.

3" 人教版高中數(shù)學“函數(shù)”內(nèi)容教學思考與拓展

在高中函數(shù)內(nèi)容教學設計中，結合數(shù)學文化，對函數(shù)相關知識進行全面梳理，重點關注初高中知識內(nèi)容的差異，引導學生探討高中函數(shù)知識點的不同，由此實現(xiàn)對初中函數(shù)相關知識內(nèi)容的深化和升華.在高中階段，從更高的維度上認知函數(shù)，并在教學過程中融入數(shù)學的人文價值，構建系統(tǒng)的數(shù)學思維，促進學生核心素養(yǎng)的培育.通過對課堂教學內(nèi)容的不斷反思與總結，學生可以加深對函數(shù)文化本質(zhì)與數(shù)學思想的理解，進而實現(xiàn)新課程的教學目標［7］.

函數(shù)思想作為一種基礎性的數(shù)學思想，貫穿于數(shù)學課程的多個內(nèi)容之中.教師應引導學生將函數(shù)作為一種文化索引進行教學探索，將數(shù)學作為一種文化進行全面探索與分析，以實現(xiàn)學生思維的拓展.為此，在函數(shù)知識教學中，教師應結合具體的函數(shù)知識內(nèi)容，設計表現(xiàn)性任務與學習作業(yè)，引導學生探索函數(shù)產(chǎn)生的背景與相關故事，帶動學生分析函數(shù)的發(fā)展歷程.教師還應帶領學生搜索并解讀歐拉、笛卡兒等數(shù)學家的故事，領會數(shù)學家的探究精神.學生應基于自己的興趣與理解，積極搜索關于函數(shù)的相關故事，并融入自己的理解，由此在實踐探索過程中感受一代代數(shù)學家的偉大探索精神，體會函數(shù)發(fā)展的曲折歷程，從而強化對數(shù)學文化的理解，并培育探究意識.

4" 結語

在高中數(shù)學教學設計中，結合數(shù)學文化進行教學設計，有利于對課程教學內(nèi)容進行深入探索，促進學生從多個維度掌握課程知識.在教學設計中，要求教師具有深厚的知識底蘊，能夠?qū)φn程知識內(nèi)容進行深入挖掘，深入探究課程知識的本質(zhì)，提高課程教學效率.在人教版高中數(shù)學“函數(shù)”教學設計中，教師可以借助數(shù)學文化，促進學生對函數(shù)知識內(nèi)容的深入學習，帶動學生更好地理解數(shù)學思想，營造良好的數(shù)學文化氛圍，促進學生對函數(shù)知識的深入理解.

參考文獻：

［1］王運行.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學作業(yè)優(yōu)化設計——以“冪函數(shù)”教學為例［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（07）：51-52.

［2］尤裕.聯(lián)系與發(fā)展理念下的初、高中教學銜接——以“冪函數(shù)”教學設計為例［J］.高中數(shù)學教與學，2024（02）：23-26.

［3］張瑾，李園園.基于大概念的高中數(shù)學大單元教學設計——以人教A版高中數(shù)學必修第一冊函數(shù)大單元為例［J］.課程教學研究，2023（12）：59-65.

［4］姚亞男.探究高中函數(shù)概念深度學習內(nèi)涵及教學策略——以“函數(shù)的概念”一課時為例［J］.新課程，2022（36）：1-3.

［5］夏啟明，曹鑫月，陸萬順.讓數(shù)學核心素養(yǎng)在高中數(shù)學課堂落地生根——以人教版高中“函數(shù)的奇偶性”教學為例［J］.中學數(shù)學，2023（23）：35-37.

［6］方天佑.基于深度學習的高中數(shù)學教學設計——以“三角函數(shù)”為例［J］.新課程，2023（20）：34-36.

［7］徐文倩.數(shù)學抽象核心素養(yǎng)視野下高中數(shù)學概念課教學設計——以函數(shù)概念教學為例［J］.數(shù)學學習與研究，2022（29）：80-82.