幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用（1）

【摘要】幾何構造法屬于一種創新性解題方式，其中滲透著類比、化歸、轉化等數學思想，將其科學合理地用于初中數學解題實踐中，可使得學生在幾何圖形的輔助下，巧妙解決數學難題.本文結合典型的例題，探究幾何構造法在解題中的具體應用，并提出針對性的教學建議.

【關鍵詞】初中數學；幾何構造法；解題教學

幾何構造法是一種常見的數學解題方法，是指根據題目中所給出的已知條件、結論所求信息，對數學問題進行加工處理，進而構造和所求問題相關聯的模式，以便于學生結合所學的知識進行解答.幾何構造法解題本質上是一種創新性解題思維和解題方式，其中蘊含了常見的數學思想，包括轉化思想、化歸思想、數形結合思想等.經解題實踐證明，將幾何構造法應用到解題實踐中，能夠有效轉化原有的問題，使得原本繁雜的數學問題簡單化、清晰化，進而幫助學生巧妙解答一些困難題目.

1" 幾何構造法在初中數學解題中的具體應用

例1" 求sin15°、cos15°、tan15°的值.

解析" 解決這一類求特殊角三角函數值的問題，如果按照代數解題的思路，借助相關的工具進行解答，會比較復雜，增加了學生的解題難度.針對這一類求特殊三角函數的問題，可借助幾何構造的方式，從直角三角形的角度進行解題.

如圖1所示，構造Rt△ABC，令∠C=90°，∠BAC=30°，延長CA至D，使得AD=AB，連接BD，則有∠D=15°，

假設BC=a，AC=3a，

所以CD=AC+AD=AC+AB=（2+3）a，

BD=BC2+CD2=a2+（7+43）a2=（6+2）a，

sin15°=sinD=BCBD=a（6+2）a=6－24

cos15°=cosD=CDBD=（2+3）a（6+2）a=6+24

tan15°=tanD=BCCD=a（2+3）a=2-3

圖1

例2" 求x2+4+（12－x）2+9的最小值.

解析" 針對這一類型題目，多數學生都是從代數的角度進行思考.但在這種情況下，學生極容易陷入思維困境中，難以形成明確的解題思路.鑒于此，可通過幾何構造法，將其轉化成為直觀的幾何問題，進而完成題目的求解.

如圖2所示做AB⊥BC，CD⊥BC，假設AB=2，CD=3，BC=12，點E在BC上.假設BE=x，則CE=12－x.

根據勾股定理得知：AE=x2+4，

圖2

圖3

則DE=（12－x）2+9，

如此，x2+4+（12－x）2+9的最小值即可轉化為AE+ED的最小值，

根據所學知識可得，當A，D，E三點共線時，AE+ED存在最小值.

此時，根據題目構建Rt△AFD，如圖3所示，

因為AF=5，DF=12，

因此AD=AF2+FD2=52+122=13，

即x2+4+（12－x）2+9最小值為13［2］.

例3" 如圖4所示，△ABC是一個等腰三角形，AB=AC，∠BAC=100°，延長AC至M點，使得AM=CB，連接BM，求∠CBM的度數.

圖4

解析nbsp; 本題目是求解三角形內角度數.針對本題目，很多學生找不到已知條件和所求問題之間的關系，以致于在解題時無從下手.鑒于此，即可采用幾何構造法，通過構建等邊三角形和全等三角形的方式，將原本看似沒有關系的條件構建在一起，進而完成題目的解答.

構造等邊三角形ACN，則有：

因為∠ABC=40°，∠ABN=10°，

因此∠NBC=30°，

因為AB=CN，∠BAM=∠BCN=100°，

又因為AM=CB，

所以△BAM≌△NCB，

即∠BMA=∠CBN=30°，

因此，在△BAM中，因為∠BMA=30°，∠BAM=100°，

所以∠MBA=50°，

又因為∠ABN=10°，∠NBC=30°，

則∠CBM=10°.

2" 基于幾何構造法的解題教學啟示

幾何構造法已經在初中數學解題中得到了廣泛應用，因此提升初中生的構造解題能力具有重要的意義.鑒于此，教師在日常教學活動中，應注意以下四個方面：

第一，基于構造法的內涵，培養學生的觀察能力.構造法屬于一種創新性解題思維，學生在解題之前，必須對題目進行仔細觀察、分析，明確知識之間的內在聯系，進而為幾何構造法解題奠定基礎.而要達到這一目標，教師在日常教學活動中，可借助多樣化的手段，優化數學定理和數學基礎知識教學，幫助學生構建系統化的知識體系.同時，還要有針對性地培養學生的數學觀察能力.

第二，培養和發展學生的思維能力.構造法是思維深化的過程，初中數學教師在日常教學活動中，應關注學生的數學思維，引領學生在多角度分析問題的過程中，運用假設分析、舉例驗證、反向推理等思維模式，使得學生在學習中逐漸沖破定勢思維的束縛，為應用幾何構造法奠定堅實的基礎.

第三，培養學生舉一反三的能力.幾何構造法要求學生在系統化的知識體系上展開聯想，最終構建出新的關系，進而完成原有問題的解答.因此，教師在日常教學中，應全面加強舉一反三訓練，增強學生靈活運用知識的能力.

第四，及時進行總結和反思.帶領學生圍繞解題實踐，歸納具體的解題步驟，并逐漸提升自身的幾何構造解題能力.

3" 結語

綜上所述，鑒于數學學科的特點，學生在日常解題訓練或者考試中，常常會遇到一些非常規性的題目，對學生的知識水平、思維能力均提出了更高的要求.幾何構造法作為一種創新性解題思路，是解答非典型數學題目的有力手段.因此，教師在日常教學中，必須結合幾何構造法的內涵，借助針對性的練習，幫助學生在實踐中，內化應用幾何構造法解題這一技巧，并逐漸提升自身的數學解題能力.