思維發(fā)展視域下的初中數(shù)學(xué)幾何解題教學(xué)模型構(gòu)建

【摘要】為解決當(dāng)前數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的“高投入，低產(chǎn)出”問題，本文以指向思維發(fā)展的幾何解題教學(xué)為研究對象，以利用角平分線構(gòu)造全等三角形為例，對幾何解題教學(xué)的現(xiàn)狀進(jìn)行透析，并提出構(gòu)建“明關(guān)鍵→理思路→構(gòu)支架→靈活用→悟觀念”教學(xué)模型，旨在促進(jìn)學(xué)生從“解題”走向“解決問題”，從而提升數(shù)學(xué)思維與推理能力.

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何；初中數(shù)學(xué)；解題模型

1" 引言

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，旨在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，尤其是推理能力.圖形與幾何作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一，對培養(yǎng)推理能力至關(guān)重要.然而，當(dāng)前解題教學(xué)存在教師過于關(guān)注解法呈現(xiàn)，忽視思路啟發(fā)；缺乏解題思路歸納；未能提煉一般化思想和方法等問題.基于此，本研究構(gòu)建了“明關(guān)鍵→理思路→構(gòu)支架→靈活用→悟觀念”的幾何解題教學(xué)模型.本文以利用角平分線構(gòu)造全等三角形為例，加以具體闡述.

2" 明關(guān)鍵：圖示已知條件，厘清圖文關(guān)鍵

在幾何解題教學(xué)中，“明關(guān)鍵”是至關(guān)重要的一步.它要求學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，圖示已知條件，即將題干中的顯性已知條件用數(shù)學(xué)符號標(biāo)記到圖中，以形成幾何直觀.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還需挖掘圖中隱含信息，厘清圖文關(guān)鍵.這一過程不僅有助于整合已知條件，還能激發(fā)學(xué)生由圖聯(lián)想，形成解題思路.總之，“明關(guān)鍵”不僅是解題的起點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何思維和推理能力的基礎(chǔ).

2.1" 圖示已知條件，形成幾何直觀

在幾何解題教學(xué)中，“圖示已知條件，形成幾何直觀”具有極其重要的地位.這一步驟要求學(xué)生細(xì)致審題，精準(zhǔn)把握題目中的已知條件，并將這些條件通過數(shù)學(xué)符號準(zhǔn)確地標(biāo)注在圖形中.通過這一過程，學(xué)生不僅能夠清晰地整合已知條件，還能直觀地看到圖形中的幾何關(guān)系，進(jìn)而形成幾何直觀.這種直觀的圖形呈現(xiàn)，有助于學(xué)生更好地理解題目，找到解題的關(guān)鍵所在，將原本復(fù)雜的文字信息轉(zhuǎn)化為易于理解的圖形信息，從而順利開啟幾何解題的思維之旅.

例1" 如圖1所示，在△BCD中，已知CA是∠BCD的角平分線，若∠B=90°，且CB=3，CD=5，求△CBA與△CDA的面積之比為多少.

本題題干中的已知條件是CA是∠BCD的角平分線，且∠B=90，CB=3，CD=5.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題干中的CA是∠BCD的角平分線這一已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即∠BCA=∠DCA，并且將CB=3，CD=5標(biāo)注到圖上.這樣能有效地將圖中角平分線和垂直兩個(gè)條件在視覺上關(guān)聯(lián)起來，從而激發(fā)學(xué)生由圖聯(lián)想，形成過點(diǎn)A作AE⊥CD的解題思路.

圖1

圖2

2.2" 挖掘隱含信息，厘清圖文關(guān)鍵

在幾何解題中，“挖掘隱含信息，厘清圖文關(guān)鍵”是深化解題思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié).學(xué)生需主動(dòng)從圖形的特征中挖掘隱含條件，這些條件往往對解題起著決定性作用.通過深入挖掘，學(xué)生可以將圖形中的隱含信息與已知條件相結(jié)合，進(jìn)一步厘清圖文關(guān)系，從而找到解題的突破口.這一過程不僅考驗(yàn)學(xué)生的觀察力和分析能力，更有助于培養(yǎng)其幾何思維和邏輯推理能力.

例2" 在△BCD中，已知CA是∠BCD的角平分線，若∠B=2∠D，請判斷CB，AB，CD之間的關(guān)系并證明.

在圖示條件的基礎(chǔ)上（圖2），學(xué)生易想到利用角平分線得到兩角相等，聯(lián)想到在CD上截取CE=CB，連接AE，得到△CBA全等于△CEA，由此得到∠B=∠AEC.進(jìn)而挖掘出∠AEC是△AED的外角這一隱含條件，從而將∠B和∠D建立起聯(lián)系，問題得以解決.審題時(shí)，學(xué)生的思維不應(yīng)只停留在題干和圖形這些顯性的信息上，學(xué)生學(xué)會主動(dòng)從圖形的特征中挖掘隱含條件往往是解題的關(guān)鍵.

3" 理思路：聯(lián)想已知結(jié)論，形成解題思路

在幾何解題教學(xué)中，“理思路：聯(lián)想已知結(jié)論，形成解題思路”是解題的核心環(huán)節(jié).它要求學(xué)生不僅要準(zhǔn)確理解題目中的條件和結(jié)論，還要能夠靈活運(yùn)用已學(xué)知識，通過正向或逆向思維，聯(lián)想與題目相關(guān)的已知結(jié)論或性質(zhì).這一過程有助于學(xué)生形成清晰的解題思路，找到從已知條件到結(jié)論的邏輯關(guān)系或轉(zhuǎn)化關(guān)系.因此，教師在幾何解題教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力和邏輯思維能力，通過引導(dǎo)學(xué)生分析和聯(lián)想，幫助其形成有效的解題思路，從而提高學(xué)生的幾何解題能力.

3.1" 正向思維：根據(jù)已知聯(lián)想尋起點(diǎn)

正向思維在幾何解題中扮演著至關(guān)重要的角色.它提倡學(xué)生從題目的已知條件出發(fā)，積極展開聯(lián)想，將已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與當(dāng)前問題相結(jié)合.通過正向思維，學(xué)生能夠更有效地挖掘和利用題目中的信息，找到解題的起點(diǎn).這種思維方式不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力和知識遷移能力，還能提升他們解決問題的效率和準(zhǔn)確性.因此，在幾何解題教學(xué)中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的正向思維能力，通過引導(dǎo)和鼓勵(lì)，幫助他們形成有效的解題策略.

例3" 在△BCD中，已知CA是∠BCD的角平分線，若BM⊥CA交CA于點(diǎn)M，判斷∠CBM、∠ABM，∠D之間的關(guān)系并證明.

師：由角平分線可以聯(lián)想到什么？生1：由角平分線可以得到兩個(gè)角相等，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，角平分線與等腰三角形中的三線相關(guān).生2：角是一個(gè)軸對稱圖形，角平分線所在的直線是這個(gè)角的對稱軸……解答該問題可以由已知條件出發(fā)，面向全體學(xué)生，學(xué)生需要發(fā)揮聯(lián)想，關(guān)聯(lián)已有的知識.解題教學(xué)時(shí)，通過學(xué)生的聯(lián)想，可以將散落的點(diǎn)狀知識建立聯(lián)系.

3.2" 逆向思維：根據(jù)結(jié)論聯(lián)想尋起點(diǎn)

逆向思維在幾何解題中同樣具有舉足輕重的作用.它要求學(xué)生從題目的結(jié)論出發(fā)，反向推導(dǎo)，尋找與結(jié)論相關(guān)聯(lián)的已知條件或性質(zhì).這種思維方式能夠打破常規(guī)的解題模式，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，從而發(fā)現(xiàn)新的解題路徑.通過逆向思維，學(xué)生可以更有效地整合和利用題目中的信息，形成獨(dú)特的解題思路.因此，在幾何解題教學(xué)中，教師也應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，鼓勵(lì)他們在解題過程中勇于嘗試新的思考方式，以拓寬解題視野，提升解題能力.

例如" 教師可依據(jù)例1，提問：怎么求出△CBA與△CDA的面積之比？該問題由結(jié)論出發(fā)，學(xué)生需要聯(lián)系與三角形面積相關(guān)的知識，展開聯(lián)想，發(fā)散思維，聯(lián)想出多種解決這一問題的方法，之后與圖形關(guān)聯(lián)，選擇適切的方法解決問題.由此，從問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，可以將散落的點(diǎn)狀知識建立聯(lián)系，形成解題思路.

3.3" 架構(gòu)橋梁：尋找起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)聯(lián)

架構(gòu)橋梁是學(xué)生根據(jù)已知條件和結(jié)論找準(zhǔn)從已知到結(jié)論的橋梁，或者是從結(jié)論到已知的橋梁，明確解題方向，形成解題思路.

例如" 例1教學(xué)中，教師提問：結(jié)合前面的分析，題目中的條件和結(jié)論有何關(guān)聯(lián)？這些關(guān)聯(lián)能解決問題嗎？生1：根據(jù)題目中的角平分線這一條件，可以聯(lián)想得到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這恰好和由結(jié)論聯(lián)想的高相等，則面積之比等于底之比，因此解決本題，只需過點(diǎn)A作AE⊥CD即可.依據(jù)已知條件和結(jié)論展開聯(lián)想，能打通條件和結(jié)論的關(guān)聯(lián).這樣的反復(fù)體驗(yàn)是數(shù)學(xué)的思維之旅，有利于提升學(xué)生思維的深度和廣度.

4" 構(gòu)支架：運(yùn)用思維導(dǎo)圖，建構(gòu)思維支架

構(gòu)支架是借助思維導(dǎo)圖工具，將零散的思維片段整合為一個(gè)連貫、完整的邏輯鏈條，旨在明確解題關(guān)鍵并理順?biāo)悸?

例如" 依據(jù)例1的解題思路形成思維支架：圖示已知條件（角平分線+垂直）→聯(lián)想角平分線的性質(zhì)→作距離，構(gòu)全等→轉(zhuǎn)化邊或角→得到面積之間的關(guān)系.依據(jù)例2的解題思路形成思維支架：圖示已知條件（角平分線+翻折）→聯(lián)想角平分線的性質(zhì)→截長補(bǔ)短，構(gòu)全等→轉(zhuǎn)化邊或角→得到邊之間的關(guān)系.依據(jù)例3的解題思路形成思維支架：圖示已知條件（角平分線+垂直）→聯(lián)想三線合一→巧延長，構(gòu)全等→轉(zhuǎn)化邊或角→得到角之間的關(guān)系.

這些支架均遵循以下設(shè)計(jì)原則：首先，以學(xué)生為中心，通過引導(dǎo)學(xué)生逐步攀登“臺階”，即逐一解決關(guān)鍵問題，來實(shí)現(xiàn)問題的解決；其次，每個(gè)“臺階”均用動(dòng)賓結(jié)構(gòu)明確描述，其中動(dòng)詞代表數(shù)學(xué)學(xué)科中的思維操作，如圖示、觀察、聯(lián)想、構(gòu)造等，它們按照邏輯順序排列，清晰界定了學(xué)習(xí)行為；最后，整個(gè)“臺階”序列體現(xiàn)了思維的進(jìn)階過程，全程運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科思維動(dòng)詞，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展.通過深入研究這些案例，我們可以更清晰地認(rèn)識到有效思維支架所應(yīng)具備的特征.

5" 靈活用：順勢變式拓展，自主探尋生成

在幾何解題教學(xué)中，“靈活用：順勢變式拓展，自主探尋生成”是提升學(xué)生解題能力的重要環(huán)節(jié).它強(qiáng)調(diào)在解題過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不拘泥于固定解法，而是要根據(jù)題目的變化和特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，自主探尋新的解題路徑.通過順勢變式拓展，學(xué)生不僅能夠加深對幾何知識的理解和掌握，還能培養(yǎng)自己的創(chuàng)新思維和問題解決能力.這一環(huán)節(jié)的實(shí)施，有助于學(xué)生從“解題”走向“解決問題”，真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的精髓.

6" 悟觀念：從特殊到一般，明思維之道

引導(dǎo)學(xué)生梳理問題的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，反思解題過程，提煉解決一類問題的一般思路與方法，是學(xué)生對自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知更高層次的重構(gòu).解題是手段但不是目的，教師應(yīng)把問題作為引導(dǎo)學(xué)生深入反思的載體，通過梳理問題的內(nèi)在邏輯，揭示方法的本質(zhì)，建構(gòu)解決這類問題的一般方法，明思維之道.如在課堂結(jié)尾部分，教師提出問題：這三個(gè)問題有怎樣的內(nèi)在關(guān)聯(lián)？生1：從三個(gè)問題的條件來看，都有角平分線這一條件，體現(xiàn)條件關(guān)聯(lián).生2：從三個(gè)問題的圖形來看，是同一圖形背景下的變式，體現(xiàn)圖形關(guān)聯(lián).生3：從三個(gè)問題的結(jié)論來看，第一個(gè)問題需要解決面積之比，第二個(gè)問題需要解決三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，再到第三個(gè)問題的三條線段的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了研究對象和解法的關(guān)聯(lián).

再如，師問：解決這三個(gè)問題經(jīng)歷了怎樣的探究過程，有共同點(diǎn)嗎？生4：都經(jīng)歷了圖示已知條件，由已知條件和結(jié)論展開聯(lián)想，關(guān)聯(lián)角平分線性質(zhì)構(gòu)造全等，從而轉(zhuǎn)化邊與邊或角與角，得到新的邊角關(guān)系.師追問：你能用路徑圖清晰地歸納解決此類問題的一般思路和方法嗎？生5：我們可以形成解決此類問題的一般思路和方法，用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)，即圖示已知條件（條件結(jié)論）→聯(lián)想角平分線相關(guān)性質(zhì)→構(gòu)造全等→轉(zhuǎn)化邊或角→得到邊或角之間的關(guān)系.

7" 結(jié)語

綜上所述，本文針對當(dāng)前面臨的數(shù)學(xué)解題教學(xué)“高投入，低產(chǎn)出”的挑戰(zhàn)，提出了全新的思路，在保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，采用構(gòu)建“明關(guān)鍵→理思路→構(gòu)支架→靈活用→悟觀念”這一幾何解題教學(xué)模型的手段來協(xié)調(diào)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)間的互聯(lián)互通.該模型注重啟發(fā)學(xué)生的解題思路，歸納解題方法，并提煉一般化的解題思想，從而最大程度地發(fā)揮幾何解題教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升推理能力方面的作用.通過實(shí)踐應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)這一教學(xué)模型不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握幾何知識，還能有效地促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的全面發(fā)展.

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