非遺榫卯中的數學

【摘 要】 數學文化項目式學習是素養導向下數學文化融入教學的重要形式.以“非遺榫卯中的數學”為載體，從前期中的主題和目標兩要素與過程中的啟動、探究、生成和展示4個階段對數學文化項目式學習進行案例設計，旨在挖掘非遺榫卯的教育價值，見證數學文化與項目式學習之間的優勢聯動關系和探索具有中國特色的數學文化項目式學習.

【關鍵詞】 榫卯；數學文化；項目學習

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》在課程理念中明確指出：“關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化.”^[1]隨著對數學文化研究的逐漸深入，數學是一股重要的文化力量已成為共識，數學文化不僅能夠提高學生對數學學科體系的整體架構及內涵的認識與理解，還有助于培養學生的數學思維，加深對數學本質與觀念的認識^[2].在當前以核心素養為導向的數學課程改革背景下，數學項目式學習作為一種重要的教學模式脫穎而出，而數學文化則為項目式學習的有效設計與實施提供了強有力的支撐與保障.鑒于此，設計數學文化項目式學習案例是值得關注和探賾的.本文嘗試以“非遺榫卯中的數學”為例，一方面，以期力證數學文化與項目式學習的優勢聯動關系，另一方面，挖掘非遺榫卯的教育價值、豐富中國本土化的教學資源庫以此探索具有中國特色的項目式學習^[3].

1 項目前期分析

在項目式學習設計的初期，主題與目標的確定至關重要.主題促進項目式學習的橫向融合，目標推進項目式學習的縱向進階.特別地，數學文化為主題與目標增添了一抹專屬亮色，賦予了更深的文化內涵與意義.

1.1 項目主題確定

主題是項目式學習的土壤，是核心任務的載體^[4-6].在數學文化項目式學習的主題選取中，教師可以從文化、數學和學科三個角度思量.

從文化關聯角度來看，榫卯是在相連接的木制構件上采用的凹凸處理的結合方式，是我國民間傳統的手工工藝.作為我國非物質文化遺產之一，榫卯蘊含著陰陽互補、張弛有度的哲學思想，天人合一、道法自然的精神理念，原生質樸、簡約和諧的中式美學，凝聚著中華優秀傳統文化的氣韻神形^[7].同時，榫卯的應用價值廣泛，譬如建筑、家具和玩具等等.因此，榫卯作為中國本土化的教學資源亟待挖掘，可以設計中國特色的項目學習.

從數學關聯角度來看，以榫卯為主題的項目式學習包含三視圖和反比例函數兩個主要知識，蘊含函數與方程、數形結合、數學建模等思想方法，提升學生的抽象能力、幾何直觀、模型意識和創新意識等數學核心素養.因此，基于榫卯富含的代數與幾何元素，可以開展數學項目式學習.

從學科關聯角度來看，榫卯中蘊藏著多學科屬性，能夠作為載體促進不同學科知識的深度融合.數學中的“三視圖”和“反比例函數”，科學中的“杠桿原理”“力的合成與分解”，技術中的典型結構分析、材料與加工工藝，工程中的設計制作，藝術中的美學分析與非遺修復等都是值得開采的資源.因此，可以開展以“三視圖”和“反比例函數”為落腳點，以非遺榫卯為主題的數學項目式學習.

結合以上文化、數學和學科關聯分析，確定項目式學習的主題為“非遺榫卯中的數學”.

1.2 項目育人目標確定

數學文化項目式學習的教學目標不僅聚焦于知識技能的掌握與思維素養的提升，還應強調文化理解的獨特維度，以此深化教育培養目標.

知識技能目標：能判斷簡單物體的視圖，會根據視圖描述簡單的幾何體；通過實例，了解上述視圖在現實生活中的應用.結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式；會用描點法畫出反比例函數的圖象；探索和理解反比函數圖象的變化情況.

思維素養目標：會用數學的眼光觀察現實世界，在參觀古建中，感受榫卯的傳統文化和幾何元素，培養抽象能力、幾何直觀等核心素養.會用數學的思維思考現實世界，在真實情境中探究榫卯位置分布中蘊藏的反比例函數，發展批判性思維與理性精神.會用數學語言表達現實世界，借助三視圖和反比例函數表達現實世界中的簡單數量關系與空間形式，形成跨學科的應用意識與實踐能力.

文化理解目標：引導學生體驗視圖繪制和反比例函數發現與形成的過程，感受中華非物質文化遺產外在結構上的巧奪天工、內在性質上的剛柔并濟；依托三視圖和反比例函數等數學知識，獲得對科學、工程與藝術等領域的文化體認.基于以上學習，感悟數學的科學價值、文化價值和審美價值等價值觀念，塑造樂學善學、探究創新、團結合作的態度與品質，延續謙遜內斂和溫良寬厚的中華民族精神，實現文化持續性教學.

基于上述三個目標，可以設計全面貫徹育人導向的數學文化項目式學習.

2 項目設計過程

2.1 啟動階段：創設文化情境，呈現項目任務

創設情境 榫卯是將兩個木制單元凹凸接合的方式，是數千年以來古建筑的靈魂所在.榫卯之濫觴可以追溯到7000年前的河姆渡文明，而后，春秋漆器、唐宋斗栱、明清家具；古建山西應縣木塔、寧波保國寺、現代世博會中國館.可見，榫卯在中華民族的千年歷史中熠熠生輝，不僅結構精巧、應用廣泛，還蘊含著中華優秀傳統文化和民族氣節.今天，就讓我們一起來開展以“非遺榫卯中的數學”為主題的項目式學習.

發布任務 師生商討后提出驅動性任務：俗話說“榫卯萬年牢”，榫卯不用一釘一鉚，何以能撐起廣廈千萬間，面對地震依舊屹立不倒？如今非物質文化遺產的保護和傳承面臨巨大沖擊和困境，如何為榫卯找到破局良策？在提出驅動性任務的基礎上，進而分解成四個子任務，分別為結合三視圖，呈現外在結構；借助力學原理，探秘內在性質；品味美學價值，研討非遺修復；制作魯班鎖，延續榫卯文化.

情感圖譜 數學文化項目式學習關注對學生的個性和文化身份的肯定，強調學生對信念、價值觀、情感等隱性特征的積極體驗.情感圖譜可以將個人的學習經歷顯性化、可視化，是描述難以言表的情感狀態的刺激物與參照物^[8].因此，將情感圖譜作為數學文化項目式學習的重要補充（表1）.

設計意圖 教師借助視頻和圖片等設計的真實情境，與學生的已有經驗和文化實踐相勾連.在感受中國傳統木結構建筑營造技藝的歷史的同時，增強學生的文化認同與民族自豪感.數學文化教學實施的關鍵在于提供文化關聯的高認知水平數學任務^[9].教師設置驅動性任務，進而拆分成四個環環相扣的子任務.學生在合作考察中，通過多個學習入口將幾何、力學和函數等知識銜接與整合，逐步達到高認知水平、實現文化賦權.另外，關于情感圖譜這一非語言工具的應用，學生可以在學習中及時提出問題，教師也能夠通過觀察學生的情感反饋進行針對性的指導以及教學上的調整.特別地，對于課堂中表現安靜沉默的學生，教師能夠給予更多的關注與包容.

2.2 探究階段：體驗文化探究，真實問題驅動

任務1 結合三視圖，呈現外在結構

師生活動 在課前，教師以視頻、課件等形式，通過班級群分享給學生，使學生對榫卯有初步的感知，習得基本的榫卯結構、三種典型的榫卯接合方式、特殊榫卯類型等內容.隨后，教師組織學生來到寧波市歷史古剎保國寺進行實地考察.

問題1-1 保國寺是浙東最古老、保存最完整的木結構建筑，它的屋頂重達50噸卻屹立千年而不倒，這與其建造結構有什么關聯嗎？

師生活動 學生在課前預習中已初步認識了榫卯結構，易于聯想到古建之所以堅固可能與榫卯結構有關.教師帶領學生參觀古建筑博物館，借助實物和GeoGebra軟件進行講解（表2），學生近距離觀察和動手拼拆榫卯結構，學習榫卯接合的基本技法.

設計意圖 教師并非僅采用靜態的、平面圖形的一般教學方式，而是開展實地考察活動，為學生營造了文化浸潤的真實情境，使學生易于進行持續性與發展性的深度學習.隨后，學生在近距離觀察和動手拼拆榫卯結構中，培養動手操作能力，獲得多感官的文化體驗；通過榫卯構件圖檢驗學生能否正確分辨榫與卯，感受榫卯的對稱美學，并為后續探索提供支架.

問題1-2 如果我們只能看到榫卯的一個視圖，能夠準確地描述出這個榫卯嗎？

師生活動 教師展示兩個正視圖（圖1）以及不同的榫卯類型（圖2）.學生討論視圖1和2分別對應的榫卯類型，觀察后發現三肩榫和四肩榫可以對應視圖1，雙肩榫和斜肩榫可以對應視圖2.由此，學生得出結論：只有一個視圖對應的榫卯并不唯一，即沿一個方向的物體的正投影只是從一個方面反映了物體的形狀和大小.

設計意圖 挖掘榫卯中的三視圖承載的文化特質及其育人功能，將三視圖的教學與投影學習的既有認知與經驗相聯系，并與問題1-1的文化實踐相關連，降低學生參與數學學習的門檻.另外，懸疑式問題的設置和半開放式答案的呈現，將極大地激發學生學習的興趣，使學生體會學習三視圖的必要性.同時，設置平面圖形與立體圖形的匹配問題，為學生繪制簡單組合體的三視圖提供支架，有助于培養學生的空間想象能力，激發學生的探索精神.

問題1-3 我們找到了四肩榫對應的正投影.為了全面反映一個物體的形狀和大小，側投影面和水平投影面上的正投影是什么圖形？你能否畫出四肩榫在這三個投影面上的正投影呢？

師生活動" 教師引導學生回憶基本幾何體的三視圖的形成過程以及畫法規律，明確簡單組合體是由基本幾何體經過拼接或割補后形成的立體圖形，學生通過類比學習，自主繪制簡單組合體的三視圖，然后小組交流討論（圖3）."" 圖3

設計意圖 學生繪制三視圖的過程正是用數學語言表達現實世界的過程，為了解決如何繪制簡單組合體的三視圖這一靶問題，學生回顧已解決的源問題，即如何繪制基本幾何體的三視圖，通過類比遷移掌握簡單組合體三視圖的畫法.類比學習與學生的文化、經驗和認知建立意義聯系，促成學習的正遷移，使學習者原有的認知結構得到有效地激活與完善，形成良性循環.

問題1-4 反過來，你能否將已知的三視圖還原成幾何體呢？圖4的三視圖表示的是哪個榫構件呢？若榫與卯要咬合成一個長方體，你能試著畫出相應的卯結構的主視圖嗎？

師生活動" 學生分別對三個視圖的特征進行分析，確定組合體的各方向上的形狀輪廓，進一步精確各數值，最終將三個視圖整合聯想得到幾何體對應三肩榫.在確定榫構件后，學生想象與其接合的卯構件并繪制卯構件的主視圖（圖5），繪制完后組內討論，組間視圖展示.最后，教師借助GeoGebra軟件呈現正確的立體圖形以及榫卯接合的動畫演示（圖6）.

設計意圖 學生基本掌握簡單組合體三視圖的畫法，易于出現看到實物圖聯想三視圖的思維定勢.問題1-4旨在培養學生的逆向思維，引導學生對三視圖進行解碼并想象出立體圖形.由此，學生由平面圖形想象實物形狀，再由實物形狀想象平面圖形，溝通二維平面與三維空間.進一步，巧用三視圖為紐帶聯結榫與卯，形成榫與卯之間的巧妙轉化，發展學生空間觀念的核心素養，感受榫卯的邏輯、理性與和諧之美.最后，教師結合動畫呈現接合的過程并講解，使信息塊以“視覺表征+聽覺表征”的雙通道的形式呈現，降低學生的想象難度.

任務2 借助力學原理，探秘內在性質

問題2-1 中國古代為什么多為木構建筑？而榫卯是如何運用木材性質的？

師生活動 教師提供羅馬萬神殿、雅典衛城和埃及金字塔以及中國故宮、應縣木塔和保國寺等中西建筑素材（圖略），引導學生從自然地理、社會經濟、建造技術、歷史文化、磚石材料對比、木材本身優勢等多角度思考.學生以小組為單位，線上線下搜集相關資料并交流討論，由代表進行匯報.匯報后，教師進一步補充并強調木材的本身優勢：木材在順紋方向、橫紋方向和斜紋方向上的力不盡相同，揭示木材在物理力學性質上具有顯著的正交各向異性.不同方向上的力學強度有較大差異，通常順紋強度gt;斜紋強度gt;橫紋強度^[10].

設計意圖 從內容上，一方面榫卯選材的開放性問題為不同文化背景的學生提供學習入口，另一方面比較中西建筑文化之間的數學形式，有助于學生感受數學的多樣表征，肯定不同文化群體的數學貢獻，增添項目學習的文化吸引力.就形式上，小組合作、集體討論和公開匯報為不同文化背景的學生提供公平而有質量的學習機會以及多樣的參與結構.

問題2-2 大殿中分布眾多斗栱，斗栱是集榫卯技術大成的特殊構件，是中國特有的建筑文化符號.如何從簡單的榫卯結構設計出斗栱呢？斗栱本身與古建的抗震性能有什么聯系？

師生活動 教師向學生介紹斗栱并結合圖片講解斗栱的起源.學生對斗栱有初步認識后，搜集材料并討論斗栱的抗震作用以及背后的相關原理.

設計意圖 學生從力學角度討論斗栱的抗震性能，其中蘊含著力的合成與分解這一原理，斗栱借助層級式的垂直受力上承屋頂、下接立柱來保持建筑的平衡.圍繞榫卯建筑屹立不倒的問題，由簡單榫卯結構過渡到復雜斗栱，為問題2-3探究斗栱的位置分布埋下伏筆.

問題2-3 宋元斗栱形似何種工具？斗栱的位置分布與古建的抗震性能有什么聯系？

師生活動 教師引導學生將稱量工具天平與宋元斗栱進行類比，發現其中蘊含杠桿原理，屬于跨學科內容.斗栱相當于力臂，平衡著以斗栱中縫為中軸線的內外屋頂的壓力.如圖7所示，假設斗栱中軸線為l，內側壓力為F1，內側距離為L1；外側壓力為F2，外側距離為L1.根據杠杠原理可得F1·L1=F2·L1，可知F1=F2，此時斗栱是等力杠桿.

若調整斗栱的中軸線內部的力臂（圖8），此時斗栱內側距離增加L2，內側壓力為（F3+F4），內側距離為（L1+L2）；外側壓力仍為F2，外側距離仍為L1.根據杠桿原理可得（F3+F4）·（L1+L2）=F2·L1，令k=F2·L1，L=L1+L2，F=F3+F4，則F=kL.因為壓力和力臂的積是不為零的常數，所以二者成反比例關系.教師讓學生用代數和畫圖的方法觀察反比例函數的圖象，進而發現反比例函數的性質.當kgt;0時，力臂增加為L，相應的壓力F也隨之減少，可以說明原先的等力杠桿變為省力杠桿，提升了建筑的抗震性能.

設計意圖 在推理過程中，不同文化背景的學生會使用不同的數學符號表征，教師應進一步引導學生尋找內在關聯的本質特征，打通數學知識與數學思想方法的多元通道.學生在探究斗栱的位置分布與古建的抗震性能的文化體驗中，借助杠桿原理建構反比例函數，實現對反比例函數的概念、圖象及性質的理解.不僅如此，學生將實現文化與思維的有機融合，塑造動態的數學觀，理解數學的理性精神和人文精神.更重要的是，在用數學的眼光、思維和語言分析和解決問題中，學生能夠真正成為問題解決的貢獻者，消解學習的疏離感，回應數學的社會功用.

2.3 生成階段：繪制設計圖樣，制作文化產品

任務3 品味美學價值，研討非遺修復

師生活動 教師引導學生從榫卯結構的美學角度討論修復方案，從損毀原因、修復理論原則、修復方法和保護措施^[11]等多個入口展開小組探討，為榫卯困境找到破局良策.

設計意圖 榫卯修復應遵循最小干預原則，保留榫卯的對稱、結構和邏輯等美學特性，呼應任務1中的三視圖這一知識點.相較于前兩個任務聚焦于榫卯特性和受力狀態，任務3的設置在于填補修復方案和保護體系的空缺.不同文化背景的學生會探究榫卯結構不同的破壞機理與修復方法，研討過程中能夠充分體現學生對文化的再建構能力.

任務4 制作魯班鎖，延續榫卯文化

師生活動 教師組織學生走訪榫卯工作坊并邀請匠人傳授魯班鎖的制作工藝.在匠人的指導下，學生識讀和繪制不同的魯班鎖圖樣，各小組選擇一種魯班鎖進行3D打印并安裝.

設計意圖 任務3以打造魯班鎖為明線，以匠心傳承為暗線.學生通過自身的文化認知水平，制作符合自身文化理解的魯班鎖.在識讀圖樣、草圖繪制和規劃加工等環節中，呼應任務1中三視圖，發展學生對三視圖的識讀能力、物化能力以及工程思維.團隊制作符合自身文化認同的產品，感受榫卯制作的巧思和不易，傳承非物質文化遺產.

2.4 展示階段：展示項目成果，文化包容評價

教師請代表匯報和展示成果，小組間互相交流.數學文化項目式學習倡導文化包容評價，因此從過程和成果縱向兩個維度，強調自身、同伴、教師以及匠人等多主體參與對項目式學習的評估（表3）.

3 結束語

數學文化項目式學習主張將數學知識的文化屬性與學生自身既有文化經驗、所處文化背景進行聯結，在利用文化資源的同時，順應學生的文化心理，實現數學項目學習的文化參與.挖掘非遺榫卯中的數學文化資源并以此確定項目主題與目標，創設真實文化情境，將其中衍生的真實問題“面對地震依舊屹立不倒？”“如何為榫卯找到破局良策？”轉化為一系列文化關聯的高認知水平任務與高投入的實踐探究，圍繞數學學科，獲得對科學、工程、技術與藝術等其他學科領域的相關知識與文化體認，實現對數學意義的深層次建構與認同.縱覽項目全周期，一方面，彌合了數學知識與其背后的思想、文化之間的裂隙，另一方面裨補了孤立的數學知識、單調的過程與體驗的闕漏，有力印證了數學文化與項目式學習的高度契合關系.就非遺榫卯這一文化素材的選取而言，結合了中華優秀傳統文化將所學知識本土化，大膽探索了具有中國特色的數學項目式學習.

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作者簡介 胡姣靈（2000—），女，浙江寧波人，碩士研究生；主要研究方向為數學教學論.

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授，博士生導師；主要研究方向為數學課程與教學論.