在綜合實踐活動中培養數學核心素養

【摘 要】 《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了培養學生核心素養的課程目標，界定了初中階段的九大核心素養表現.學生的這些具體素養都是在“過程”中形成并發展起來的.綜合與實踐是以綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題的活動，開展綜合實踐活動是培養和發展學生核心素養的有效途徑.

【關鍵詞】 課程目標；核心素養；綜合實踐；通風窗問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在“課程目標”中提出了以“三會”為統領的核心素養目標，并且指出了初中階段的核心素養有九大表現^[1].這些具體素養都是在學生經歷各種學習“過程”中得到培養的.

在數學教學中，教師應結合具體的學習內容，開展綜合實踐活動，在活動中提高學生的各種具體數學素養.本文以一個“通風窗問題”為例，首先給出分析與解答，然后指出以此題為“載體”能培養的具體核心素養表現，進一步說明教學中加強綜合與實踐活動教學的重要性.

1 問題呈現

案例 通風窗的通風面積問題^[2].

【閱讀材料】

若a，b都是實數，則a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時“=”成立.

證明：因為（a－b）²≥0，所以a²-2ab+b²≥0.

所以a²+b²≥2ab.當且僅當a=b時“=”成立.

利用該結論，可以求a²+b²的最小值，也可以用來計算ab的最大值.

【問題解決】

如圖1所示的自動通風設施.該設施的下部四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AB為2米，AB，CD之間的距離為1米，CD為3米，上部 CmD是個半圓，固定點E為CD的中點.MN是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和CD平行.當MN位于CD下方（圖1①）和上方（圖1②）時，通風窗的形狀均為矩形MNGH（陰影部分均不通風）.

（1）設MN與AB之間的距離為x（0≤x＜52且x≠1）（米），通風窗的通風面積為S（平方米），請求出S關于x的函數表達式；

（2）當MN與AB之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積S取得最大值？

2 分析與解答

（1）設計意圖

在數學教學中，引導學生積極開展綜合與實踐活動，在活動的過程中，發展學生的“四能”，從而提高學生的問題解決能力.為此，我們選取了這個問題作為綜合實踐活動.

“閱讀材料”給出了一個命題，這個命題是四個均值不等式中的一個，均值不等式是高中學習的內容，為了讓初中學生理解并能接受這個不等式，材料給出了證明過程.目的在于讓學生理解這個命題，并能應用這個命題解決有關問題.

“問題解決”部分的材料取自生產實際，把物理學科中的機械知識巧妙地融合到數學學科中.

函數是典型的數學模型，生活中的很多問題都可以通過建立函數模型，利用函數的性質進行解決.在學生學習了二次函數的有關知識后，可引導學生嘗試解決本案例.

（2）題意分析

教學中，學生通過閱讀“問題解決”部分的題意，明確下面兩個問題是解決問題的關鍵：

（1）通風窗是一個矩形MNGH，它可以在設施的下面部分（等腰梯形ABCD），也可以在上面部分（半圓），至于在哪一部分取決于x與1的大小.

（2）當滑動伸縮橫桿MN處于DC的位置時，通風窗處于關閉狀態.

①當MN向下滑動時，通風窗在下面（見圖1①），根據AB，CD之間的距離為1米，可判斷出MN向下最多可以滑動1米到達AB，此時通風窗的面積是個定值2.

②當MN向上滑動時，通風窗在上面（見圖1②），根據CD長是3米，可知上面半圓的半徑為1.5米，所以MN向上最多可以滑動2.5米，此時通風窗的面積是0.

“問題解決”部分為了避開這兩個極端情況，給定了限制條件“0≤x＜52且x≠1”，于是提出問題（1）.在解答問題（1）時，需要分0≤x＜1和1lt;x＜52兩種情況求出S與x的函數表達式.問題（2）是在問題（1）的基礎上進行解答，解答時需要對上面兩種情況下對應的函數表達式分別求出最大值.

（3）解答過程

（1）分兩種情況討論：

①當0≤x＜1時，如圖2，過A作AF⊥CD，垂足為F.由Rt△DHM∽Rt△DFA得

DHDF=MHAF，DF=12，MH=1-x，AF=1，所以DH=12（1-x），所以GH=3-2DH=x+2，

從而S=MH·GH=（1-x）（x+2）=-x²-x+2（0≤x＜1）.

②當1＜x＜52時，如圖3，因為EF=x-1，EN=32，FN=94－（x－1）2，HG=2FN=294－（x-1）2.

所以S=EF·HG=2（x-1）94－（x-1）2.

因此，S與x之間的函數表達式為S=-x2-x+2，（0≤x≤1），

2（x-1）94-（x-1）2，（1＜x＜52）.

（2）S=-x²-x+2是開口向下的拋物圖4線，頂點坐標為（-12，94），但因為是實際問題，題目限制了條件（0≤x＜1），所以S=-x²-x+2的圖象只能是圖4中實線部分，即拋物線在第一象限的部分，而且與x軸不能相交（圖4中交點是個圓圈）.根據二次函數的性質，可知S隨x的增大而減小，由此可以得到S=-x²-x+2在x=0時，達到最大值2.

對于S=2（x-1）94－（x-1）2來說，根據“均值不等式”可得，當x-1=94－（x-1）2，

即x=324+1時，S取得最大值94.

綜上所述，當MN與AB之間的距離x=324+1米時，通風窗的通風面積S取得最大值94.

3 素養分析

（1）幾何直觀

《課標（2022年版）》認為“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”^[1]8.幾何直觀不僅能為學生學習幾何知識、進行幾何探究與推理提供便利，而且能為學生理解與洞察其他更為抽象的數學內容與結構搭建橋梁，幾何直觀是啟發問題解決思路的基本策略.

就本題而言，幾何直觀能幫助我們探索解決問題的思路，主要表現在兩個方面：

一是求S與x的函數表達式.在求表達式時，需要分為0≤x＜1和1＜x＜52兩種情況.由于自變量分為兩種情況，所以我們就能相應的畫出通風窗的兩種位置：前者通風窗在下面，如圖2所示;后者通風窗在上面，如圖3所示.這是正確解答問題（1）的基礎.

二是求通風面積的最大面積.在確定通風面積的最大值時分兩步：首先求出通風窗在下面和在上面對應通風窗面積的最大值，然后通過比較確定出通風面積的最大值.

通風窗在下面時，對應函數表達式S=-x²-x+2的最大值為2，解答是借助于函數圖象得到的（圖4），在得到結果的過程中“形”起了很大的作用.

教學時，為了讓學生充分感悟幾何直觀的意義，當通風窗口在下面（圖3）得到S=（1-x）（x+2）后，可引導學生用材料給定的方法確定x取何值時，S取最大值.過程如下：

①S=（1-x）（x+2）=2·1－x2（x+2），當1－x2=x+2，即x=-1時，S達到最大值2.

②S=（1-x）（x+2）=2（1－x）x+22，當1－x=x+22，即x=0時，S達到最大值2.

由于是實際問題，x=-1不符合題意，這是用代數的方法得到的結果.如何從“形”的方面驗證這個情況呢？

如果不考慮實際意義的話，S=-x²-x+2的圖象是圖4中的拋物線（含虛線部分），當函數值S=2時，對應的自變量有兩個值，分別是x=0或x=-1.但此時x=-1不符合實際問題的題意，應舍去.

補充上這個過程，不僅讓學生利用到“閱讀材料”中給定的命題，而且還能幫助學生進一步理解“數形”的聯系，把握“數形”的統一，增強幾何直觀.

（2）應用意識

《課標（2022年版）》指出“應用意識主要是指有意識的利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題”^[1]10.教學中應結合具體學習內容，適當的設計一些實際問題，引導學生用所學數學知識加以解決，讓學生“能夠感悟現實生活中蘊含著大量的與數量和圖形有關的問題，可以用數學的方法予以解決”^[1]10，這是培養學生應用意識的有效途徑.

本題取材于生活、生產中的真實問題，學生在解決的過程中用到了很多數學知識，在利用這些知識解答本題的同時，一方面鞏固了學生對這些知識的理解程度，另一方面也增強了學生的應用意識.

（3）抽象能力

《課標（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力”^[1]8.抽象能力是重要核心素養表現之一，我們知道，數學概念的學習有助于發展學生的抽象能力，另外，在問題解決中感悟數學的通性也是培養學生抽象能力的重要途徑.

在解答第（1）問的過程中，學生根據題意，利用幾何直觀分兩種情況建立S與x函數表達式的過程就是抽象能力的具體表現.實際上，建立表達式的過程需要學生具有較強的抽象能力，同時也促進了抽象能力的進一步提高.

（4）運算能力

數學學習的過程一刻也離不開數學運算，運算能力就是學生根據法則和運算律進行運算的過程中逐漸培養起來的能力.

本題要求學生解答的兩個問題，都離不開學生的數學運算能力，如果沒有比較強的數學運算能力，很難正確的解答本題.反之，學生通過解答本題一定程度上也提高了學生的運算能力.

（5）推理能力

推理能力是重要核心素養表現，代數運算過程本質上就是推理.本案例提供的閱讀材料就是通過嚴格的論證過程得到的.

在解答“問題解決”部分的兩個問題時，都離不開數學推理，學生在進行數學推理的過程中進一步提高了推理能力.

（6）模型觀念

模型觀念是在學生反復通過建立數學模型解決問題的過程中形成的一種自覺意識.從數學觀念層面看，本題主要在于培養學生的模型觀念.

本案例屬于典型的建立二次函數模型解決實際問題的案例，它將引導學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程.

在初中學段，綜合與實踐活動的內容將以項目式學習展開，教學時應結合學習內容，在現實生活中尋找、發現、設計有價值的問題，引導學生綜合運用數與代數、圖形與幾何、統計與概率的有關知識加以解決，在解決的過程中鞏固對有關數學知識的理解，提高學生的抽象能力、運算能力、推理能力，發展學生的模型思想，增強模型觀念和應用意識等核心素養.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：7.

[2]孫宇.以平面幾何為背景的江蘇中高考應用題分析[J].文理導航（中旬），2020（3）：15-16.

作者簡介 韓成云（1976—），女，江蘇宿遷人，中學高級教師，宿遷市學科帶頭人，江蘇省優秀教育工作者；主要研究方向為大概念引領下初中數學教學與實踐.