根號(hào)的古往今來(lái)及其在教學(xué)中的文化滲透*

摘要：數(shù)學(xué)符號(hào)在精確表達(dá)數(shù)學(xué)概念、方法和邏輯關(guān)系中具有重要作用.根號(hào)符號(hào)作為數(shù)學(xué)符號(hào)的代表性成果之一，經(jīng)歷了根號(hào)符號(hào)從古埃及、阿拉伯到歐洲數(shù)學(xué)界的演變過(guò)程，可以概括為四個(gè)主要發(fā)展階段.基于此探討了如何將根號(hào)的發(fā)展融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，以培養(yǎng)學(xué)生的歷史意識(shí)和批判性思維.數(shù)學(xué)符號(hào)不僅是科學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，也是人類智慧和抽象思維的進(jìn)步體現(xiàn)，學(xué)習(xí)其發(fā)展史對(duì)學(xué)生理解和熱愛(ài)數(shù)學(xué)至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞：根號(hào)；發(fā)展史；數(shù)學(xué)教學(xué)；文化滲透

德國(guó)哲學(xué)家卡西爾（E.Cassirer）將人定義為符號(hào)的動(dòng)物.他指出，符號(hào)化的思維和符號(hào)化的行為是人類生活的代表性特征之一.［1］同樣，數(shù)學(xué)符號(hào)的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)誕生與發(fā)展的關(guān)鍵標(biāo)志.正如德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（F.C.Klein）所說(shuō)：“如果沒(méi)有專門的符號(hào)和公式，簡(jiǎn)直就不可能有現(xiàn)代數(shù)學(xué).”［2］使用符號(hào)代替文字?jǐn)⑹觯菙?shù)學(xué)的一大特征，數(shù)學(xué)符號(hào)以其簡(jiǎn)潔、優(yōu)雅、和諧和獨(dú)特性展現(xiàn)出藝術(shù)與科學(xué)的雙重美感.數(shù)學(xué)符號(hào)的演化史是一部引人入勝的史詩(shī)，根號(hào)符號(hào)亦是如此，根號(hào)的表示方式主要經(jīng)歷了四個(gè)發(fā)展階段，基本符號(hào)分別為、l、√以及分?jǐn)?shù)指數(shù).

1早期形式與符號(hào)“”

根號(hào)符號(hào)在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期就出現(xiàn)了.平方根的符號(hào)“”出現(xiàn)在埃及卡洪城的兩張紙草書上，分別在英國(guó)埃及學(xué)家格里菲斯（F.L.Griffith）以及德國(guó)學(xué)者沙克沙肯堡（H.SchackSchackenburg）的文章中論及.［3］

9世紀(jì)，花剌子模（AlKhwarizmi）在其代數(shù)學(xué)著作中較系統(tǒng)地討論了二次方程解法，他將二次項(xiàng)（x2）視為主要的未知數(shù)，用阿拉伯語(yǔ)“māl”表示，一次項(xiàng)（x）則被認(rèn)為是“māl”的平方根，被稱作“jidhr”.阿拉伯語(yǔ)中的“jidhr”原意為樹(shù)根、基礎(chǔ)或根本.［4］

12世紀(jì)初，許多阿拉伯文著作被翻譯成拉丁文，譯者使用拉丁詞“radix”對(duì)應(yīng)阿拉伯語(yǔ)的“jidhr”.“radix”原本也意指樹(shù)根或事物的根基.

符號(hào)“”首次出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)家、教育家?guī)鞝柎模∕.Curtze）的歐幾里得《幾何原本》拉丁文譯本第十卷的注釋之中，“radix”表示“平方根”.后來(lái)，符號(hào)“”被廣泛地用于表示“根”，但偶爾也用于表示未知量x的一次冪.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci）的算術(shù)著作和意大利數(shù)學(xué)家盧卡·帕喬利（L.Pacioli）的《算術(shù)、幾何、比及比例概要》中曾既用“”表示“未知數(shù)”，又表示“平方根”.

在被稱為“德累斯頓手稿C.80”的德文手稿中，有一個(gè)由小寫字母組成的帶有花體筆畫的符號(hào)（如圖1），被一些學(xué)者解讀為在字母r上多加一個(gè)筆畫.捷克數(shù)學(xué)家維德曼（Widman）1489年的算術(shù)著作中出現(xiàn)了“”和縮寫形式“ra”.

1556年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞（N.Tartaglia）廣泛使用了“”，同時(shí)還使用括號(hào)輔助表達(dá).1575年，意大利數(shù)學(xué)家莫羅利庫(kù)斯（F.Maurolico）在其1575年的《數(shù)學(xué)作品集》中用“r.18”表示“18”.可見(jiàn)在16世紀(jì)的意大利，符號(hào)“”已被廣泛使用.

雖然直到17世紀(jì)末，一些著作中“”依然被使用，如1690年維塔利斯（H.Vitali）在其文章《代數(shù)》中用“R2”表示立方根，但使“”逐漸失去其主流地位，取而代之的是符號(hào)“√”的普遍流行.

2符號(hào)“l(fā)”

公元2世紀(jì)，羅馬測(cè)量員尼普蘇斯（J.Nipsus）在數(shù)學(xué)中引入拉丁文“l(fā)atus”表示根號(hào).法國(guó)教育改革者拉姆斯（P.Ramus）用符號(hào)“l(fā)”表示根號(hào)，如“l(fā)27adl12”為“l(fā)75”，即27+12=75.

舍納（L.Schoner）1592年的《算術(shù)兩卷和代數(shù)學(xué)兩卷》中，用“l(fā)c4”表示34，這種寫法代替了拉姆斯的“l(fā)l5.”.

值得注意的是，舍納賦予了“l(fā)”更廣泛的含義，即“5l”和“l(fā)5”分別表示“5x”和“5”.當(dāng)“l(fā)”后面沒(méi)有數(shù)字時(shí)，“l(fā)”代表未知量的一次冪.法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Vieta）也使用拉姆斯的符號(hào)“l(fā)”，他不傾向于用“”或“√”來(lái)表示根.1624年，英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯（H.Briggs）分別用l、l（3）、ll表示平方根、立方根和四次方根，但這種在根式運(yùn)算中使用字母“l(fā)”的做法從未廣泛流行.在發(fā)明對(duì)數(shù)后，“l(fā)”被用于表示對(duì)數(shù).

3符號(hào)“√”

符號(hào)“√”起源于德國(guó).18世紀(jì)有些學(xué)者，如瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）猜想“√”是字母“r”的變體，即“radix”的首字母.后來(lái)通過(guò)對(duì)德文代數(shù)學(xué)手稿更為細(xì)致的研究，證明并不是這樣.原來(lái)德國(guó)人在1480年前后，用一個(gè)點(diǎn)“·”來(lái)表示平方根［5］，以下四部代數(shù)學(xué)手稿為該問(wèn)題的研究提供了依據(jù).

最古老的一部手稿現(xiàn)藏于德累斯頓圖書館，收錄在代數(shù)學(xué)論文手稿集中.［6］其中一篇約寫于1480年的拉丁文手稿中，使用點(diǎn)號(hào)來(lái)表示開(kāi)方，在被開(kāi)方數(shù)字前加一個(gè)點(diǎn)（.）表示平方根，兩個(gè)點(diǎn)（..）表示平方根的平方根，三個(gè)點(diǎn)（...）表示立方根，四個(gè)點(diǎn)（....）表示立方根的立方根或九次方根.

第二部手稿是維也納MS第5277號(hào)文件，其中可以找到“通過(guò)點(diǎn)理解根”的表述，但實(shí)際上手稿中并沒(méi)有用點(diǎn)來(lái)表示根.

第三部手稿即哥廷根抄本Philos.30，是載于《代數(shù)學(xué)入門》的拉丁文信件，約寫于1524年之前.其中根的符號(hào)使用小點(diǎn)帶上一條尾巴變成，可能是寫快時(shí)帶上的，后面跟著一個(gè)表示根指數(shù)的符號(hào)，如表示平方根，ce表示立方根.

第四部手稿由里斯（A.Riese）1524年據(jù)第一部手稿編寫，1892年印刷.對(duì)根號(hào)的表示，盡管出現(xiàn)了“點(diǎn)”這個(gè)詞，但里斯使用的是帶有筆畫的點(diǎn).

通過(guò)對(duì)四部手稿的研究，表明點(diǎn)作為一種符號(hào)與開(kāi)方運(yùn)算有關(guān).第一部手稿中，點(diǎn)實(shí)際上是作為根號(hào)出現(xiàn)的.第二部手稿中，點(diǎn)雖然沒(méi)有作為符號(hào)出現(xiàn)，但在正文中有所提及.第三和第四部手稿中，純粹的點(diǎn)并未出現(xiàn)在表示根的符號(hào)中，而是使用了附有筆畫或尾巴的點(diǎn).但問(wèn)題是，代數(shù)符號(hào)“√”是否起源于點(diǎn).近年來(lái)的德國(guó)學(xué)者贊成這種觀點(diǎn)，但證據(jù)并不確鑿.

在魯?shù)婪驎r(shí)代之后，根號(hào)“√”主要表示根指數(shù)、二重根式或多重根式的復(fù)合.荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文（S.Stevin）將帶圓圈的數(shù)字3放在“√”后面，即“√③”表示立方根，這種使用數(shù)字的方法雖得到公認(rèn)，但未被普遍采用.一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，關(guān)于數(shù)字相對(duì)于“√”的確切位置，一直存在著很大的分歧.

1637年，通用的根號(hào)得以確立.法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes）的《幾何學(xué)》不僅創(chuàng)立了解析幾何［7］，而且為現(xiàn)代根號(hào)符號(hào)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).該著作中寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作a2+b2，如果想求a3-b3+abb的立方根，則寫作c.a3-b3+abb.”［8］

笛卡兒改進(jìn)了魯?shù)婪颉⑺沟傥乃褂玫摹啊獭保谄渖戏教砑恿艘粋€(gè)括線“—”，即用“”表示平方根，從而創(chuàng)造了表示平方根的便捷新符號(hào).［9］

根號(hào)√和括線的這種組合深受人們的喜愛(ài)，到現(xiàn)在其依然在數(shù)學(xué)書籍中占據(jù)著重要的地位.

在中國(guó)，李善蘭在翻譯西方數(shù)學(xué)書籍時(shí)首次將根號(hào)“”引入中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn).隨后，在1896年出版的《代數(shù)備旨》中，根號(hào)“”被進(jìn)一步使用和普及.

4分?jǐn)?shù)指數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)最早出現(xiàn)在法國(guó)人奧雷斯姆（N.Oresme）的《比例算法》中，他把212寫作2122p.［10］

西方最早完整地提出分?jǐn)?shù)指數(shù)的是英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis）.1655年，沃利斯在其《無(wú)窮算術(shù)》中指出“‘平方根倒數(shù)’的數(shù)列11，12，13，…的指數(shù)是-12”［11］，即用數(shù)字表示根（分?jǐn)?shù)）指數(shù).這是一個(gè)巨大的進(jìn)步，不過(guò)沃利斯并沒(méi)有真正使用2-1、2-12的指數(shù)符號(hào)，只是說(shuō)14、12的指數(shù)是-2和-12.［12］

現(xiàn)行的分?jǐn)?shù)指數(shù)符號(hào)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（I.Newton）創(chuàng)立的.1676年，牛頓在致倫敦皇家學(xué)會(huì)秘書長(zhǎng)奧爾登堡（H.Oldenburg）的信中提到這一符號(hào)，說(shuō)道：“因?yàn)榇鷶?shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa寫成a2，a3，a4，所以我將a，a3，c·a5寫成a12，a32，a53；又將1a，1aa，1aaa寫成a-1，a-2，a-3，將aac·a3+bbx寫成aa×（c·a3+bbx）-12.”［13］

牛頓1761年的《通用算術(shù)》（卡斯蒂利亞版）中也有這個(gè)符號(hào).此外，歐拉在1774年也使用了這種分?jǐn)?shù)指數(shù)的表示方法.

回顧根號(hào)“”的使用，盡管笛卡兒在完善根號(hào)符號(hào)方面做出了巨大貢獻(xiàn)，但他錯(cuò)過(guò)了一個(gè)做出更大貢獻(xiàn)的絕佳機(jī)會(huì).如果笛卡兒不是通過(guò)在“√”上添加括線來(lái)擴(kuò)展它的應(yīng)用，而是完全拋棄根號(hào)，同時(shí)引入分?jǐn)?shù)指數(shù)的符號(hào)，那么可以預(yù)見(jiàn)，根號(hào)的進(jìn)一步使用將會(huì)受阻并被遏制，像b34和4b3這樣表示重復(fù)含義的符號(hào)會(huì)被避免，一代又一代的學(xué)生就不必掌握兩種困難的運(yùn)算符號(hào)，而只需用分?jǐn)?shù)指數(shù)符號(hào)就可以達(dá)到運(yùn)算目的.但笛卡兒錯(cuò)過(guò)了這個(gè)機(jī)會(huì)，后來(lái)的牛頓也是如此，盡管他引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)的符號(hào)，但他依然保留并使用了根號(hào).

5教學(xué)中的文化滲透

在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透和融入根號(hào)符號(hào)的發(fā)展歷史可以通過(guò)以下三種方式進(jìn)行.

5.1故事講述法

教師進(jìn)行無(wú)理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)以及教學(xué)實(shí)踐中，可以通過(guò)講述根號(hào)符號(hào)的歷史故事來(lái)吸引學(xué)生的注意力.在介紹根號(hào)的基本運(yùn)算之前，用幾分鐘時(shí)間概述根號(hào)符號(hào)的起源和發(fā)展，讓學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個(gè)文化和歷史的背景認(rèn)識(shí).例如，從古埃及的紙草書到阿拉伯的代數(shù)學(xué)，再到歐洲的數(shù)學(xué)家如何逐步發(fā)展和完善根號(hào)符號(hào)，這些故事可以幫助學(xué)生理解符號(hào)的演變過(guò)程，并且激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)歷史的興趣.

5.2歷史與現(xiàn)代結(jié)合法

教師在講解根號(hào)的現(xiàn)代應(yīng)用時(shí)，可以穿插介紹歷史上的數(shù)學(xué)家是如何使用不同的符號(hào)來(lái)解決類似問(wèn)題的.例如，教師可以展示沃利斯是如何使用分?jǐn)?shù)指數(shù)來(lái)表示根號(hào)的.通過(guò)對(duì)比歷史方法和現(xiàn)代方法，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展和演變，以及現(xiàn)代符號(hào)的優(yōu)越性，更深刻地理解現(xiàn)代根號(hào)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性和表達(dá)的精確性，也能夠鍛煉他們的批判性思維能力.

5.3實(shí)踐活動(dòng)法

教師可以設(shè)計(jì)一些實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生使用歷史上的根號(hào)符號(hào)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，如使用“”或“l(fā)”來(lái)表示根號(hào)，并讓他們嘗試用這些古老的符號(hào)來(lái)解決現(xiàn)代問(wèn)題.通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生可以親身體驗(yàn)歷史上的數(shù)學(xué)家是如何思考和解決問(wèn)題的，這種體驗(yàn)可以幫助他們更深入地理解數(shù)學(xué)符號(hào)的重要性和實(shí)用性，體會(huì)根號(hào)的發(fā)展演變是數(shù)學(xué)家集體智慧的結(jié)晶.

6結(jié)語(yǔ)

歷史上首位數(shù)學(xué)史教授弗洛里安·卡約黎（F.Cajori）曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史構(gòu)成了數(shù)學(xué)過(guò)去和現(xiàn)在狀況的一面鏡子，可以用來(lái)解決數(shù)學(xué)現(xiàn)在面臨的符號(hào)問(wèn)題.”［14］數(shù)學(xué)符號(hào)，尤其是根號(hào)的演變史，見(jiàn)證了人類智慧的進(jìn)步和數(shù)學(xué)抽象思維的不斷深化.數(shù)學(xué)符號(hào)以其獨(dú)特的形式和內(nèi)涵，承載了數(shù)學(xué)的邏輯之美.將根號(hào)的發(fā)展歷程融入教學(xué)，不僅能夠傳授知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生的歷史意識(shí)、文化素養(yǎng)和批判性思維，使他們更加全面地理解數(shù)學(xué)和其在人類文明中的作用.數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展史是一部人類智慧的變遷史，它不僅記錄了數(shù)學(xué)的過(guò)去，也照亮了數(shù)學(xué)的未來(lái).通過(guò)學(xué)習(xí)和理解符號(hào)的演變，能更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，并為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展貢獻(xiàn)力量.

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*基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古自治區(qū)博士研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目“中國(guó)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史研究（1880—1949）”（項(xiàng)目編號(hào)：B20231055Z）；內(nèi)蒙古師范大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目“中國(guó)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史研究（1880—1949）”（項(xiàng)目編號(hào)：2022JBXC019）.