核心素養視域下三角形輔助線構造的教學研究

摘要：三角形是學生學習幾何知識中的重點內容，只有理解了輔助線構造全等三角形部分的知識，才能夠更好地理解幾何的本質，逐漸培養數學核心素養.然而，當前學生在三角形的證明問題上還存在一些困難，對于一些較為復雜的問題了解程度不足，不能夠調動綜合思維解決問題，這體現出學生數學核心素養方面的不足之處.因此，對于需要輔助線的三角形證明問題，教師要注重給學生總結規律，讓學生了解輔助線的具體作法，讓整個證明思路更加清晰、明確.

關鍵詞：核心素養；輔助線；構造全等三角形

學生數學核心素養的提升，不僅要求學生掌握具體的知識點，而且要求提升他們的學習能力.本文將輔助線構造全等三角形與數學核心素養的培養相互融合，利用相應的教學設計和教學案例，讓學生的數學核心素養得到提升，也促進教學創新，將知識點更加清晰地展示出來.輔助線構造全等三角形對于學生的能力提出了更高的要求，不僅需要學生掌握三角形部分的知識點，還要求學生能夠將這些知識點綜合運用好，在舉一反三中加深對平面幾何本質的理解.教師也要在教學中堅持以學生為中心的原則，讓學生及時查漏補缺，在學習不熟悉的知識點時及時填補漏洞，逐漸豐富數學知識儲備.

1構造旋轉型全等三角形

旋轉型全等三角形的概念需要教師在課堂上對學生進行講解，主要是指在一個三角形內部，將這個三角形圍繞著平面內部的一個點來旋轉，將這個旋轉的角度控制在0°到180°之間，得到一個新的三角形，此時就可以將這兩個三角形看作是一對旋轉型全等三角形.對這兩個三角形進行研究，可以發現它們的對應點到旋轉中心的距離一樣.現在如果將對應點和旋轉中心連成一條線段，這個產生出來的夾角就是旋轉角.

經過小學和中學的學習后，學生對于平面圖形的旋轉已經具備了一定的理解.旋轉圖形是考試中很容易出現的一類題目，相對而言難度也不是非常大.學生要正確地看待圖形的旋轉，知道在旋轉中，有一些因素發生了改變，但是也有一些因素沒有發生改變，與原本的情況相同.考慮到因為旋轉角度發生了一些變化，特殊情況也就需要特殊考慮，將特殊的三角形納入考量范疇中，利用一些特殊三角形配合旋轉型全等三角形來解決問題，在此之中有很多變化類型需要學生了解.［1］在學習中，學生需要注意的旋轉知識點包括旋轉的方向、旋轉的角度、旋轉的中心點以及旋轉后得到的邊，這些和原本圖形相比，都是不會發生變化的因素，對于解決某些問題有很大幫助.對應點和旋轉中心之間存在著一些數量關系，將兩者用線段連接起來，就會在它們之間產生一個夾角，這個夾角的大小與旋轉角的大小相等.將三角形的某個頂點作為旋轉中心時，這個旋轉中心就與三角形的某個頂點相互重合，與其他兩個點一起構成了完整的三角形.原本的邊長經過旋轉后，與之后的邊長相比，大小并不會發生變化，所以根據這個性質進行推導，兩條邊之間的旋轉角就可以看作是等腰三角形的頂角.當旋轉了90°時，這個等腰三角形也是一個直角三角形，即為等腰直角三角形.當學生在面對以上條件出現的問題時，從中迅速找到等腰三角形、正方形，以此來進行反向思考，構造旋轉型全等三角形，并將其劃分為具體的三個類別（如圖1），比較它們的旋轉角與旋轉頂角的大小.

例題如圖2所示，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉β至AC′（0°lt;αlt;180°，0°lt;βlt;180°），得到△AB′C′，∠BAC+∠B′AC′=180°，請證明：S△ABC=S△AB′C′.

構造思路：根據材料中給出的有效信息，經過提取后可以發現一個新的概念，那就是旋補三角形，將其用數學符號表達出來，可以得到AB=AB′，AC=AC′，∠BAC+∠B′AC′=180°.通過各種手段，將△ABC≌△AB′C′這個條件證實，或者在不能夠滿足前者的條件下，退而求其次地證明△ABC與△AB′C′同底等高或者同高等底，最終也可以達到目標，得到S△ABC=S△AB′C′.學生根據對旋轉知識點的理解，知道邊長的對應關系可以拿來當條件使用，AB=AB′，AC=AC′，條件已經給出∠BAC+∠B′AC′=180°，當∠BAC=∠B′AC′=90°時，有α=β=90°，會有△ABC≌△AB′C′且S△ABC=S△AB′C′.只要保證∠BAC+∠B′AC′=180°就有S△ABC=S△AB′C′.采用等量代換的方法，明確S△ABC=S△AB′C′，然后通過旋轉來引入兩個等腰三角形，反向延長AB′至點E，證得△ABC≌△AEC′.△AEC′與△AB′C′同高等底，即有S△ABC=S△AEC′=S△AB′C′.

2構造中心對稱型全等三角形

與剛才探究的幾何知識相比，中心對稱型全等三角形具有特殊性，可以被當作是一種特例.數學教師將其單獨地歸納出來，有利于學生思考其中隱含的條件變量.［2］學生可以發現當旋轉圖形后，變成了常見的全等變換；當將旋轉角度設置為180°，就會圍繞一個中心對稱進行旋轉.當學生面對此類問題時，首先必然存在一個原本的△ABC，然后將這個原本的三角形繞平面內某一點旋轉180°，得到△A′B′C′，這樣就可以將△A′B′C′視為是△ABC的對稱型全等三角形，兩者存在著對應關系.旋轉后出現的兩個三角形有密切的聯系，它們的對應邊是平行的關系，并且邊長相等.

中心對稱型全等三角形的變化過程需要得到學生的關注，其定義和性質也就更加容易被學生判斷，存在中點、對頂角，平行也是很特殊的條件.當學生發現在試卷題目中有著相等線段、中線、對頂角等關鍵詞或者符號時，就可以和這個中心對稱型全等三角形的知識聯系起來，作等長或者是平行的輔助線，將圖形更好地還原出來.［3］在操作后可以直觀地看到，選擇的這個中點或者頂點就變成了對稱中心點，以此為中心就可以構造出對稱型三角形.在還原成為初始的狀態后，應該畫輔助線的地方也就自然而然地浮現在學生的眼前，學生就可以按照對稱中心點來將不同的情況分別討論（如圖3）.

例題已知△ABC是等邊三角形，點D是射線AB上的一個動點，延長BC至點E，使CE=AD，連接DE交射線AC于點F.

（1）如圖4所示，當點D在線段AB上時，思考CF與BD的關系.

（2）如圖5所示，當點D在線段AB的延長線上時，思考CF與BD的數量關系是否仍然成立.

構造思路：要先結合一定的有效條件，找到CF和BD之間的數量關系，然后以此作為突進下一個部分的重要環節，在已知目標線段后，才能夠將兩個目標線段放在同一個直線上去進行分析.

再次對各個條件進行分析，在前面的已知條件中已經給出了CE=AD這個有用的要素，所以CE和AD就不會在同一個三角形內部，這對于全等條件有很大幫助.教師和學生都對線段進行轉化，找到題目中其他可以使用的條件.對線段的部分進行轉化，明確△ABC為等邊三角形，就可以得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，過點D作DG∥BC交AC于點G，△ADG也是等邊三角形，就這樣將線段關系成功地轉化了出來，可得BD=CG.再經過推導，最終可以證得△ECF≌△DGF，證得2CF=BD.在完成問題（1）的解答后，問題（2）也就迎刃而解，通過相似的原理和步驟，基于同樣的思路來解決問題.

3構造軸對稱型全等三角形

軸對稱型全等三角形的概念也需要教師來給學生講解.在某個平面中，畫出一個三角形，將這個畫好的三角形沿著某條直線翻折180°，得到一個新的三角形.將這兩個三角形看作是一對軸對稱型全等三角形，對于解決某些特定問題有很大幫助.如果已知條件中已經給學生提供了對稱軸，那就可以表明垂線、角平分線等線段已經存在.在等腰三角形中，因為三線合一的知識點，很多時候都需要學生將對稱軸補齊，才能夠成功地構造出軸對稱型全等三角形.在部分圖形中，因為對稱軸這個要素不夠明晰，所以垂直平分這個重要條件也就隱藏在圖形的內部，需要學生正確地添加對稱軸，才能夠更好地解決某類問題.

可以將軸對稱型全等三角形主要分為五種類型（如圖6）.與之前所學習的概念進行對比，學生會發現知識之間的互通之處.中心對稱與軸對稱都屬于對稱.學生經過觀察和比較后，就能夠提升對平面圖形的想象能力，將它們正確地區分開，不至于混淆.雖然在具體的應用中并不完全相同，但是可以被納入同一個模型中去考查.

例題如圖7所示，在銳角三角形ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上的動點，連接BE交直線CD于點F.若ABgt;AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數.

構造思路：從這個問題來進行考查，需要明確地知道這個角的度數，此時并不能夠從結論中反推出一些有效信息，所以并不能通過綜合法來解決問題.綜合已有條件，題目中只給出了∠A的確切度數，需要計算的∠CFE的度數會與∠A之間存在著某些聯系，可能與∠A互余，也可能與∠A互補，所以思考的重點就是要將兩者之間建立起聯系，才能夠從一個角的度數中計算出另一個角的度數.四邊形內角和、鄰補角、對頂角、三角形內角和等都可以被使用在這個題目中，以此來實現角之間的轉化，最終證得∠CFE與∠A相等.

4構造平移型全等三角形

在平移型全等三角形中，需要學生回憶起比較簡單的平移知識，將某個三角形按照某個方向移動一些距離，在平移后得到一個新的三角形.學生聯系熟悉的知識，即這兩個三角形經過平移后得到，相應的點也都處于同樣一條直線上.平行和相等是需要重點關注的部分，通過截取線段的方法，平移型全等三角形就可以被構造出來.因為平移和旋轉、中心對稱等相比更為簡單，所以該部分知識的考查對于學生而言并不是非常困難，只要關注一些特定的題型，大部分學生都可以順利地解決問題.以下是兩種情況（如圖8），學生注意區分不同的條件，找到解決問題的側重點.

例題如圖9所示，在△ABC中，D，E在邊BC上，且BD=EC.求證：AB+ACgt;AD+AE.

構造思路：要證明AB+ACgt;AD+AE，經過轉化后，將△AEC平移到△A′BD的位置（點A向左平移|BE|的距離得到點A′），△AEC≌△A′BD，最終即可完成證明.

5結語

核心素養是教師在教學中需要重點關注的地方，也是貫徹落實新課程標準的必要途徑，對于學生解題能力的提升有很大幫助.從平面幾何的角度來進行教學研究，優化教學設計，可以發現全等三角形之間的知識點互相連通，都需要學生首先熟練掌握全等三角形的知識，然后在此基礎上進一步拓展思維，將基礎知識逐漸轉化為更加復雜的知識，最后在考試和證明題目中靈活運用.教師引導學生添設輔助線，增添已知條件，解決數學試卷上的題目.對于數學核心素養的培養和構造全等三角形的知識點，教師也要進一步加強理論研究，明確兩者之間的密切聯系，為學生提供高質量的課堂教學.

參考文獻

［1］劉海燕.基于數學抽象思維的初中數學解題教學策略——以探索三角形全等條件為例［J］.數理天地（初中版），2024（21）：50-51.

［2］涂椿仙.初中數學核心素養中數學抽象的應用及解題技巧——以“探索三角形全等條件”為例［J］.數理化解題研究，2024（23）：42-44.

［3］楚立軍.聚焦課堂交流提升核心素養——以“等腰三角形的軸對稱性”教學為例［J］.數學教學通訊，2024（20）：41-43.