深度學習視域下高中圓錐曲線教學設計研究*

摘要：培養學生數學核心素養是高中數學課程的總目標，圓錐曲線教學尚未達到新課標的目標要求.深度學習對于改變教師教學理念，培養學生批判性思維，落實數學核心素養的培養，達到課程改革的新要求有著十分重要的作用.因此，基于深度學習的高中圓錐曲線教學有助于實現新課標提出的發展數學核心素養等要求.

關鍵詞：深度學習；數學核心素養；圓錐曲線；教學設計

在高中數學課程體系中，圓錐曲線部分堪稱難題，隨著知識量的增加，學生愈發在概念上感到困惑.基于深度學習制定的高中圓錐曲線教學計劃，能夠解決學生在掌握圓錐曲線內容時遭遇的難題，并有助于他們更深刻地理解圓錐曲線知識，實現《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）對學生數學核心素養的培養目標.本文探討了高中數學教材中關于圓錐曲線章節的資料，并分析了這些內容與學生日常生活的緊密聯系，旨在幫助教師從新的視角完善對圓錐曲線的教學方法.

1創設數學現實化情境，培養直觀想象素養

根據情境感知的基本理念及其相關性法則，筆者了解到圓錐曲線涉及的諸多概念與定理均極具抽象與形式化特質.因此，在教學過程中，教師應構建問題導向學習情境，利用此類情境作為支撐平臺，以促進學生更好地掌握數學知識.［1］深刻的知識吸收具有重要價值，學生應成為學習過程的主體，并通過參與各項實踐活動，親身經歷與感受，從而將所學知識內化為個人智慧.教師應善于捕捉數學實踐的精髓與深層意義，令數學的學習流程轉化為學生親身體驗、積極搭建以及充滿特色的研究旅程.在施教過程中，教師應巧妙地結合學生現有的生活閱歷，順應他們的知覺程度與成長所需，細心構建多元化的活動情境，幫助學生借由觀測、實操、概括、設想、推論等多種方式深刻感悟并掌握數學理念，以增進其學識體驗.在營造貼近現實的數學情境中，學生深刻感受圓錐曲線的三種路徑，并提升直觀想象力.

例如，在圓錐曲線的方程式單元開篇導入中，教師將水倒入一個密封的圓錐形器皿中，此時隨意調整其所在方位，帶領學生探究圓錐體被水平面截切后，生成的輪廓線都有哪些樣式.

通過一個未經過圓錐頂點的切面對圓錐進行切割，在切面與圓錐形成的角度θ和圓錐軸線切面頂點半角α的大小不一致時，切割線呈現出各異狀態（如圖1）.學生傾斜圓錐形玻璃使之展現圓形、橢圓形、雙曲線以及拋物線，這一實踐有助于他們深刻理解各類圓錐曲線的基本特性，為之后的教學打下基礎.

2設計性質相關問題鏈，培養邏輯推理素養

教師應遵循循序漸進的教學法則，利用問題鏈教學法，幫助學生深刻掌握圓錐曲線的幾何特征，并通過此過程提升學生的“四能”，進而實現數學核心素養的提升.深入挖掘數學概念之間的根本聯結，能夠有力地緩解學習內容零散的問題，并將各分離的知識點進行徹底融合，促進對圓錐曲線這一特定教學單元的完整搭建.［2］教師應對難以理解的理論進行詳細闡釋，并重點培養學生利用數學理論進行推理與問題處理的能力，使他們能夠憑借對現有知識及技巧的巧妙應用去掌握新的知識，從而增強學習能力.概念學習的核心在于通過形象地把握概念，鉆研其根本屬性，對概念進行深入挖掘.對于圓錐曲線的概念和定理部分，課程是以解題證明作為手段，激勵學生獨立探究和歸納相應的定理，最終促使新知識架構的構建.圓錐曲線的幾何特征探討主要通過方程式的應用來進行，同時采用圖形展示圓錐曲線以實現結果的驗證，其中融入了將數字和圖形相結合的教學理念.據此，筆者選取“橢圓及其標準方程”作為案例，研究通過多樣化的表示方法來安排及引導高中圓錐曲線知識復習的策略，旨在達成高效率課堂教學的構建目的.

教師構建與設計性質相關的問題序列，可以讓學生深刻把握圓錐曲線的幾何特征，并提升其邏輯推理能力.

例如，在探索“雙曲線的幾何性質”課題時，教師可以提出如下問題.

問題1請細察雙曲線的輪廓，其界限在圖示之中可否辨認？在雙曲線中，哪幾個位置的點具有獨特性？它是如何對稱的？

問題2仿照橢圓的圖形特征，結合視覺分析與數學形態，我們能推導出雙曲線方程x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）具備哪些屬性？

問題3利用橢圓幾何特征能夠繪制其簡圖，那么利用雙曲線的相似幾何特性，能否同樣繪出雙曲線的簡圖？

問題4在橢圓學習中我們會利用其平整度來描述其離心率，那么雙曲線的率心率如何描述？描述的方式是怎樣的呢？

問題5描述焦點位于y軸上的雙曲線的幾何特征.

3運用變式教學，培養數學運算素養

教師可以在學生掌握解題技巧之后，通過變式練習的方式來評價他們是否對圓錐曲線的核心概念有著透徹的理解.通過多樣化的延伸練習，持續轉換非關鍵因素，使學生領悟到關鍵因素的恒定性，以此來更加深入和靈敏地理解圓錐曲線的特性.在多樣化的教學過程中，教師的輔導有利于幫助學生熟悉和理解概念的形成以及相關規則，并且讓學生能夠嫻熟地運用各種計算技巧和公式，確保他們能準確無誤地應用這些公式進行計算.教師精心策劃的課堂教學各個階段，能夠有效提高學生對課堂學習的熱情和參與度.［3］教師可以通過對具體實例的分析，讓學生對概念的掌握和運用加以深化，幫助學生掌握并能夠總結一系列數學的解題技巧.融合視覺特性，通過運用幾何與數字相互融合的策略，并從多個視角出發，可以多方面促進學生理解能力的提升.

在教學過程中，教師可以引導學生總結問題解決的方法，并把這些解決方案應用于遇到的類似難題之中，以實現舉一反三的效果.筆者選取“橢圓”作為主題，探討如何將數學核心素養有效整合到知識架構內，旨在提升學生解決問題的技巧和思維能力.其中的關鍵點在于強調知識體系、探索知識根基，以激發學生的深層次思維等問題.缺乏數學概念的掌握，就難以構建起全面且有效的認知結構.因此，為了徹底實施深度學習，教師需瞄準關鍵問題，帶領學生循序漸進，逐級深入探究，以便逾越知識的表層，觸及其基礎原理.學生深入探究圓錐曲線的根本屬性，以增強數學計算的能力.

例題雙曲線x24-y212=1，經由其右側焦點F引出的直線與該雙曲線的右側部分相交于點A與點B，若AF=13FB，則AB的垂直平分線與x軸交點的橫坐標是（）.

A.20

B.10

C.12

D.18

解法1：先利用雙曲線的等式計算出焦點F的坐標，確定直線AB的表達式，之后令其與雙曲線的等式相結合，再利用AF=13FB及根與系數的關系，求出AB的中點坐標，由此推導出線段AB中垂線的表達式，最終通過計算此中垂線與x軸的交點來得知其橫坐標值即完成求解.

解法2：先確定點A與點B的位置參數，結合AF=13FB，利用向量的坐標表示求出兩點坐標之間的關系進行求解.此題目主要考查關于雙曲線的幾何特征、直線和雙曲線之間的相對位置以及向量的坐標表述.

變式雙曲線方程x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）兩焦點之間的距離為4，點A（0，b）與該雙曲線的任一條漸近線之間的最短距離是1.假設點P位于雙曲線的右側分支，且∠F1PF2=π3，那么該點P的橫坐標是.

深入分析直線與雙曲線的相互定位，輔導學生掌握解決幾何問題的關鍵所在，透過本質，奠定數量與圖形之間的聯系，體現出直觀感知與邏輯推理等核心素養.

4注重遷移應用的手段，培養數學抽象素養

想要讓學生深入掌握知識，就要挖掘本章節的內涵與所體現的數學理念，并發掘一種能在整個課程中持續使用的有邏輯性和連貫性的思維路徑.制作章節知識框架圖的過程中，需不斷評價所拆分的知識元素之間的邏輯連貫性及相互關系是否遭到破壞，并據此通過框架圖的詳細區分、恰當配置及排列來策劃各個章節的知識內容.

構筑深層次的知識架構時，對橢圓性質的探討既是基礎也是核心環節.在橢圓教學時，教師應促使學生通過模型構造的思維過程，無論是基本原理還是橢圓與直線部分的相互作用，均要確保他們掌握運用代數工具的能力，以此達成學習目標.對于雙曲線的學習過程，教師的任務僅限于進行類比指導.至于拋物線知識，學生則能夠獨立進行類比并應用坐標方法來解析問題.因此，本節課程的設計突出了其系統性與內在聯系，通過網絡型結構構建數學概念與技能，助力學生深入理解并全面把握章節內容及其思維方法.

例如，在講解“橢圓”相關內容前，教師指導學生對比圓的概念，從而推導出橢圓的定義和幾何屬性.教材在許多章節強調通過“類比”方法來構建關系、簡化方程式并掌握幾何屬性.這樣的設計實際上采納了類推遷移的思想，重視遷移技巧的應用，有助于深層次地塑造對圓錐曲線知識的理解，并促進數學抽象素養的發展.

5采用開放性拓展教學，培養數學建模素養

針對相近的實際情形問題，可以建立多樣化的范式并運用各異的模型構筑技術來實現解答.元認知理論認為僅靠死記硬背或模仿應用是不足以掌握知識的深層含義的.教師的角色在于促進學生對所學知識展開深層次的思考和質疑，以此深化對知識真諦的理解，指導學生進行圓錐曲線學習部分的梳理，包括章節主旨、相關知識要點，以及掌握答題技巧和方法.在探索知識的過程中，唯有持續地自我審視與反思，方能使學生由已掌握的知識向未探索的領域乃至新的認知領域邁進.掌握提出疑問的能力，是一項關鍵的教學技巧.對已掌握的知識和思維成果等方面持有懷疑態度，即為提出疑問.這是一項積極主動的思維活動，也體現了創新的行動模式.新課標強調了對學生進行“四能”的培養，因此在教學過程中，教師應當激發學生提問的積極性，并對此作出正面的反饋，從而增強教學效果，助力學生更全面的成長.深層次的學習過程高度重視內省，堅信只有依靠深思熟慮，才能引導學生的知識理解從記憶性層面提升至邏輯及含義的深度領悟.

6結語

本文進行了理論探討和說明，在此基礎上，運用了多種研究方法對當前高中生圓錐曲線的學習情況及教師教學現狀進行了詳盡考查，同時進一步就如何利用深度學習原理來優化圓錐曲線的教學策略進行了實證分析，旨在尋找切實可行的解決方案，以期提升學生對圓錐曲線概念的掌握程度，增進教學效果及教學質量，為高中數學圓錐曲線的教學實踐提供有益的指導和建議.

參考文獻

［1］安勇.深度學習視角下高中數學教學的優化策略探究［J］.數理化解題研究，2024（30）：41-43.

［2］陳根強.基于深度學習的圓錐曲線教學策略分析［J］.中學數學教學參考，2024（21）：11-12.

［3］趙大中.基于問題鏈思想與UbD理論的高中數學單元教學——以“圓錐曲線”教學為例［J］.新課程，2024（16）：135-137.

*基金項目：2023年度甘肅省教育科學“十四五”規劃課題“基于數學學科核心素養培養的空間立體幾何教學探究——以天水市第九中學為例”（項目編號：GS［2023］GHB0957）.