例說大概念視角下的高中數學試題轉型

【摘要】新教材新高考背景下的高中數學試題研究已然成為當前的熱點問題.本文以“寧波市2023學年第一學期高考模擬考試（下稱寧波一模）第21題”為例，在學科大概念視角下從“閱題、悅題、越題”三個維度指導試題的命制，讓學生對所學知識形成概念性系統化的理解，實現知識的正遷移，給教師提供一個優化課堂教學的方向，以期豐富數學建?；顒优c數學探究活動，提升學科素養.

【關鍵詞】大概念教學；高中數學；試題設計

1學科大概念

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，進一步精選了學科內容，以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實.數學大概念是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的一般性回答，具有知識的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、思維的系統性和方法的普適性等表征，是研究數學對象的方法論，對學生學習具有指路明燈的作用，也是教師教學中研究問題路徑和方法的向導.

2概率與統計

高中數學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程，其課程內容突出了四條主線，即函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動．新教材新高考對“概率與統計”提出了更高的學習要求，縱觀2021-2023年的三年新高考數學卷，呈現了“無價值，不入題；無思維，不命題；無情境，不成題”的特征．

2023年10月，筆者有幸參與了寧波一模數學試題的命制工作，在此將探索過程與各位分享，歡迎批評指正.

3學科大概念視角下從“閱題、悅題、越題”三個維度嘗試試題轉型

3.1閱題——基于科學文化的數學抽象

（科學情境）《九家易》，東漢荀爽編.古者無文字，其為約誓之事，事大大其繩，事小小其繩.結之多少隨物眾寡，各執以相考，亦足以相治也.

（初稿）寧波市某中學共有2000名學生，在運動會期間，設置了一項對繩子計時打結的趣味性項目，同時對學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，從中隨機抽取了200人，得到如表1數據.

（1）根據以上數據，能否有99%的把握認為學生性別與繩子打結速度快慢有關？

（2）經過數據統計分析后發現，隨機抽取的200名學生對繩子打結計時（單位：秒）服從正態分布N78，16，試估計該校全體學生計時超過82秒的學生人數.

（3）現有nn∈N+根繩子，共有2n個繩頭，每2個繩頭打結.求當所有的繩頭打結完畢時，這n根繩子恰好能形成一個圓的概率.

情境化數學試題源于生活問題——抽象數學問題——解決實際問題，是應用性考查要求的主要載體，高考數學選取學生個人生活、社會發展和科學研究情境，還原知識應用的實際過程，回歸人類認知的本源，考查學生對所學知識的融會貫通和靈活運用．初稿試題三問考查概率與統計中零散的基本概念：獨立性檢驗、正態分布與計數原理.考查的知識點碎片化、淺表化與封閉化，缺少整體連貫性與關聯性，學生難以形成整體理念，難以實現深度思考，難以提升綜合素養.

（次稿）某中學在運動會期間，隨機抽取了200名學生參加繩子打結計時的趣味性比賽，并對學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，得到數據，如表2.

（1）根據以上數據，能否有99%的把握認為學生性別與繩子打結速度快慢有關？

（2）現有3根繩子，對繩頭進行編號1，2，3，4，5，6，某同學甲對這3根繩子進行打結，記隨機變量X為打結完畢后繩子形成的圓的個數，求X的分布列與期望.

（3）現有nn∈N+根繩子，共有2n個繩頭，某同學乙對每2個繩頭進行打結.求證：當該同學將所有的繩頭都打結完畢時，這n根繩子恰好能形成一個圓的概率為22n－1·n！n－1！2n！.

《中國高考評價體系說明》指出，通過設置真實的問題情境，考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力，允許學生從多角度作答，使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰術”的收益大大降低，引導學生的關注點從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”轉變.次稿試題刪去了初稿中的第二問正態分布知識點，取而代之的是離散型隨機變量的分布列與數學期望，這就給學生第三問的解答作好鋪墊.第三問將求概率表達式改為證明，給學生鋪設合乎邏輯的思維階梯，推動思維對話，以期達到思維的自然進階．通過從特殊到一般的探究路徑，得出解決此類問題的一般思想與方法，考查理論聯系實際的能力、解決問題的能力.次稿試題的文字表述仍不夠嚴謹，問題鏈的設計還是難以達成學生自主探究的目標，學生無法通過解決問題認識到數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

（定稿）某中學在運動會期間，隨機抽取了200名學生參加繩子打結計時的趣味性比賽，并對學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，得到數據，如表3.

（1）根據以上數據，能否有99%的把握認為學生性別與繩子打結速度快慢有關？

（2）現有nn∈N+根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有繩頭打結完畢視為結束．

（i）當n=3，記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數，求X的分布列與數學期望；

（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率為22n－1·n！n－1！2n?。?/p>

數學學習活動中學生思維呈現出簡單到綜合、具體到抽象的不斷發展的過程，這是思維從低階走向高階的體現．學生通過試題中的問題鏈探究，循序漸進地積累數學活動經驗，這種螺旋式上升的問題設計，讓知識背后的思想方法被學生反復理解，使學生深度體驗數學思維方式．以學科大概念為指導而設置的問題鏈能構建思維層次，細化局部，縱向延伸，延展思維深度，是激活學生數學思維、驅動學生思維進階、培育核心素養的重要形態.

3.2悅題——指向核心知識與思想方法的邏輯推理

對于試題第一問獨立性檢驗，K2=200×3575－1575290×110×100×100=200×20×2090×110=80099≈8.08gt;6.635.故有99%的把握，認為學生性別與繩子打結速度快慢有關.

試題第二問（i）通過計數原理（排列組合、平均分組）等基本概念與思想方法可得，

PX=3=1C26·C24·C22A33=115，PX=2=C13·2C26·C24·C22A33=615，PX=1=C14·C12C26·C24·C22A33=815.

離散型隨機變量分布列

EX=1×815+2×615+3×115=2315.

（ii）結合第二問（i）的分析策略，先考慮對2n個繩頭任意2個繩頭之間進行打結，利用平均分組原理，共有N=C22n·C22n－2·C22n－4…C22n！=2n·2n－1·2n－2…2·12n·n！=2n！2n·n！.

3.3越題——落實核心素養的試題轉型

3.3.1用好教材素材，強化知識本質

學生只有能熟練掌握基本概念，理解其本質，才能對知識進行靈活運用與遷移.如試題第一問獨立性檢驗，教材中對于一定范圍內的兩種現象之間是否存在關聯性或相互影響的問題，統計學的做法是先將它抽象為兩個分類變量的獨立性問題，再利用2×2列聯表表示數據，采用假設檢驗的方法進行推斷，這些問題涵蓋了估計和假設檢驗兩種基本推斷方法.只有從整體上準確把握統計學科邏輯的特點，才能準確理解統計的內容和方法，才能更好地發揮統計的育人功能.

3.3.2加強數據分析，提升數學運算

課程標準指出，分類加法計數原理和分步乘法計數原理是解決計數問題的基礎，排列與組合是兩類特殊且重要的計數問題.面對一個復雜的計數問題時，通過分類或分步將它分解為若干個簡單計數問題，再將它們整合起來得到原問題的答案，這在日常生活中也經常使用.如試題第二問（i），大家的做法是將綜合問題化解為單一問題的組合，再對單一問題各個擊破，看似利用排列與組合（平均分組）兩個計數問題，實際上是加法運算和乘法運算的推廣. 對于離散型隨機變量的分布列與期望，要重點關注這些數字特征的意義是什么，如果僅僅會計算簡單隨機變量的均值與方差，就失去了它應有的科學價值.整體教學中應突出概念的抽象過程，揭示均值與方差的意義，通過解決實際問題，了解隨機變量的均值在決策中的應用價值.

3.3.3深挖命題背景，建立數學模型

課程標準將數學建模正式列為必修內容，這是中學數學課程發展中的第一次，說明數學建模在當前的人才培養中具有重要地位，其目的是全面提升學生的數學素養，提高學生的實踐能力和數學應用能力［3］.概率統計通過開放性問題、創新性問題、新概念問題等方式考查，如試題第二問（ii）求證這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率為22n－1·n！n－1！2n！，事實上這正是試題第二問（i）的一般性表達，學生能夠自然而然地建立起解決實際問題的數學模型，并能通過這個數學模型檢驗n=3時的概率PX=1，進而改進及完善數學模型，凸顯數學學科思想的一致性、思維的系統性和方法的普適性.

4結語

概率統計作為實際問題數學化的渠道之一，體現了數學的高度抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性等特點.本文基于學科大概念視角下，“閱題、悅題、越題”三個維度指導試題的命制，通過數學試題從零散的基本概念或知識中整合或提煉出上位概念，發展高階思維，這是核心素養培育的重要內容與途徑.

【本文系2023年寧波市基礎教育教研課題“大概念視角下高中數學單元整體教學的行動研究”（編號：0127）的階段性研究成果】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]夏廈，楊亢爾.大觀念下的融合讓直觀插上想象的翅膀——以“將軍飲馬”問題為例[J].中學數學雜志，2022（09）：16-20.

[3]章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021.