融入數學建模思想的對分課堂在“概率論與數理統計”中的教學實踐

摘要：“概率論與數理統計”是數學領域的重要組成部分，也是大學數學中的基礎課程，在理論研究與實際應用中都有極其重要的作用。針對學生在“概率論與數理統計”課堂中學習主動性不足和實踐應用能力不足兩大教學難題，本文采用融入數學建模思想的對分課堂的教學模式，旨在活躍課堂氣氛，鍛煉學生提出問題，解決問題的能力，培養學生創新性、批判性思維能力。將教學過程分為教師講授、內化吸收和討論三個環節，在討論環節中注重“概率論與數理統計”的應用性，鼓勵學生小組合作建立數學模型求解問題，培養團結協作精神。并以數學期望為例給出具體應用措施以及改進的評價考核方式。

關鍵詞：對分課堂；數學建模；概率論與數理統計；數學期望

“概率論與數理統計”是理工、經管專業學生繼“高等數學”之后的又一數學類公共基礎課。它包括概率論和數理統計兩個內容，其中概率論主要研究隨機現象規律性問題，而數理統計主要研究通過概率論的方法所收集的數據再分析、推斷和決策的問題。著名的數學家皮埃爾·西蒙·拉普拉斯曾說過：生活中最重要的問題，其中絕大部分在實質上只是概率問題。“概率論與數理統計”廣泛應用于經濟金融、保險、氣象預測、醫藥研究、工業生產等多個領域。在實際教學中，大部分課堂仍以教師講授為主，而教師更側重于講解原理、公式和定理的證明，與實際應用相對脫節，學生在學習時因內容枯燥而缺少興趣，導致學習內驅力不足。學生在結課后對本門課的認知還停留在表面上的各種公式，沒有內化為自身的邏輯框架，忽視了這門課程得天獨厚的應用價值，不會利用其解決實際問題，從而導致缺乏實踐研究能力。

針對教學中出現的問題和學生的困擾，有許多一線教師也對“概率論與數理統計”做出教學改革與創新。吳新軍、郭朕等人[1]從學生專業的特點入手，引入實驗，重構教學內容，改進教學方法，培養學生解決生活中實際問題的能力。陳園園[2]秉持“讓生活走進數學課堂，讓數學回歸生活”的思想，構建知識體系，采用案例教學和問題導向的方法，解決教學中出現的問題。

事實上，雖然傳統的講授式教學模式不可被替代，但是在信息化、現代化的時代，需要更加多樣化的教學方式去培養更加多元化的學生。教師可以充分利用“概率論與數理統計”的實際應用切入點比較多這一特點，根據教學內容、教學對象采取不同的、合適的或者混合式的教學方式，使學生能夠保持新鮮感，引起學生的好奇心，提高課堂的教學效率。本文為了解決學生學習主動性不足和實踐應用能力不足兩大教學難題，將采取對分課堂的教學模式，提高學生學習興趣，讓學生的學習化被動為主動，并利用“概率論與數理統計”的實際背景強、應用性強的優勢，將數學建模的思想融入本門課程的教學中，提升學生綜合實踐能力，以達到培養創新型、應用型人才的目的。

1"對分課堂教學模式

1.1對分課堂

對分課堂教學模式是由復旦大學張學新教授在2014年提出的一種課堂教學改革新模式，其核心理念是將課堂時間一分為二，一半時間由教師講授，一半時間由學生討論交互式學習。該模式將講授式與討論式相結合，保留了教師講解和講演的過程，使知識的完整性和連貫性得到了保證，同時又激發了學生對學習的興趣和熱情，是傳統教學模式的一種推廣與創新。對分課堂把教學分為三個過程，分別是教師講授、內化吸收和討論。其中討論包括分小組討論和班級展示兩個部分。討論的過程可分為當堂對分（討論）和隔堂對分（討論）。顧名思義，當堂對分是指講授、內化和討論是同一堂課進行，適用于相對連貫且簡單的知識內容；而隔堂對分是將講授和討論的時間錯開，留足夠充分的時間給學生課后自主內化吸收、學習思考，在第二次課再進行討論，適用于內容相對復雜的情況，與傳統的討論式教學模式不同，這也是對分課堂的主要特色之一[3]。

1.2可行性分析

1.2.1"以學生為中心，教師為主導

對分課堂教學模式打破了以“教師講，學生聽”為主的傳統教學模式，教師講解知識框架以及重難點，留有空白給學生自主學習，讓學生化被動學習為主動學習，彰顯了“以學生為本、以學生發展為中心”的教育理念。學生能夠提高學習的興趣，增強學習的主動性。通過分小組討論，進行合作學習，增加生生互動交流，對問題形成更豐富、多角度的理解，強化了學生團隊合作的意識，受到朋輩學習的壓力，也促進了學生學習的動力。同時，教師講授時間變短，備課量減少，降低勞動負荷，提高工作效率。但是對教師的要求變得更高，需要調動每一位學生的參與，綜合考慮學生的分組情況，在討論過程中及時給予學生指導和監督，并且能夠建立合理的評估方式。

1.2.2"“概率論與數理統計”符合對分課堂的教學模式

“概率論與數理統計”涉及許多繁雜的概念、公式和定理，需要通過教師的講授梳理邏輯，學生主動建構知識體系。通過本門課程的學習，提高數學素養，培養學生利用“概率論與數理統計”的知識分析和解決問題的能力，為培養綜合性人才打下基礎[4]。“概率論與數理統計”的應用與概念理解同等重要，缺一不可，所以在本文中討論過程的內容較原對分課堂模式會作出相應變化，后文中會詳細敘述。因此在本課程中教師不必將知識點進行留白。學生面對大量的新知識也需要一定時間去內化吸收，再利用知識去解決實際問題。并且高中數學教材概率與統計部分與大學“概率論與數理統計”課程內容有部分重合，如隨機事件、事件的概率等，在這部分教學中就可以采用對分課堂的教學模式。

2"數學建模的思想

2.1數學建模

數學發展的根本原動力，來自它的外部，來自客觀實際的需要。而在“概率論與數理統計”教學過程中通常會出現“重理論，輕應用”的現象，花費大量時間用于概念理解、定理證明，使得學生失去對學習的主動性同時，不了解概念和公式的實際來源，不能應用知識求解實際問題。數學建模的思想融入“概率論與數理統計”中，使得抽象的知識變得更加具體，學生理解知識本質，實踐應用于現實問題。數學建模的思想要融入于課程，而不是搶占課程，要與原課程有機結合[5]。“概率論與數理統計”相較于高度抽象的“高等數學”和“線性代數”來說，更適合在教學中融入數學建模思想，后兩者來說更偏于基礎，具有工具性，前者實踐應用更廣，大二這一時間節點更加合適，大學生開始擺脫迷茫懵懂，學生的思維開始走向成熟，在初步掌握專業基礎后，學習的主動性、目的性會增強。學生對數學建模并不陌生，在《普通高中數學課程標準》中也將數學建模列為六大數學核心素養之一。絕大多數的學生在中學已經得到數學建模的相關訓練，而本門課程受課時的影響，會將整個過程進行簡化。

2.2可行性分析

2.2.1"化無趣為有趣

數學建模的思想融入“概率論與數理統計”中，改變傳統單一的教學方式，提高課堂參與度。在進行“概率論與數理統計”的基礎訓練的同時，生動有趣的案例有助于吸引學生的注意力，使得他們更容易理解復雜的概念。例如，在學習中心極限定理之后，可以提出問題：某學校有8000名學生，食堂樓下有一家超市，每天在用餐時間學生比較多，在結賬時經常會出現排長隊現象，應該增加幾個收銀處才能解決這種現象？學生可以通過調查收集基礎數據，利用中心極限定理，建立伯努利概型的數學模型并求解。從真實的身邊現象出發，將現實問題轉化為數學問題，培養學生對數學的學習興趣，提高學生邏輯思維能力、數學建模能力和數據分析能力。

2.2.2"化無用為有用

數學建模的思想融入“概率論與數理統計”中，通過建立模型來解釋現象、預測未來或者優化策略。學生能夠學以致用，解決與自己有關或者專業相關的實際問題，感受數學有用性，提升創新力，增加學習主動性[6]。例如，在學習標準差之后，從與學生密切相關的四六級考試出發，引用問題：最開始大學英語四六級成績，當時，頒發優秀證書，當時，頒發的是合格證書。從2005年開始，采納標準分，，不設及格線，成績單上只有總分和單項分。請分析大學英語四六級成績采納標準分后的意義。將復雜的實際問題，經過審慎思考，轉化為簡單的數學問題建模求解，使“概率論與數理統計”的學習過程也化難為易，改變“重理論，輕應用”的現象。

3"對分課堂模式中融入數學建模具體應用

3.1融入數學建模思想的對分課堂

在本門課程教學中，將數學建模融入對分課堂的教學模式，具體措施為：在教師向學生講授某節課的主要知識后，學生利用較短的時間內化吸收，教師有針對性的綜合考慮教學內容和學生基礎能力提出相關的建模問題，學生根據所學在學習小組內交流討論、合作求解此問題，將無法解決或有疑問的部分記錄，留待最后全班交流或者請教老師解決，并在課后整理撰寫建模研究報告（見圖1）。在討論環節中，以兩個寢室為一組進行分組，混寢或走讀學生由教師幫忙分組，分別安排兩個寢室的寢室長為正副組長，培養學生團結協作的精神，同時促進建設互幫互助、學習氛圍濃厚的新時代優秀寢室。受課時有限等因素影響需要著重考慮教學內容的采取，精選5次課實施“對分課堂+數學建模”的模式，根據所學知識點的難度，每次課2個課時以及學生在學期初討論流程不明確，團隊磨合不熟練，課后學習壓力過大等原因，盡可能采用當堂對分，使一節課的知識得到閉環。

在對分課堂模式中融入數學建模，有兩方面的優勢：一方面提高了教學質量。采取小組合作交流解決實際問題，充分發揮學生的主體作用，真正地把課堂交還給學生，增強學生學習的主動性和趣味性，給學生展現自己的機會，同時又促進學生實踐能力的培養，提高創新性思維素養，從而完成教學目標。另一方面，提升教師專業素質。在講授階段需要教師充分理解專業知識將教學內容梳理概括，合理運用教學方法、教育理念和教學能力，利用有限的時間傳授給學生，同時在內化和討論階段又要充分發揮教師的主導作用，提出恰當合適的實際問題，具備敏銳地觀察和洞察力，把控課堂的方向，及時調整教學策略，旨在提高課堂的教學效果。下面以§7.1數學期望為例，闡述對分課堂模式中融入數學建模具體實施過程。

3.2教學設計流程

3.3優化評價考核

在傳統課堂教學中，考核方式過于單一，存在以下問題：第一，平時成績的分配比重較低，并且總是流于形式，導致部分學生抱有僥幸心理，依賴所謂師生情，忽略日常課堂上的學習，對于考試得過且過；第二，期末考試占比過高，有應試教育之嫌；第三，期末試卷通常側重知識點的記憶，也只能包含一部分內容，不能對整個課程有全面的考查，缺少對學生實踐運用能力的考查；第四，部分學生總是臨時抱佛腳，滋生了懶惰思想，助長只重結果忽視過程的不良風氣[7]。因此，融入數學建模思想的對分課堂需要優化考核機制，要加大平時過程考核在課程考核中的權重，將平時過程考核與期末考核劃分為60∶40，其中平時表現包括學生出勤、課堂表現、課程作業和階段測驗。

結語

在“概率論與數理統計”中采用融入數學建模思想的對分課堂的教學模式，通過教師講授、內化吸收和討論三個環節進行教學改革創新，發揮學生的主體作用，提高學習的積極性，增加師生、生生互動頻率，在討論環節中，擴充了實踐應用問題，引入了數學建模思想，增強知識的實用價值，每個學生展現出自己的風采，提高學生創新實踐的能力，從而解決兩大教學難題，提高教學效率，為學生德智體美勞全面發展奠定良好基礎，培養更多的多元化、創新型、應用型人才。

對分課堂這一教學模式，雖然在高校課程中已有了一定的應用，但是關于大學數學課程，截止2024.9.30在中國知網上以“對分課堂”為主題搜索更多的是在“高等數學”上的嘗試創新，在“線性代數”和“概率論與數理統計”方面研究還是較少（見圖3）。期待在未來有更多的教育者將對分課堂等教學模式優化改進應用于數學課堂中，也期待融入數學建模思想的對分課堂模式得到更多的應用。

參考文獻：

[1]吳新軍，郭朕，潘冬.概率論與數理統計課程教學改革探索與研究[J].大學教育，2021，（10）：125-127.

[2]陳園園.概率論與數理統計教學改革研究——讓生活走進數學課堂，讓數學回歸生活[J].高教學刊，2023，9（10）：129-132+136.

[3]張學新.對分課堂：大學課堂教學改革的新探索[J].復旦教育論壇，2014，12（05）：5-10.

[4]金愛云，周永衛.基于BOPPPS和對分課堂相結合的混合式教學模式的概率論與數理統計教學實踐[J].科教文匯，2022，（24）：72-75.

[5]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006，（01）：9-11.

[6]覃思義，徐全智，杜鴻飛等.數學建模思想融入大學數學基礎課的探索性思考及實踐[J].中國大學教學，2010，（03）：36-39.

[7]王娟.基于過程性考核的對分課堂教學模式的探索與實踐——以高等數學課程為例[J].上海理工大學學報（社會科學版），2018，40（03）：278-282.

作者簡介：夏強（1997-"），女，漢族，黑龍江密山人，碩士，助教，研究方向：奇點理論；王玉萍，（1990-"），女，漢族，黑龍江哈爾濱人，博士，副教授，研究方向：電磁吸收。

*通訊作者：李強（1980-"），男，漢族，黑龍江齊齊哈爾人，博士，教授，研究方向：奇點理論。