數學建模在高校數學教學改革中的應用

摘 要：在教育改革的時代背景下，高等院校作為培養高素質綜合型人才的主要場所，更要不斷深化教學改革、提升課程教學質量。高校數學課程要加強課程教學改革，不斷優化教學方法和教學策略，降低學生的學習難度。本文從數學建模思想的應用角度出發，分析高校數學教學改革中應用數學建模思想的教育價值和教育要點，最后提出了幾點教學策略，旨在實現高校數學教學內容與數學建模思想的融合，強化學生對數學建模思想的理解和應用，提升學生的綜合能力。

關鍵詞：高等教育；數學教學；數學建模

數學建模是一種具有較強實用性和創新性的方法，學生在應用數學建模思想時需要使用數學語言和方法分析問題、描述問題、探究解決問題，因此數學建模思想對強化學生的數學知識應用能力、激發學生的創新思維和實踐能力有著極大的優勢。在高校數學教學活動中，由于理論知識較為抽象，學生在學習新知識時，不僅要掌握全新的數學概念，也要應用舊知識探索新知識的數學原理和應用方法，這就為數學建模思想的應用提供了契機。因此，在教育改革背景下，以學生為主體，不斷優化課堂教學方法，將數學建模思想應用于高校數學教學中，成為高校數學教學改革的重點。

一、高校數學教學改革中應用數學建模思想的教育價值

（一）有利于提升學生學習能力

葉圣陶“教是為了不教”的教育理念，驗證了我國素質教育改革的根本目的。在高等教育階段，學生已具備一定的自主學習能力和探究能力。因此，針對高等教育數學教學問題，教師應通過向學生講授正確的學習思維和學習方法，培養學生的自學能力。在高校數學教學改革當中，加入數學建模思想，能將抽象的理論知識與學習實踐相結合，使學生學會應用數學工具解決復雜問題，由此在潛移默化中提升高校學生的數學學習能力［1］。

（二）有利于發展學生的數學思維

數學源自現實生活，且具有一定的抽象性和邏輯性。高校的高等數學核心是以抽象概念闡述復雜原理和空間關系，所以數學建模就是讓學生從抽象知識當中具象出立體模型。教師在數學教學中加入建模思想能使學生在完成建模的過程中直觀理解數學知識和數學原理，如此一來，不僅能使學生在親自參與探究實踐的過程中提升對數學知識的思維認知，更能進一步發展學生的抽象思維能力、邏輯思維能力和深度思考能力，對學生獨立解決復雜問題也有較大幫助。

（三）有利于提升學生的學習主動性

高校學生的數學學習主動性就是能在課堂學習當中主動參與新知識學習和問題解決，使學生成為課堂教學的中心，由此改變學生被動接受的刻板學習狀態。一方面，將數學建模思想加入高校數學教學改革中，能突破傳統以理論闡釋為主的教學模式，也能避免學生在數學學習當中出現畏難情緒，引導學生從數學建模的角度出發分析具體問題及復雜事例。另一方面，在數學建模思想的輔助下，學生能以更便捷的方式解決復雜問題，而學生的學習興趣也會更加高漲，樂于主動探究和思考。由此一來，數學建模思想也在潛移默化中提升了學生學習數學知識的主動性和能動性。

二、高校數學改革中應用數學建模的教育要點分析

（一）理清理論知識與實際應用之間的關系

高校數學教學改革的核心目的就是使學生能夠在理論學習的基礎上應用所學知識解決復雜問題。高校數學教學屬于工具類學科，主要目的是為學生提供專業理論知識和更簡便的解題方法［2］。在高校數學教學改革中，應用數學建模思想的關鍵就在于明確數學理論知識和實踐應用之間的密切聯系，既要使學生熟練掌握基礎理論知識，更要使學生熟練應用所學知識解決問題。換言之，教師要通過加入數學建模思想，拓寬數學知識教學范疇，使建模思想成為理論學習與實踐應用之間的橋梁，由此完成對高等數學教學的拓展創新。

（二）應用循序漸進的教育方法

高校數學教學內容復雜且難度較高，要想使學生熟練掌握數學學習思維和建模思想，就必須以循序漸進的教學方法展開。一是教師要以循序漸進的教學方法將數學建模思想融入理論教學當中，如在初期利用建模思想解決簡單問題，讓學生掌握數學建模的基本方法，在后期則逐漸增加數學建模難度，在潛移默化中提升學生的建模能力。二是教師要尊重學生的知識學習，根據不同學生個性特征及認知基礎，選擇特定的建模方法和教學方法。教師既要確保教學內容符合學生學情，又要確保建模方法面向學生個性需要。由此在有針對性地融入數學建模思想的過程中，培養全體學生的數學思維和解題能力，進一步強化對學生邏輯思維和實用思維的培養。

三、高校數學教學改革中應用數學建模的策略分析

（一）關注學生主體地位，針對性融入數學建模思想

為實現高校數學教學改革目標，培養學生的數學思維和解決問題的能力，應在考慮學生的發展需要和真實學習的基礎上有針對性地加入數學建模思想，以發揮數學建模對提升學生的數學學習能力的重要作用［3］。

例如，在講解極限的概念在微積分中的應用數學知識點時，教師聯系學生的學習經驗設計了“如何利用圓內接正n邊形的面積求圓的面積”這一問題。學生在高中階段學習圓的面積時對該問題也有了基本的認識，學生對該問題有較大的探究興趣。教師引導學生嘗試建立圓內接正n邊形的模型，使用極限思想，應用極限符號表示當n趨向于無窮大時，正n邊形的面積表示方式為limn→∞n×r2sinπn，隨后使用洛必達法則計算該極限表達式，認識到當n趨向于無窮大時sinπn近似為πn，得出圓的面積公式。借助學生較為熟悉的問題，學生能認識極限的概念在微積分中的應用，強化學生對極限問題的理解，也能使學生認識數學建模在解決問題時的重要作用。

（二）理解數學建模內涵，強化學生數學應用能力

將數學建模應用于高校數學教學改革中，需要教師從數學建模的內涵出發，強化學生對數學建模思想的實際應用能力。一方面，教師應結合各專業的知識結構特征及職業特色，將建模思想與職業問題相結合，使學生能夠在教師的指導下完成數學探究和自主學習，以確保應用數學建模思想解決實際問題。另一方面，教師應拓寬數學建模思想的應用范疇，在幫助學生熟練掌握數學建模思想內涵的基礎上，延伸數學知識學習，并深刻體會數學建模思想的深層含義。

以運動問題的教學為例，教師可以在課堂教學中向學生提出如下問題：運動點P正在向河的對面移動。P點運動位置為O。在移動過程中，P的移動方向始終與O保持一致。請結合以上條件梳理P點的移動路線。如果以傳統的解題方法分析這一例題，必然需要應用復雜的代數和幾何知識，但這種解題思路相對復雜，需要耗費大量時間。結合數學建模思想，學生需要掌握題目當中提供的已知條件并明確解決本題的關鍵點，再構建P點的運動模型。學生需要考慮河流速度對P點移動的干擾性之后，再結合建模思想篩選例題當中的關鍵內容，結合微分方程梳理模型、完成解題。結合題目當中提供的已知條件搭建數學模型：假設題目當中的O是坐標點，以x軸的平行方向作為順水方向，y軸則是河對岸的標識，設定P的移動速度為v，vx=vcosθ，vy=vsinθ，建立微分方程描述P點的運動dxdt=vcosθ，dydt=vsinθ，隨后解析上述微分方程，并考慮河流速度的干擾，得到P點的運動軌跡x（t）=x0+（vcosθ+v）·t，設定河流寬度為d，P點到達河對岸的距離為河流寬度，解出P點到達河對岸的時間t，將t代入x（t）的公式中解出P點到達河對岸的x坐標，隨后構建P點的運動模型，梳理P點的移動路線。

（三）全方位滲透建模思想，啟發學生的數學學習思維

課堂教學是高校數學教學改革的主陣地，也是滲透建模思想的主要載體。在高校數學教學中，教師要將數學建模思想應用于課堂教學的全過程，全方位滲透建模思想，啟發學生的數學思維。首先，在課堂導入環節，應用數學建模思想能達到迅速吸引學生、提高學生注意力的目的。由此也能在課堂導入環節提高課堂教學成效，使學生以更集中的姿態投入數學學習當中［4］。其次，在課堂教學環節，利用數學建模思想將抽象的數學問題及數學知識以直觀的形式呈現給學生，不僅能降低學生理解新知識的難度，更能在一定程度上提高學生數學學習效率。

教師可以在課堂教學中為學生搭建生活情境，并將數學建模思想滲透到課堂教學的全過程當中：首先，在課堂導入環節，教師利用學生在生活中常見的投資理財現象作為導入并向學生提出問題，并在簡單說明本次試題計算的環境與操作要求后，通過拋出對比的問題，引導學生尋找問題的最佳答案，如以30萬元為本金，分別用于以下兩種投資項目中，如何才能獲得最佳收益：（1）方案1，A項目按年復利計算收益，每年固定收益率為6%。（2）方案2，B項目同樣按年復利計算收益，但每年收益率并不相同，第一年收益率為4%，往后每一年的收益率都在前一年的基礎上增加0.5%。在上述條件下，若計劃總投資時長為八年，則如何獲得最大收益？

基于上述問題，學生只需要分別計算兩種方法下的本息總額情況，則可獲得問題的最優解。其中，方案1中，項目的本息總額需要逐年滾動計算前一年本金與收益之和，A項目的本息總額計算公式為P（1+r）n，其中P代表初始本金，數值為30；r代表年利率，數值為6%；n表示投資基數，數值為8。在代入數值后計算A項目的本金金額約等于478154.4元。

方案2中項目的本息金額需要依次計算每一年的本金和利率，其中第一年的本息金額為A1=P（1+r1），第二年的本息金額計算需要將第一年的本息總額作為初始本金，第二年的年利率為4.5%，第二年的本息總額為A1=P（1+r1）（1+r2），依次類推至第八年，第八年后的本息總額為469985.28元。

比較A項目和B項目的本息總額，能夠發現A項目的本息總額更高，因此應該選擇A項目投資。

由此，讓學生在建立數學模型的基礎上分析問題。這一課堂導入方式能迅速喚醒學生對數學知識的學習需求，也能達到快速吸引學生注意力和課堂參與興趣的目的。

（四）設計數學建模練習，培養學生的問題解決能力

利用真實的數學建模案例展開數學教學，使學生學會熟練應用數學建模思想，解決復雜問題。因此，在高校數學教學中，教師應為學生提供多樣的數學建模練習，使學生嘗試應用建模思想自主解決問題。

以生活中常見的運動與健康問題為例，教師在課堂中提出問題背景：運動強度與健康指數存在密切關系，假設身體健康指數的變化率與運動強度成正比關系，若健康指數滿分為100，當運動強度為0時，健康指數為60，當運動強度為每周10小時時，健康指數為80。請學生結合運動強度與健康指數變化率之間的關系，構建函數模型，并求解當健康指數為90時，運動強度應為多少？

學生在解決該問題時需要應用數學建模思想，建立健康指數H與運動強度x之間的關系。在深入分析題干表示的數量關系后，能夠發現健康指數與運動強度存在線性關系，構建線性函數模型H（x）=ax+b，其中a表示的是初始健康指數。代入題目中的數量關系后，得出a=2，b=60，隨后求解健康指數為90時，運動強度為每周15小時。

結合數據拓展解題數據模型，為學生提供更直觀真實的數據輔助。由此，在聯系真實生活數據的基礎上為學生建立微分方程模型提供科學參考。學生在解決這一數學問題的過程中，不僅學習了微分方程的基礎知識和實際應用，更能提高學生對自身健康的關注。

除此之外，教師還可以通過組織學生開展數學建模競賽的方式，為學生提供應用數學建模思想的平臺。一方面，教師應設置與學生專業學科相交叉的實際問題，要求學生應用數學建模思想解決問題、參與競賽。另一方面，教師要為學生提供專業的建模指導和培訓，在幫助學生掌握數學建模的基本原理和技巧的過程中提高學生的建模能力，為學生進入數學建模競賽提供保障［5］。

結語

總的來說，數學建模思想的應用，對提升學生的問題解決能力，強化學生數學知識的應用意識有著極大的教育優勢。在高校數學教學改革中融入數學建模思想能夠強化學生對抽象數學知識的理解與掌握，有利于激發學生的學習主動性，提升學生的學習能力，可以有效發展學生的數學思維。在教學活動中，教師要深入解讀數學建模思想的教育內涵，理清數學理論知識與實際應用之間的關系，并采用循序漸進與針對性的教學方法，強化學生的數學建模意識。在實際教學活動中，教師要聯系學生的數學學習基礎，尊重學生的主體地位，應用簡單的數學題目，針對性融入數學建模思想，使學生初步形成數學建模意識。在學生理解數學建模內涵后引入抽象的數學概念及定理公式，使學生學會應用數學建模思想理解此類抽象的數學知識，以補充與完善學生的數學知識結構體系。為強化學生的數學建模思想應用，提升學生的數學知識應用能力，在課堂中應用數學建模案例設計練習題目和競賽活動，強化學生的綜合應用能力，提升數學建模思想的應用效果。

參考文獻：

［1］曹學勤.數學建模思想在高校數學教學改革中的應用［J］.湖北開放職業學院學報，2022，35（09）：145146.

［2］劉自強，周紫英.數學建模在應用型本科高校高等數學課程改革中的應用［J］.綠色科技，2021，23（13）：235237.

［3］劉寶興.大學數學教學過程中數學建模意識與方法的培養簡析［J］.中國多媒體與網絡教學學報：中旬刊，2020（01）：196197.

［4］李炳君，王興仙.數學與應用數學專業數學建模課程教學探索［J］.產業與科技論壇，2020，19（17）：160161.

［5］李武陽.高校數學分析課程中數學建模的引入及案例設計研究［J］.造紙裝備及材料，2020，49（02）：193194.

作者簡介：聶冬冬（1991— ），女，漢族，河南焦作人，碩士研究生，助教，研究方向：應用數學；陳進華（1991— ），男，漢族，云南昆明人，碩士研究生，講師，研究方向：偏微分方程的精確解。