初中數學建模教學活動設計的出發點、生長點與關鍵點

問題的提出

數學源自對現實世界的抽象，數學建模就是以實際問題為背景，綜合運用數學理論方法、計算機軟件及相關知識來分析和解決實際問題，以及建立數學模型的全過程[1]．《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出“要讓學生形成抽象能力、模型觀念，進一步發展運算能力.”[2]但是，有學者統計并分析了中國近30年來核心期刊發表的中小學數學建模研究文獻，發現在數學建模能力、數學建模中教師面臨的問題等研究方向上取得的研究成果仍然很匱乏[3].筆者在十多年的教學實踐中發現，初中數學建模教學存在三大問題亟待解決：第一，數學教師常將應用題教學等同于數學建模教學，所有情境、問題和解題策略均已提前預設好.第二，學生根據教師精心設計的探索路徑，雖能得出“標準”答案，但這種模式卻嚴重束縛了學生的個性化發展，阻礙了他們自主學習能力的提升.第三，教學過分聚焦于知識的灌輸與技能的訓練，卻對學生將知識應用于實際生活的能力以及創新思維的培育關注較少.因此，初中數學建模教學亟須轉變方向.其核心應緊密結合學生的日常生活，開發豐富的學習資源，鼓勵學生運用數學知識解決實際問題.在這一過程中，學生不僅能夠通過實踐活動提升模型觀念核心素養，更重要的是，學生的實際應用能力和創新思維將得到充分的鍛煉與培養.因此，教師要當好數學建模教學活動的設計者與引導者，讓這一活動成為學生自主發展與創新能力培養的搖籃.

開展數學建模教學活動的理論基礎

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將“數學建模”作為高中數學學科六大核心素養之一，要求學生在必修與選擇性必修課程中完成一個建模課題研究.新課標則將“模型意識”和“模型觀念”分別確定為小學和初中的數學學科核心素養之一，開展數學建模教學活動.數學建模教學活動是基于學生數學思維，運用數學模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是培養建模素養的主要方式.其中，設計貼近學生生活的真實情境是數學建模的前提，聚焦問題解決是數學建模的核心，注重多學科思想方法的融合是發展數學建模素養的保障.

開展數學建模教學活動具有深厚的理論基礎.首先，實用主義觀念認為，數學“源于現實，寓于現實，用于現實”.數學建模活動通過引入真實生活情境，使學生能夠將抽象的數學知識與現實的生活情境相結合，進而理解數學的應用價值.情境是數學與日常生活聯系的紐帶，是數學建模教學活動的出發點，同時也是學生數學思維發展的重要載體.其次，認知心理學認為，學生的學習過程是一個認知發展的過程，強調個體通過與環境的互動和經驗的積累來構建自己的認知結構.在數學建模教學中，這一理論得到了充分應用.通過參與數學建模活動，學生需要分析問題、提煉關鍵信息、建立數學模型、求解模型并驗證結果，這一過程促進了學生的知識遷移與應用，進而培養他們的邏輯思維、批判性思維和問題解決能力.引導學生經歷數學建模活動的全過程，是數學建模教學活動的生長點.最后，整體性教育理論認為，教育應關注學生的全面發展，強調知識、能力、情感等方面的綜合提升.該理論反對將學科分割成獨立互不相干的部分，認為教育應當突破學科邊界，培養學生的整體性認知能力和綜合素養.數學建模教學活動猶如一座橋梁，將不同學科的知識緊密地連接在一起，這一教學活動要求學生充分調動跨學科的知識儲備，組織跨學科的學習探索.在這一過程中，學生得以窺見不同學科之間的微妙互動與緊密聯系，從而逐步構建起對現實世界的整體性認知.同時，跨學科學習也提升了學生綜合素質，如批判性思維、創新能力、團隊協作能力等.可見，跨學科學習是數學建模教學活動的關鍵點.

基于真實情境的初中數學建模教學活動設計—測量映天池的寬度

（一）設計背景

1.學情分析

知識方面，學生已經學習了全等三角形的知識，了解了全等三角形的判定條件，并積累了一些幾何知識的學習經驗一一觀察、猜想、操作、驗證、推理、證明、應用，這為測量映天池的寬度打下了良好基礎.

能力方面，學生所學的幾何知識更多地停留在紙上談兵的地步，應用于真實情境解決問題的經歷還不多，且在實際操作過程中，動手能力、協作能力、理論與實際相結合的能力都還有待提高.

校情方面，映天池原本是學校南界河.隨著學校的改擴建，映天池也修整一新，成為校內的一個著名景點，見證了學校幾十年來的辦學歷程.應屆學生對學校的歷史和教育情懷不太熟悉，通過本節課的學習，正好為學生補上傳承優秀校園文化這一課.

2.設計理念

基于情境教學理念，從學生身邊的生活資源出發，設計“測量映天地的寬度”教學流程（圖1），為學生提供合適的探究問題、探索路徑、學習機會，引導學生學會觀察、遷移應用、理解學習，進而提升學生解決問題的能力，同時加深學生對數學和現實世界之間聯系的理解.本節課立足于數學建模教學活動，通過測量映天池的寬度這一核心任務，培養學生學以致用的能力，并引導學生對校園文化產生強烈的情感共鳴.

3.教學目標

（1）重溫映天池的歷史和文化，介紹學校的辦學理念和精神，培養學生的學習動力和追求卓越的精神.（2）結合實際生活，引導學生提出測量映天池寬度的問題，構思實踐方案，建立數學模型求解問題.（3）在成果交流分享中體會不同的數學方法，培養學生的發散性思維和創新能力，激發學生積極生活、崇尚科學的生命熱情.

4.教學流程

見圖1.

（二）活動設計

活動1歷史傳承，提出問題

映天池，原為學校南界河，1978年校區南擴，界河成為校河，師生清淤泥、整河床、直河沿、砌筑石駁岸的勞動場景歷歷在目，自此校內有了景觀河.語文學科組教師集體命名為“映天池”，是地映天之自然景觀，寓天人合一之文化深意.自此，映天池沿用至今，成為學校傳承開拓精神、賽續教育使命的象征.

課前，教師組織學生查閱映天池有關資料，課堂上組織各小組代表交流分享有關資料和體會，并引導學生思考一一映天池經歷了兩次大型改建工程后，變成了現在的模樣，從數學的角度，你想了解它的哪些信息？

學生提出問題：

（1）映天池有多寬？有多長？水有多深？（2）映天池的體積有多大？（3）每年維護映天池的安全和清潔，需要花多少費用？映天池的兩岸不是規則的平行線，而是曲線，教師應引導學生進一步思考：如何定義映天池的長度和寬度？

設計意圖學生通過自主查詢資料重溫映天池的歷史和文化，追憶往昔學校師生勤學用功的崢嶸歲月，利用真實的生活情境激發學生的情感共鳴，滲透學科德育教化作用.用數學的眼光再次聚焦映天池，啟發學生發現并提出問題，激發學生繼續探究的欲望.如何定義映天池的長度和寬度，是一個開放性問題，其實只要方式合理即可，如在映天池的北岸（或南岸）兩頭各取一個點S，T，這兩點之間的距離定義為映天池的長度；在兩岸各取一個點A，B，當ST⊥AB時，A， B 之間的距離定義為映天池的寬度.

活動2實地參觀，建立模型

帶領學生參觀映天池，指導學生用一個量程為5米（小于映天池的寬度）的皮尺和測角儀嘗試測量映天池的長度和寬度，在實際操作中引導學生思考以下問題：

（1）映天池的長和寬都超過了皮尺的量程，如何僅用一把皮尺測量映天池的長，說說你的方法.（2）將映天池的俯視圖畫在紙上，請用合適的數學語言描述映天池的“長度”和“寬度”：（3）為了測量映天池的長，學生們采用的方法都是將皮尺多次疊加，但是為什么不同的學生測量出的長度不一樣？如何減小誤差？① 在實際操作過程中，映天池兩岸兩點之間的距離能否直接測量？兩條線的夾角能否直接測量？② 如何測量映天池的寬度？分組討論，各組設計一個合理方案，并在圖上畫出來.

設計意圖通過實地參觀、動手實踐的活動，引導學生親身體驗，增進學生對數學概念的理解，體會數學定義的必要性與規范數學語言表達的重要性；繪制俯視圖，培養學生的抽象思維能力和模型思維能力，感知數學的應用價值.

活動3交流分享，模型論證

組織各小組代表展示設計方案，介紹測量方法和實操原理，對方案的可行性進行論證.圖2一圖7是各小組分別提出的設計方案，對AB的轉化采用了不同的方法.

圖2是在點A的同岸任選一點o ，連接 AO 并延長到點 A^′ ，使得A^′O=AO ，作 ∠0A^′B^′=∠OAB 交 BO 的延長線于點 B^′ ，由 ∠AOB= ∠A'OB'可得 A'OB'（ASA），進而測量 A^′B^′ 的長即可；圖3是在點 A 的同岸任選一點 o 后，在 BO 的延長線上任選一點 c ，作∠OCD=∠ABO 交 AO 的延長線于點D ，在 oD 上取點 A^′ 使得 A^′O=AO 過 A^′ 作 A^′B^′//CD 交OC于點 B^′ ，利用AAS可得 ΔA^′OB^′?ΔABO ；圖4是作 ∠ABO=45^° ， ∠BAO=90^° ，構造等腰直角 ΔOAB ，使得 AO=AB 圖5是作任意線段 BD ，再過點 D 作DC//AB ，過點A作 AC//BD ，兩線交點為 c ，可得 ，進而 CD= AB ；圖6是在點 A 的同岸任意選擇較遠的一點 o （使 P ， Q 兩點在岸上便于測量操作），取 AO 的中點 P 過點 P 作 PQ//AB 交 BO 于點 Q ，此時 o ， Q ， B 三點共線，可得 AB= 2PQ ；圖7是作 ∠ABN=30^° ，再作∠BAN=135^° ，交點為 N ，過點 N 作NM⊥BA 的延長線于點 M ，則 AB= 2

設計意圖給予學生充分的時間和空間進行探索，鼓勵學生通過查閱資料、大膽構思、咨詢師長、實踐操作等方式，綜合運用已學知識解決問題.圖5一圖7，都是學生基于已有知識經驗大膽嘗試并經過多種途徑求證后提出的設計方案，雖然運用了超綱知識解題，但這是為優秀學生拓展知識、發散思維、鍛煉能力的有效渠道.每一位學生在小組活動中都有分工，有的作圖、有的測量、有的提出異議并分享自己的觀點，不同的角色體驗促使每一位學生都充分發揮自己的優勢、欣賞他人的長處，最后統一意見達成共識，提升了每一位學生的團隊協作能力和綜合素質．

活動4建模小結，感悟提升啟發學生思考以下問題：

（1）今天解決問題用到了哪些方法？這些方法有何共性？（2）請歸納數學建模解決問題所經歷的過程，并談談你對今天活動的感悟.（3）為了弘揚學校的教育文脈，請你再提出一個數學建模探究活動的主題.

設計意圖引導學生交流學習感想，鞏固活動成果，進一步體會數學思想方法.啟發學生打開新思路，設計新活動，研究新問題，培養學生的主人翁意識和社會責任感，激發學生為學校發展獻計獻策的熱情.

（三）設計反思

基于真實情境的初中數學建模教學，核心是為學生搭建一個自由、自主學習和交流的空間，讓他們自主發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.教師則充分發揮引領作用，引導學生通過實踐、觀察、體驗和思考，積極主動地探索新知.

傳統數學教學往往局限在教室內，學生僅僅通過紙筆運算解決一些封閉式問題.現代數學教學，強調開展廣泛的交流和實踐，讓學生在復雜環境中搜尋有用信息、在與同伴的爭論中認識問題本質、在團結合作中突破進取、在建模活動中突出主體性、主動性和探究性.本節課教師帶領學生走出教室，走進校園，開展實踐、建模、協作、分享等活動，全面發展學生的綜合素養.在活動中，一些學習成績并不拔尖的學生，卻表現出了非同一般的熱情與興趣，讓人感到十分欣慰；還有一些平時比較調皮的學生，也表現出了敏銳的洞察力和創造性的構思能力.立足于學校自身文化開發校本活動，給學生帶來了求知的樂趣和務實的態度，這一切無疑是為學生的生命成長播下了一粒種子.美中不足的是，本節課教學評價不夠充分，特別是過程性指導關注不足，表現性評價開展不到位，從而導致個別學生不能全身心地投入小組探究活動.初中數學建模教學評價，也是廣大研究者需要關注的方面，既要注重開展多元性評價，組織學生、組長、他人和教師參與評價；又要從教師的教學表現、學生的活動參與、建模的活動效果和課程文化等維度開展評價，提升課程品質，促進師生素養共同發展.

初中數學建模教學活動的有效策略

（一）關注生活情境，融合身邊的教育資源是初中數學建模教學活動設計的出發點

數學與現實生活、生產以及社會的發展有著密切的聯系.布魯姆明確提出，數學建模是一個從“現實情境”轉化為“數學問題”，再將結果代入“現實情境”進行檢驗和調整，最終解決現實問題的過程[4].在設計數學建模教學活動時，融入真實的生活情境，不僅能夠凸顯數學建模的必要性，還能極大地拓寬學生的視野.通過探究真實問題，學生能夠親身體驗數學的魅力，切身感受數學在解決實際問題中的巨大價值.這種基于真實生活情境的學習，能夠自然而然地激發學生的好奇心與求知欲，使學生在探索過程中充分享受學習的樂趣.更重要的是，解決真實問題的過程，也是學生接觸和認識社會的重要途徑.通過數學建模，學生能夠深入了解數學與社會發展、科技進步之間的緊密聯系.在實踐中他們會逐漸意識到，數學不僅僅是書本上的公式和定理，還是推動社會進步、解決現實問題的有力工具.這種理論與實踐的結合，有助于培養學生理論聯系實際意識，使他們在未來的學習和工作中，能夠更加自信地運用數學知識去應對各種挑戰.

（二）經歷建模過程，聚焦現實問題的解決是初中數學建模教學活動的生長點

數學建模教學的精髓在于將數學理論與實際生活緊密結合，致力于解決實際問題.在這一過程中，學生被引導著分析問題、提出假設、構建模型、求解模型并評估結果，逐步建立起問題解決的系統意識和有效策略.這一系列的實踐活動，不僅讓學生深刻地理解了數學原理，還學會了如何將抽象的數學知識轉化為解決問題的工具.在解決問題的過程中，學生還面臨著多種方法的選擇，無形中促使他們運用批判性思維去比較和評價不同方案的優劣，這一過程有利于提高他們的邏輯思維能力和創新思維能力.此外，良好的溝通與合作也是成功解決問題的重要因素.學生要學會清晰、準確地表達自己的觀點，無論是與同伴討論解決方案，還是向教師展示研究成果，這一能力都至關重要.總之，問題解決的過程能夠有效地促進學生各方面素質的發展，是數學建模教學活動的生長點.

（三）組織跨學科學習，滲透多學科思想是初中數學建模教學活動的關鍵點

真實生活情境下的數學問題探究，往往具有跨學科性質，在解決問題的過程中常常需要靈活地運用數學、科學、技術、工程等多學科知識[5]，這種跨學科的學習模式，為初中數學建模教學注人了新的活力.通過組織跨學科的學習活動，學生不僅在數學領域獲得了較為深入的理解，還學會了如何運用多學科知識來解決實際問題.這種教學模式不僅拓寬了學生的知識視野，而且培養了他們的綜合素養和創新能力.在未來的學習和職業生涯中，這種跨學科的知識結構和解決問題的能力將助力他們展現出更強的適應性和創造力.因此，組織跨學科學習并滲透多學科思想，是初中數學建模教學活動的關鍵點.

結語

開展初中數學建模教學活動，關鍵在于更新教師的教育理念.廣大教師要加強數學教育中實用主義觀念、認知發展理論及整體性教育等理論的學習，善于應用理論指導數學建模教學活動．“測量映天池的寬度”這一活動表明，通過設計貼近學生真實生活情境的活動和在跨學科學習中引導學生解決實際問題，完全可以發展學生的模型觀念和綜合素養.未來，可以進一步探索如何在初中數學建模教學活動中進行有效評價與策略調整，以期構建更加有效的初中數學建模教學體系與模式.

參考文獻：

[1]國忠金，付侃，孫丹.核心素養背景下的數學建模教學探究［J].教育教學論壇，2023（15）：145-148.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[3］牛偉強，張倜，熊斌.中國中小學數學建模研究的回顧與反思：基于1989-2016年核心期刊文獻的統計分析［J].數學教育學報，2017，26（5）：66-70.

[4]蔡金法，劉啟蒙.數學建模的內涵與意義［J］.小學數學教師，2018（11）：4-9，30.

[5]秦瑾若，傅鋼善.STEM教育：基于真實問題情景的跨學科式教育［J］.中國電化教育，2017（4）：67-74.