關注解題教學 揭露數學本質 發展核心素養

中學課堂通常分“概念課”原理課”“解題課\"三種課型，“復習課\"可以歸類到\"解題課\"．在解題教學中，部分教師過度側重解題技巧的歸納總結，卻忽略了對數學本質的挖掘以及學生核心素養的培育.這種教學傾向導致學生僅聚焦于得出答案，缺乏對解題過程的反思與總結，難以深入理解數學問題的內在邏輯.隨著新高考改革推進，數學試題的靈活性與創新性顯著增強，對學生綜合能力提出了更高要求.在此背景下，教師需重新審視數學解題教學，通過深入剖析數學本質，引導學生提升思維品質，進而推動其數學學科核心素養的全面發展.

教學過程設計

1.借助情境，導入主題

課堂伊始，借助PPT展示《赤壁賦》中蘇軾的名句：“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也.\"隨后鼓勵學生自主接出這句話的下一句，引導學生對“變\"與“不變\"產生感悟，并分享自己此刻的想法.

設計意圖蘇軾的名句能激發學生學習興趣，揭示語文與數學之間的聯系，為理解“變”與“不變”的規律打下基礎．這樣的設計還能激發學生的探索欲，讓他們在積極的情感狀態下開始學習.

2.關注過程，建構知識

（1）舊知回顧

引例已知點 F₁，F₂ 為橢圓 的左、右兩個焦點，且過點 F₁ 的直線與橢圓相交于點 ^B，D ，過點 F₂ 的直線與橢圓相交于點A， c ，同時A C⊥BD， P 為垂足，

① 若點 P（x₀，y₀） ，求證： ② 四邊形ABCD的面積最小值是多少？

生1：該題為一道典型的橢圓內接四邊形類問題．四邊形的兩條對角線互相垂直，且分別過橢圓的兩個焦點.

待證明的不等式，從幾何角度來看，其本質等價于判斷點 P處于橢圓的內部.已知橢圓的離心率√3 ，那 么點P必然處于橢圓的內部.

師：非常好！具體的解題過程是怎樣的？

學生自主解題，教師巡視觀察，并挑選代表展示解法，

生2： ① 根據半焦距 c=1 以及 AC⊥BD ，確定點P處于以“線段 F₁F₂ \"為直徑的圓上，所以 x₀²+y₀²=1 ，則

② 分成兩種情況進行討論：

第一種，直線 BD 的斜率存在且不為零，設直線BD的方程為 y=k（x+1） ，將其代入橢圓，經化簡得 （3k²+2）x²+6k²x- 6+3k2=0，所以BD=4V3（k2+1）

因為A C⊥BD ，所以- 為直線 _AC 的斜率，所以 AC= ，所以，S四邊形ABCD = 當k=±1時等號成立.

第二種，直線 BD 與 x 軸垂直，則 AC （為長軸） ，BD（為通徑） 6;直線AC與x軸垂直，結論一致.

綜上分析，S四邊形ABcn的最小值是6

師：對于這個解題方法，你們覺得處理得比較好的地方在哪里？

生3：用k表示 ，借助基本不等式獲得最值，此為處理得很成功的部分.

師：不錯，這位同學的解題思路清晰，過程完整，計算也沒有問題，并巧妙地借助基本不等式化解了解題的難點，值得贊揚.我看到還有不少同學用了不一樣的解題方法，哪位同學愿意主動展示一下？

生4：在獲得四邊形的面積之后，我和他的處理方式不一樣，我將其轉化為二次函數再探索最值，可同時獲得該四邊形的最大值與最小值.具體過程如下：

24（1+k2）2 24 ，假設 則

（3h2+2）（2k2+3） 1 1 6+ 1+k2 （1+k2）2

，所以 所 根據A C （或 BD ）與坐標橫軸垂直的關系，可順利獲得S四邊形ABCD

師：以上探索過程，應用了基本不等式或函數來思考問題，同時還涉及分類討論思想，非常好！

設計意圖從學生已有的認知經驗出發，以一道題目為切入點，激發學生的思考與交流．在學生展示解題思路的過程中，教師及時捕捉教學信息，鼓勵學生相互補充、啟發，從而優化思維方式．引例中“對角線垂直且過兩個焦點”這一條件，為后續揭示問題中“變”與“不變”的本質特征奠定了基礎.

（2）呈現問題

問題1如圖2所示，已知點 M，N，P，Q 均處于橢圓 x²+ =1上，橢圓正半軸上的焦點為點F.同時MF，FN共線，PF，共線， ，那么 S_pq;####MQNP 的最大值與最小值分別是多少？

生5：結合題設條件，可知 FQ 與PF位于同一條直線上FN與MF也處于同一條直線上．即 PQ，MN 分別為橢圓的兩條弦，MN⊥PQ于焦點 F（0，1）

① 假設 ??k 為PQ的斜率，則直線PQ的方程為 y=kx+1（k≠ 0），將其代入橢圓方程，整理后得 （k²+2）x²+2kx-1=0 2√2（h2+1）；與之類似，可推導出 因此，S四邊形MQNI 假設 則u≥2，當且僅當k=±1時，u=2，S四邊形MQNP （20 因為S四邊形MQNP= 在u≥2的情況下遞增，所以16 （20 S_{⊥⊥⊥#M?NP}lt;2. （2號

② 在 k=0 的條件下，橢圓的長軸為M ， （204

③ 在k不存在的條件下，與第 ② 種情況一致.

綜上分析 所以， 的最大值為2，最小值為16.

師：大家覺得這種解法怎么樣？

生6：這種解法在換元處理上很有特點，他將面積用分式函數來表示，借助函數的單調性順利獲得了結論

師：除此之外，還有什么解法嗎？

生7：我覺得還可以用二次函數來分析，即S四邊形MQNP= 設 1+h2，t∈（0，1），則S四邊形 當t= 時，S四邊形wQv的最小值為16.

設計意圖這個問題比引例復雜，對角線交點位于一個焦點，橢圓方向也改變了，但考查的知識點和數學本質未變．解決思路和方法與引例相似，學生只要掌握了“變”與“不變”的規律，即可解決問題.

（2）實際應用

問題2已知點F（c，0）為橢圓2+ 的右焦點，過點F作兩條弦 _?AC 與 BD ，令它們恰好垂直.已知點 M ，N分別為AC，BD的中點，那么MN是不是一定過某個點？

生8：當A C 與 軸垂直時， BD 就是長軸， _AC 為通徑，點M即點 F， 點N即點 o ，且直線MN與 軸重合.若直線MN過定點，則該定點必定處于 軸上.在A δ_C，BD 關于 軸對稱的情況下，它們的斜率為 ±1 ，直線 MN⊥x 軸，定點同樣處于 軸上．具體解題過程如下：

假設 x=my+c 為直線A C 的方程，點A （x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，

M（x_M，y_M） ① 在 m≠0 ，且 m≠±1 的條件下， 為直線 BD 的

方程.根據設計意圖追問可進一步深化學生的思維，讓學生清晰地認識到問題的本質．如此設計，意在讓學生明確：當遇到幾何問題時，換一個角度或思維去分析，或許能有新的發現.

師：此問明確指出四邊形的對角線交點恰好位于橢圓的焦點處，并且直線MN過定點與參數c有關.若將該交點移動至橢圓長軸上的其他位置，會得出怎樣的結論呢？

生9：根據以上探索可知，設 S（s，0）（-a 為MN必定經過的點.

師：如果交點位于短軸的 T（0，t）（-b （過程略）.師：根據上述探索，是否能夠提煉出相應的猜想？生11：假設橢圓內的點 Q（s，t） 為交點，那么 就是直線MN恒過的定點.

師：非常好！結合以上特例可初步判斷該猜想是成立的，具體的證明過程，有興趣的同學可以在課后繼續研究.

設計意圖鼓勵學生自主提出問題、分析問題和解決問題，使其在這一過程中深入感知從特殊到一般思想方法，進而形成合理猜想.這不僅讓學生深入理解問題本質，還提升了數學合情推理和解題能力．學生在思考中積極動腦，激發數學理性精神，對促進核心素養發展至關重要.

3.提煉總結，發展素養

師：本節課我們探索了哪些問題？這些問題有什么共同點？在探索過程中又應用了哪些研究方法？

學生討論總結：問題涉及橢圓內接四邊形對角線垂直，探討面積最值與對角線中點連線過定點.研究方法包括分析對角線垂直關系，設定一條直線斜率為，另一條為- ，建立方程得出結論.

設計意圖教學方式的首尾呼應使課堂形成閉環．學生探究問題的“變”與“不變”，體會解題樂趣，發現數學本質，為提升學習能力打下基礎．同時，學生在提煉與總結中養成用數學思維思考問題的習慣，提升邏輯推理和抽象概括能力.

思考與感悟

1.選擇具有生長性的素材

復習教學并不是面面俱到地全覆蓋教學，而是根據教學需要選擇恰當的內容展開教學.這要求教師基于對數學、學生及教學的深刻理解，精選具有生長性的素材作為教學內容.尤其是解題教學，可根據實際需求精心挑選引例，以吸引學生的注意力，讓學生主動進入課堂探索狀態[2．本節課，教師結合學情與復習需求，選取對角線互相垂直的橢圓內接四邊形問題進行深入剖析.引導學生圍繞對角線交點的不同位置，探究各類相關問題，促使學生在解題過程中感悟數學中的“變\"與“不變”，有效推動了學生數學學習能力的提升

2.提出具有挑戰性的問題

問題對于數學課堂而言具有引領性作用，尤其是變式問題的應用，能夠進一步激活學生的思維，讓學生“跳一跳，摘到桃”.課堂上，若教師未能精準把握學情，提出的問題要么缺乏思維含量，要么難度過高，都難以真正揭示數學本質，更不利于學生核心素養的發展.處于學生思維最近發展區的問題，有助于拓展學生思維深度，提升學習能力．同時，鼓勵學生自主解決問題，并引導他們及時反思與總結，能夠有效增強學生的學習成就感，使其更充分地享受學習的樂趣

3.設計具有思辨性的變題

數學學科在發展學生思維方面具有重要價值.在課堂教學中，借助變式題引導學生經歷從特殊到一般的思維過程，能夠幫助學生深入理解問題的本質與演變邏輯，這是培養學生創新意識的關鍵路徑.本節課，教師創設問題情境，例如以對角線交點位于焦點位置為切入點，引導學生先探究坐標縱橫軸上的點，進而延伸到橢圓內部的點.這種由淺入深的探究過程，不僅有效激發了學生的學習興趣，還促使他們主動觀察、提出問題并進行合理猜想，從而培養了良好的思辨能力，為發展數學學科核心素養筑牢根基

綜上所述，在數學解題教學中，教師應依據教學目標與學生實際，精選具有啟發性和拓展性的教學素材，通過巧妙加工與整合，設計出富有挑戰性的問題，以此激活學生的思維，揭示數學本質，為培養學生數學學科核心素養創造有利條件.

參考文獻：

[1］朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學[J].數學教育學報，2020，29（2）：49-52.

[2]陶冶.在\"變與不變\"中凸顯本質呈現規律—以橢圓內接四邊形的復習教學為例[J].中學數學月刊，2015（9）：21-24.