理解數學是做好數學教學的前提

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0033-05引用格式：.理解數學是做好數學教學的前提[J].中國數學教育（初中版），2025（7）：33-37.

一、問題的提出

筆者在調研中發現教師對數學理解不到位導致教學低效的現象普遍存在．例如，教師知識傳授生硬直接，忽視知識發展的必要性，使得學生陷入機械記憶的囧途，思考能力鈍化難以體會數學的理性魅力；教學流于淺層，缺少對教材內容的深度理解，不重視厘清知識發生發展的內部邏輯及其本質，使得學生的認知停留于淺層，難以走向深度明理；教學時就知識講知識、就題講題，導致知識呈碎片化、割裂化，忽視對教學內容的整體分析，對數學知識本質、實質性結構挖掘不到位，使得學生難以建構具有支撐意義的結構化知識體系，阻礙深度學習發生．“散、碎、淺”的教學使學生成為知識技能的記憶模仿者，難以成為問題的發現者、提出者，難以發揮“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用”的育人價值．因此，教師明白“教什么”很重要，理解數學是教好數學的前提.

物的基本特質．數學知識的本質就是數學知識所固有的基本特質或根本屬性.數學是研究數量關系和空間形式的科學．數學知識的本質體現為對事物進行抽象后得到數學研究對象一一數學概念，進一步抽象、推理、建模得到研究對象的數量關系及空間形式的屬性、關系和規律．把握數學知識的本質，需要教師從對數學淺層的“知其然”“機械用”的工具性理解過渡到“知其所以然”，以及知識間深層、復雜、遠距關聯的關系性理解．例如，數與式之間是具體與抽象、特殊與一般的關系，整數、分數、整式、分式的運算看似規則不同，其實有著“運算單位一致性”的共同本質.

2.體會數學思維特征

心理學研究表明，思維的發展是智力、能力發展的核心．數學的思維作為人們理解與解釋現實世界的特有思考方式，體現在揭示事物本質、建構對象之間關系、合乎邏輯地推理論證、借助數學符號形式推理運算、從具體到一般、形式化等方面，進而發展抽象概括、條理表達、重論據、遵邏輯的良好思維品質與理性精神．章建躍博士將數學思維的特征概括為“一個結構、兩個方向、三種語言、四種形式”，即數學地認識事物的基本結構是“定義概念一推導性質一建立聯系一實踐應用”；數學思維有兩個相輔相成的方向或

二、理解數學的基本內涵

1.把握數學知識本質

從哲學的視角來看，事物的本質是區別于其他事方面一一歸納和演繹；數學思維的工具是三種語言，即符號語言、圖形語言和文字語言；數學思維的基本形式有邏輯推理、代數運算、幾何直觀、數形結合.數學思維是人類智慧的升華，是數學蓬勃發展的根基，是數學教學的重中之重．體會數學的思維特征是教師理解數學必經的靈魂之旅，是教師把握好數學教學的本末與主次的關鍵.

3.詮釋數學育人價值

數學是人類文明成果的重要組成部分，承載著熠熠生輝的數學思想和源遠流長的深厚文化.數學在思想、文化、美學等方面有著極其深遠的育人價值．理解數學需要教師能夠詮釋數學知識蘊含的科學方法、理性精神等豐富的思想內涵；了解數學發展的歷史脈絡，體悟數學史在觀念、思維方式方面的深遠影響；欣賞數學之美，理解數學簡潔、統一、對稱、秩序等美學意蘊；挖掘人文價值，發揮數學研究對象中的德育價值與人文關懷.

理解數學，即對數學知識知本質、會例釋、善聯系，把握數學知識的邏輯體系和結構，深刻認識蘊含其中的數學思想方法和價值觀資源.理解數學需要教師能夠以聯系發展、結構化的視角把握數學知識的本質，以上位的觀點、理性的視角體會數學思維的特征，以深刻的認識、宏觀的視角詮釋數學的育人價值．教學中應該從哪幾個視角理解數學提升教學品質？下面，筆者結合教學實踐進行探索思考．

三、基于理解數學的課堂教學實踐與思考

1.揭示學習之因，做好課堂引入

好的開始是成功的一半．一節高品質數學課的引人應該讓學生明白為何學，體會知識發展的必然性，揭示學習之因，感受數學發展的軌跡．正如史寧中教授所言，任何一個概念、方法的引入必然有他的必要性，硬性規定對培養孩子的思考能力、核心素養都不利.

案例1：乘法公式的探究引入.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）關于乘法公式的要求：理解乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b² ， （a±b）²=a²±2ab+b² ，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理．為了更好地厘清知識間的邏輯關系、把握其數學本質、設計教學，筆者查閱了2012年出版的人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）、蘇科版教材、滬科版教材、北師大版教材，梳理不同版本教材中乘法公式的引入設計并進行對比研究，如表1所示.

總體來說，各版本教材在乘法公式引人環節可以概括為兩種方案.

方案1：從幾何背景出發，通過“圖形面積問題”形成意義建構，揭示式子特征，形成猜想，通過多項式乘法進行代數推理予以證明得到乘法公式.

方案2：以多項式相乘特例為引子，依據多項式乘法 （a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd 探究并通過代數推理得到乘法公式，然后設計“圖形面積問題”形成幾何解釋.

《標準》指出，在教學中要了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構.

方案1是通過觀察圖形特征，從不同角度計算圖形面積得出猜想引入乘法公式，雖然這種方式較為直觀，但是圖形何以來？學生能做到但不易想到，與學生所學習的章節主題“整式乘法”銜接不夠自然．其實，從知識發生發展的邏輯來看，乘法公式的產生源自多項式乘法的特殊情況．對于 （a+b）（c+d）=ac+ ad+bc+bd ，當 a=c ， d=-b 時，即平方差公式 （a+b）? （a-b）=a²-b² ；當 a=c，b=d 時，即完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b² 而 （a-b）² 實際上是 （a+b）² 的變式從代數和的角度來看，它們是辯證統一的， （a-b）²= a²-2ab+b² 的得出自然而然.

方案2是基于數學內部情境引入，更符合知識發生發展的邏輯，體現了數學研究從一般到特殊的思想，更有利于學生體會到從數及數的運算發展到一般化的式及式的運算，數的乘法有特例可以簡便運算，乘法公式是整式乘法的特例值得研究，因此，在教學中可以以方案2引入探究，并在此基礎上拓寬探究空間，鼓勵學生自主提出特例，如 （a+b+c）（a-b-c） （a±b）³ 等，使學生的學習路徑形成遷移聯系，在知識間建立有意義關聯．基于數學知識本源，揭示研究之因，提高學生的理性思考能力，促進學生將知識體系化，有利于學生從“學會”走向“會學”，增強對未來學習的支撐意義.

2.厘清知識邏輯，挖掘教材價值

數學教學以知識為載體展開，而知識的發生發展是有邏輯的．如果教師對知識的底層邏輯挖掘不到位，對數學知識的聯系與結構理解浮于表面，就會陷入單純、散裂的知識教學，數學思維的培養便如無源之水，難以彰顯．高品質的數學課需要教師對所教知識的整體脈絡及結構有深入的理解，要能夠從高觀點理解教材，把握知識邏輯及其所承載的思維邏輯，進而挖掘教材價值，靈活運用教材中的素材，而非照本宣科.

案例2：直線、射線、線段概念課教學.

直線、射線、線段是最基本的幾何圖形，它們是幾何學習的基礎，對于發展學生的幾何直觀、推理能力、抽象能力有著重要的價值．同時，該節課作為幾何的入門課，其建構研究圖形的一般方法、路徑對后續幾何知識學習有著統領意義．在實施蘇科版教材七年級上冊“直線、射線、線段”的教學時，為了更好地理解其數學本質，明晰知識間的邏輯關系，進而厘清教學邏輯，提升數學課堂的思維品質，筆者查閱并梳理2024年和2012年出版的不同版本教材中關于“直線、射線、線段”內容的設置，如表2所示.

《標準》在第四學段對線段、射線、直線內容要求給出了明確表述，四個版本教材的編寫都體現了課程標準的要求，但是知識的編排順序存在差異，內容呈現上也有略微差異．對比不同版本新、舊教材，發現人教版、蘇科版的新、舊教材在知識呈現順序上均有明顯調整.

雖然四個版本的新、舊教材中都強調了“三線”的關系，但是主從關系存在差異．那么知識之間的本質關系是什么？追溯《幾何原本》，其中是基于點、線、直線、面、角等23個定義、5條公設及5條公理構建的邏輯體系，線段、射線并不在23個定義之列，那么基于幾何知識發展邏輯的視角，直線是射線、線段的上位概念，它們之間是整體與部分、一般與特殊的關系，而“三線”都可以用兩個大寫字母來表示.基本事實“兩點之間線段最短”中，“最短”的邏輯根源皆是基本事實“兩點確定一條直線”的唯一性．由此可見，蘇科版新教材將原本位于舊教材第一學習順序的基本事實“兩點之間線段最短”調整至基本事實“兩點確定一條直線”之后，更符合知識發生發展的邏輯，即先探究基本事實“兩點確定一條直線”并形成圖示、名稱、確定條件、表示方法及依據的探究框架，然后通過類比遷移，讓學生自主探究射線、線段．這種方式更有利于學生明晰知識發展的邏輯，促進知識結構化，體悟公理化思想.

四個版本的新、舊教材中線段和差與兩點間距離的呈現順序存在差異，人教版新教材將原本位于舊教材最后學習順序的基本事實“兩點之間線段最短”及兩點間距離的內容調整至線段的和差之前，進行順序調整的底層邏輯是什么？定性分析和定量分析的相互轉化是幾何知識發展的基本機理，兩點間的距離是基于“線段是兩點間的最短路徑”這一性質對線段長度的量化描述，是用數量刻畫兩點間的空間關系，進行定量分析，亦即“線段可度量”是線段長短比較和運算的前提和依據，由此啟示我們在線段和差的教學中，不應僅僅停留在對圖示的淺層感知，還要引導學生明晰底層邏輯“線段可度量”是線段可運算的核心依據.

四個版本的教材中并未均提及兩直線交點情況、點線的位置關系，它們與本知識版塊的聯系是什么？是否有學習的必要？《幾何原本》中對直線的定義是“直線是點沿著一定方向及其相反方向無限平鋪”，即點是直線最基本的構成要素．史寧中教授曾指出，與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關系更為本質．可見，教學中增加平面內點與直線、直線與直線的位置關系的研究是有必要的．通過圖形語言、符號語言的抽象，不僅可以促進知識間的關聯與系統化，提升學生的思維品質，還有助于啟迪學生形成對幾何世界的客觀認識.幾何既關注單個圖形的性質又關注圖形之間的關系，進而明晰幾何研究的一般路徑是“背景一定義與表示一性質（關系、規律）一結構與聯系一應用”，引導學生以聯系、發展的眼光看問題，促進核心素養的發展.

3.教學內容結構化，觸發深度學習

《標準》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系．北京師范大學郭華教授曾指出，深度學習的五個特征分別是聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用、價值與評價．其中，聯想與結構特征需要學生具備記憶、理解、關聯的能力，以及系統化的思維及結構能力的共同參與，聯想重在喚醒或改造學生已有的知識經驗，觸發新知生成，而結構是對經驗與知識的整合與結構化．學習數學學科的基本結構，以聯想、結構的方式去學習，是數學深度學習發生的重要特征．這依賴于教師對數學知識產生的緣起及知識間的結構與關聯有充分的認識，理解數學學科本質，以聯系的視角有意義地建構數學概念、性質、法則、定理等，促進知識結構化.

案例3：分式的學習.

查閱2012年出版的人教版、蘇科版、滬科版、北師大版教材，發現分式概念學習的起始都是基于將實際情境問題轉化為數學問題，列出代數式進而歸納得出分式的共同特征．形如 ， A ， B 均為整式且 B 中含有字母的式子稱為“分式”.這符合概念課實施的一般套路，即背景引入一歸納特征一形成概念.學生雖然能意識到分式是解決現實生活問題的重要模型，有學習的必要性，但是并不能知曉學習分式的根本原因，更做不到讓已有的關于“數”的學習經驗自覺而有意義

地參與到分式的學習中去.

從數學知識的內部發展邏輯而言，式是數的一般化，數是式的特例．數的運算有加、減、乘、除，那么式應該有相同的運算．減法是加法的逆運算，乘法是特殊的加法，除法是乘法的逆運算．因此，整數運算的學習順序是先學加減后學乘除，那么整式的運算也應該是同樣的順序，這是知識發展的必然邏輯.

基于以上思考，教師可以在分式概念課起始階段先設計問題“從小學到初中，數系經歷了從整數、分數到有理數再到實數的擴充．整數是我們最先學習的一類數．我們知道整數的基本運算有加、減、乘、除，類比整數的運算，整式的運算有哪些？我們已經學習了哪些整式的運算？你認為我們還要研究關于整式的什么運算？兩個整數相除的結果是整數或分數，兩個整式相除的結果有多少種可能？”然后幫助學生建立宏觀知識圖，如圖1所示．最后通過實際問題解釋分式的現實意義，讓學生體會數學與生活的緊密聯系，以及普遍聯系的辯證唯物主義觀點.

經歷以上知識建構，學生從宏觀的視角理解分式是數學發展的邏輯必然，體會分式與分數、分式與整式之間的緊密聯系與區別，類比分數的研究路徑（基本性質一分數運算）和整式的研究路徑（概念一運算一方程一解決實際問題），自主提出下一步研究分式的脈絡，并進行深人的數學學習與探究．在知識結構化的過程中，鼓勵學生形成數學對象研究的一般路徑，發展抽象能力，以及發現問題與提出問題的能力；在聯想與結構、遷移與應用中，觸發學生深度學習，發展高階思維的結構性、主動性、創新性等特質.

四、結束語

理解數學、理解學生、理解教學是數學教師專業發展的三大基石.教師的知識掌握程度對教學實踐起著關鍵的影響，教師的知識變化會引發教學活動實施與決策的變化，更會影響學生的學習與生成．理解數學是做好數學教學的前提.隨著時代的發展，數學學科自身在發展，數學育人的目標也發生了根本性的變化，從知識目標到素養目標，是立足基礎知識與基本技能的迭代發展而不是舍本求末，教師對數學的理解也應與時俱進，不斷迭代發展，知行合一，在實踐與探索的漫漫長路上，不斷上下求索.

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