試題評閱視角下的學(xué)生錯誤分析及教學(xué)啟示

1選擇題

試題1（2024年江蘇省蘇州市中考第8題）如圖1，矩形ABCD 中， BC=1 ，動點 E，F(xiàn) 分別從點 A，C 同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿 AB，CD 向終點 B，D 運動，過點 E，F(xiàn) 作直線 ξ_l ，過點 A 作直線 l G ，則 AG 的最大值為（ ）.

的垂線，垂足為點 C.2 D.1

分析：本試題重點考查矩形的基本特征、動點運動規(guī)律及圓與幾何圖形的位置關(guān)系等核心知識點.解題的核心思路在于，通過分析矩形的幾何特性，結(jié)合直角三角形斜邊上中線的特殊性質(zhì)，準確判斷點 G 的運動路徑.解題步驟是先連接對角線AC 與 BD 并設(shè)其交點為 O ，然后選取OA 的中點 H 并與點 G 相連，最后運用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理，推導(dǎo)出點 G 的運動軌跡，進而求得AG 長度的最大值.（具體解析過程略，可掃碼查看.）

學(xué)生錯誤分析：在本題中，學(xué)生主要錯誤集中在對矩形性質(zhì)、動點軌跡和與圓有關(guān)的位置關(guān)系的理解不準確.

很多學(xué)生未能充分利用矩形的幾何特性，尤其是在動點 E，F(xiàn) 同時運動時，未能正確建立軌跡的數(shù)學(xué)模型.由于題目涉及動點 ε 和 F 沿矩形的邊 AB，CD 同時運動，學(xué)生容易忽視這兩個點的同步性，以及與圓、直角三角形斜邊中線性質(zhì)的關(guān)聯(lián).

部分學(xué)生由于未能準確識別點 G 的運動軌跡，錯誤地認為 AG 的長度只是受動點 E 運動位置的直接影響，導(dǎo)致在解答中未充分考慮點 G 實際處于直角三角形中的幾何關(guān)系，特別是未利用斜邊中線性質(zhì).

還有一部分學(xué)生忽略了將矩形對角線的交點 o 作為參考，無法借助中點和垂線關(guān)系推導(dǎo)出 AG 的最大值.因此，誤選選項C或D的情況較為常見.

這些錯誤反映出學(xué)生對圖形中動點變化的動態(tài)理解不足，缺乏對題目幾何本質(zhì)的深刻領(lǐng)會.

2填空題

試題2（2024年江蘇省蘇州市中考第16題）如圖2，在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° CB=5，CA=10 ，點 D，E 分別在 AC，AB 邊上， .連接 DE ，將 ΔADE 沿 DE 翻折，得到 ΔFDE ，連接 CE，CF 若 ΔCEF 的面積是ΔBEC 面積的2倍，則

分析：本題目作為填空壓軸題，具有較強的綜合性，重點檢測學(xué)生對相似三角形的判定條件與幾何特征、圖形折疊變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定方法與特殊性質(zhì)、全等三角形的判定依據(jù)與對應(yīng)關(guān)系，以及三角形面積計算公式等幾何知識的掌握及綜合運用能力.解答本題的關(guān)鍵在于深入理解這些幾何知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能靈活運用于解題過程中.

設(shè) AD=x ，則 .根據(jù)折疊性質(zhì)得 DF= AD=x ， ∠ADE=∠FDE 過點 E 作 EH⊥AC 于點H ，設(shè) EF 與 AC 交于點 M ，易證 ΔAHE～ΔACB ，得到 =AB，進而得到EH=x，AH=2x，可知 RtΔEHD 是等腰直角三角形，得到 ∠HDE= ∠HED=45^° ，所以 ∠FDM=90^° .證明 ΔFDM? ΔEHM（AAS） ，得到 x，則 CM= 2x.根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合已知可得 ，然后解一元二次方程求解 x 的值即可.（具體解析過程略，可掃前面二維碼查看.）

學(xué)生錯誤分析：在本題的解答過程中，學(xué)生的主要錯誤集中在對相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊后的幾何關(guān)系及三角形面積計算公式的正確運用上.許多學(xué)生在解題時，未能正確應(yīng)用相似三角形的比例關(guān)系.

例如，雖然題目提示了 ΔAHE～ΔACB 的相似關(guān)系，但學(xué)生往往未能正確建立對應(yīng)邊的比例關(guān)系，導(dǎo)致無法準確計算出 EH，AH 等關(guān)鍵幾何量.

部分學(xué)生在處理折疊后 這一關(guān)系時，未能深入理解等腰直角三角形的特性，尤其是在證明 ∠HDE=∠HED=45^° 時產(chǎn)生了困難，進而無法順利推導(dǎo)出

此外，在三角形面積的計算上，一些學(xué)生未能準確利用三角形面積計算公式，尤其是在處理兩個三角形面積之比時，誤解了題干中“ ΔCEF 的面積是ΔBEC 面積的2倍”這一關(guān)系，導(dǎo)致最終列出的面積方程有誤，不能正確解出 x 的值.

部分學(xué)生雖然列出了正確的面積關(guān)系式，但在解一元二次方程時，由于代數(shù)運算不熟練或計算細節(jié)出錯，導(dǎo)致求解結(jié)果不正確.

這些問題暴露了學(xué)生在解綜合性題目時推理鏈條不夠嚴謹，幾何與代數(shù)運算的結(jié)合能力有待加強.

分學(xué)生未能準確掌握二次函數(shù)的標準形式，導(dǎo)致求解的步驟不完整，尤其是在處理函數(shù)圖象經(jīng)過已知點的代人運算時，出現(xiàn)了公式應(yīng)用上的錯誤.很多學(xué)生未能準確應(yīng)用題目中給出的點 A，B，C 等條件，導(dǎo)致無法正確推導(dǎo)出 C₁ 和 C₂ 的函數(shù)表達式.

在第二問中，涉及直線 l 與二次函數(shù)的交點及對稱軸的幾何關(guān)系.部分學(xué)生未能準確把握二次函數(shù)的對稱性特征，未能正確理解 PQ=MP+QN 這個幾何關(guān)系的意義，尤其是在解答過程中，未能將二次函數(shù)的對稱軸與幾何關(guān)系有效結(jié)合，導(dǎo)致在計算點 P，M 的坐標時出現(xiàn)偏差.特別是求解 χ_t 的過程中，學(xué)生常因漏算或代人錯誤，導(dǎo)致最終結(jié)果出錯.

第三問中，學(xué)生在處理圖形折疊及 EF//AD 的條件時，常未能充分理解矩形和相似三角形的性質(zhì).部分學(xué)生對于過點 F 分別作 ED 與 x 軸的垂線FI和FJ 的幾何構(gòu)造不夠清晰，無法通過斜率或相似三角形的比例關(guān)系準確推導(dǎo)出相關(guān)量.此外，部分學(xué)生在利用 EF//AD 這一條件解方程時，未能合理運用三角函數(shù)的定義，導(dǎo)致在推導(dǎo) tan∠FAB=tan∠ADG 時中 為 ED 與 x 軸的交點）出現(xiàn)計算錯誤，最終無法正確求解出 C₂ 的函數(shù)表達式.這反映了學(xué)生在處理二次函數(shù)綜合性問題時，幾何思維與代數(shù)運算的結(jié)合能力有待提高.

3解答題

試題3（2024年江蘇省蘇州市中考第27題）如圖3，二次函數(shù)y=x²+bx+c 的圖象 C₁ 與開口向下的二次函數(shù)圖象 C₂ 均過點A（-1，0），B（3，0）

（1）求圖象 C₁ 對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）若圖象 C₂ 過點 C（0，6） ，點

P 位于第一象限，且在圖象 C₂ 上，直線 l 過點 P 且與x 軸平行，與圖象 C₂ 的另一個交點為 Q （點 Q 在點 P 的左側(cè)），直線 ξ_l 與圖象 C₁ 的交點為 M，N （點 N 在點M 左側(cè)）.當 PQ=MP+QN 時，求點 P 的坐標；

（3）如圖 4，D，E 分別為二次函數(shù)圖象 C₁，C₂ 的頂點，連接 AD ，過點 A 作 AF⊥AD ，交圖象 C₂ 于點F ，連接 EF ，當 EF//AD 時，求圖象C₂ 對應(yīng)的函數(shù)表達式.

（具體解析過程略，可掃前面二維碼查看.）

國生學(xué)生錯誤分析：在本題的解答過程中，學(xué)生的主要錯誤集中在對二次函數(shù)圖象的對稱性、幾何變換及相關(guān)條件的理解和應(yīng)用不準確.

4教學(xué)啟示

在教學(xué)中，教師應(yīng)更加注重二次函數(shù)的核心概念理解與靈活應(yīng)用，特別是在函數(shù)圖象的對稱性、頂點及零點的幾何意義方面，加強學(xué)生對這些知識點的深刻理解.

要注重培養(yǎng)學(xué)生幾何與代數(shù)的融合思維，幫助學(xué)生從幾何圖象的變化中探尋代數(shù)表達式的特征，如對稱軸、頂點和交點的幾何位置及變化規(guī)律.

同時，針對學(xué)生在幾何構(gòu)造和比例關(guān)系中的計算偏差，教師應(yīng)加強多步推導(dǎo)過程中對條件的合理應(yīng)用，強化函數(shù)與幾何問題中的嚴謹推理和邏輯思維訓(xùn)練.

此外，教師應(yīng)通過多樣化的問題設(shè)置與實例練習(xí)，幫助學(xué)生提升空間想象能力，尤其是在處理折疊、對稱及復(fù)雜幾何關(guān)系時，訓(xùn)練他們將代數(shù)運算與幾何分析有效結(jié)合的能力.

這種綜合性較強的題型需要學(xué)生能夠在函數(shù)知識和幾何知識之間建立緊密聯(lián)系，因此教學(xué)中要著力培養(yǎng)學(xué)生多角度審題與靈活轉(zhuǎn)換思維的能力，以應(yīng)對復(fù)雜的應(yīng)用性問題[1].

參考文獻：

[1]朱木清.理科考試，你會用草稿紙嗎？—評閱一道調(diào)考試題引發(fā)的思考[J].考試周刊，2013（19）：5-6.