一道教材習(xí)題學(xué)生提問(wèn)引發(fā)的探究和思考

1課堂片段

1.1學(xué)生疑問(wèn)

（滬科版九年級(jí)上冊(cè)第92頁(yè)第12題）已知：在ΔABC 中， AC=BC . ∠C=90^° ，點(diǎn) P 在三角形內(nèi)，且滿足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA

求證： S_ΔPAB=2S_ΔPCA

在講解完本題的時(shí)候，有學(xué)生舉手示意，他的疑問(wèn)是“點(diǎn) P 是如何通過(guò)尺規(guī)作圖找到的”.

這是一個(gè)善于思考的優(yōu)秀學(xué)生，筆者并沒(méi)有因?yàn)樗騺y教學(xué)計(jì)劃而避開(kāi)這個(gè)話題，同時(shí)有預(yù)感，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的深人研究會(huì)對(duì)后面的教學(xué)產(chǎn)生非常有利的效果，于是當(dāng)即決定調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，和同學(xué)們一起深人探究思考本題.

1.2問(wèn)題探究

探究的第一步是如何通過(guò)目前所學(xué)的幾何理論找出點(diǎn) P

（1）假設(shè)存在，逆推條件

如圖1所示，設(shè) P 為 ΔABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足 ∠PAB= ∠PBC=∠PCA=α

因?yàn)? 1∠PCA=α ，所以可得 ∠CBP+ ∠BCP=∠ACP+∠BCP=90^° 所以 ∠BPC=90^° ，由此得出 ΔBPC 為直角三角形.取 BC 中點(diǎn) O ，則 （長(zhǎng)為定值）.根據(jù)圓的定義，很快確定出點(diǎn) P 在以 O 為圓心， 長(zhǎng)為半徑的圓上，且在△ABC內(nèi)部.由此確定出點(diǎn) P 第一個(gè)軌跡（虛線所表示），如圖2所示.

從類似的角度，同學(xué)們繼續(xù)探究點(diǎn) P 滿足的第二個(gè)條件：由 ∠PBC=∠PAB ，可得 ∠PAB+∠PBA= ∠PBC+∠PBA=∠ABC=45^°

所以 ∠APB=180^°-45^°=135^° 同理， ∠CPA=135^°

此時(shí)已經(jīng)有學(xué)生敏銳地抓住了“定角對(duì)定弦軌跡為圓\"這個(gè)本質(zhì)，但由于滬科版圓尚未學(xué)習(xí)，學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)了，但并未想到解決之道，于是筆者決定在這里暫時(shí)不補(bǔ)充圓，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從目前所學(xué)的相似入手，解決這個(gè)問(wèn)題.

此時(shí)，有學(xué)生提出由于△ABC的特殊性，可以得到以下兩個(gè)結(jié)論：

①ΔAPB～ΔCPA

②由 ，可得 S_ΔPAB=2S_ΔPCA .（這也是課本原題要證明的結(jié)論）.

如圖3所示，設(shè) AP 的延長(zhǎng)線交 BC 于點(diǎn) G ，分別作 CM⊥AP 于點(diǎn) M，BN⊥AP 于點(diǎn) N ，由S_ΔAPB：S_ΔAPC=2：1 可得BN：CM=2：1 ，所以可得 BG：GC= 2：1 ，由此確定 G 為 BC 的三等分點(diǎn)，且 ：

如何確定三等分點(diǎn)是下一個(gè)要解決的難題.由于……