一道教材習題學生提問引發的探究和思考

1課堂片段

1.1學生疑問

（滬科版九年級上冊第92頁第12題）已知：在ΔABC 中， AC=BC . ∠C=90^° ，點 P 在三角形內，且滿足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA

求證： S_ΔPAB=2S_ΔPCA

在講解完本題的時候，有學生舉手示意，他的疑問是“點 P 是如何通過尺規作圖找到的”.

這是一個善于思考的優秀學生，筆者并沒有因為他打亂教學計劃而避開這個話題，同時有預感，對這個問題的深人研究會對后面的教學產生非常有利的效果，于是當即決定調整教學計劃，和同學們一起深人探究思考本題.

1.2問題探究

探究的第一步是如何通過目前所學的幾何理論找出點 P

（1）假設存在，逆推條件

如圖1所示，設 P 為 ΔABC 內部一點，且滿足 ∠PAB= ∠PBC=∠PCA=α

因為 1∠PCA=α ，所以可得 ∠CBP+ ∠BCP=∠ACP+∠BCP=90^° 所以 ∠BPC=90^° ，由此得出 ΔBPC 為直角三角形.取 BC 中點 O ，則 （長為定值）.根據圓的定義，很快確定出點 P 在以 O 為圓心， 長為半徑的圓上，且在△ABC內部.由此確定出點 P 第一個軌跡（虛線所表示），如圖2所示.

從類似的角度，同學們繼續探究點 P 滿足的第二個條件：由 ∠PBC=∠PAB ，可得 ∠PAB+∠PBA= ∠PBC+∠PBA=∠ABC=45^°

所以 ∠APB=180^°-45^°=135^° 同理， ∠CPA=135^°

此時已經有學生敏銳地抓住了“定角對定弦軌跡為圓\"這個本質，但由于滬科版圓尚未學習，學生雖然發現了，但并未想到解決之道，于是筆者決定在這里暫時不補充圓，繼續引導學生從目前所學的相似入手，解決這個問題.

此時，有學生提出由于△ABC的特殊性，可以得到以下兩個結論：

①ΔAPB～ΔCPA

②由 ，可得 S_ΔPAB=2S_ΔPCA .（這也是課本原題要證明的結論）.

如圖3所示，設 AP 的延長線交 BC 于點 G ，分別作 CM⊥AP 于點 M，BN⊥AP 于點 N ，由S_ΔAPB：S_ΔAPC=2：1 可得BN：CM=2：1 ，所以可得 BG：GC= 2：1 ，由此確定 G 為 BC 的三等分點，且 ：

如何確定三等分點是下一個要解決的難題.由于前面剛剛學過平行線分線段成比例，對于這個難題，學生略加思索就想到了解決方法，如圖4所示.

作法：在射線 CQ 上依次截取CC₁=C₁C₂=C₂C₃=m ，連接 BC₃ ，過點 C₁ 作 C₁G//BC₃ ，則 G 為 CB 的三等分點，且 ，此時連接 AG ，與圓弧的交點即為點 P

那么由這兩個條件構造而成的交點是否符合題目要求呢？

此時學生太想知道自己的研究是否能夠得到認可.我們用幾何畫板測量最終結果（如圖5），精確到十萬分之一，測量結果顯示了研究的正確性，同學們異常興奮.筆者意識到此時是培養學生嚴謹性的最佳時期，于是提出這只是正向推導的結果，但逆向證明是否一定正確呢？實踐可以提示解決問題的方向，但不能替代數學證明.

（2）構建問題，驗證假設

如圖6所示，在 RtΔABC 中，∠ACB=90^° CA=CB，G 為BC邊上一點，且 BG=2CG，O 為 BC 中點，以 o 為圓心， 長為半徑的弧與線段 AG 交于點 P ，求證： ∠PAB=∠PBC=∠PCA

如果這題沒有前面的研究作為基礎，對于九年級上學期的學生來說，難度還是有點大，不過經過了剛才的作圖過程，學生都了解條件的作用，通過逆向研究，給出了完美的證明.

證明：如圖7，過點 o 作 MO⊥ BC ，交 AP 延長線于點 M ，延長PO 至點 N

因為 BG：CG=2：1，CO= BO，MO//AC ，所以 1

設 BC=6a ，則可得 CG=2a ， OC=3a ，所以 OG=a ，于是 OM= 3a=OC

又因為 OP=OC=OB ，所以 OM=OP，OM= OB ，所以 . ∠OPB= （2

所以 所以 ∠PAB+∠PBA=45^° 又 ∠PBC+∠PBA=45^° ，所以 ∠PAB=∠PBC

因為 OP=OC=OB ，所以可知 ∠CPO=∠PCO .∠OPB=∠PBO 結合三角形內角和為 180^° ，可得∠CPB=90^° ，從而 ∠PCB+∠PBC=90^°

因為 ∠PCA+∠PCB=90^° ，所以 ∠PCA=∠PBC 所以 ∠PAB=∠PBC=∠PCA 至此本題驗證完畢.

2教學成效

由于課堂時間有限，于是筆者讓學生在課后繼續研究本題還具有哪些性質，并于第二天上交研究心得.學生的研究成果遠遠超乎筆者的想象.部分學生的研究結論如下：

結論1三條線段數量關系及所分割三角形面積關系為： S_ΔPBC=1：2：2. （2號

結論1可以通過 ΔAPCΔPBA 來證明，此處不再詳證.

結論2依次延長 AP，BP，CP ，分別交 ΔABC 三邊于點 G，H，L ，則 AL：AB=CG：CB=1：3，H 為 AC 中點.

證明：如圖8，過點 A 作AK//BC ，交 CL 延長線于點 K ：

因為 PC：PA=PA：PB= ，所以 PC：PB=1：2 ，可得 CH：BC=1：2 ，且 CA=CB ，所以 H 為 AC 的中點.

由 ∠ACK=∠HBC ，得 AK：AC=HC：BC= 1：2 ，所以 AL：LB=1：2. 故 AL：AB=1：3

還有學生利用課后時間在網上學習后再結合本題，提出了三角形的“布洛卡點”及相關性質，這正是我們在課堂教學中一直努力追求的思維拓展和核心素養.

3教學感悟

所有的課堂，不會都按照教師的預設而來，通過這節課的意外收獲，也得到以下幾點感悟：

（1）要充分利用課堂中出現的“意外”，盡量把握住每一串火花

教師在教學過程中，只能盡可能把學生思維往既定目標去引導，但中途可能會有學生思維異常活躍，這對老師來說既是挑戰也是機遇.一旦出現這樣的思維火花，需要教師及時調整教學計劃，讓學生作為主角去展示自己，培養他們敢于疑問、善于思考、勇于探索的精神.

（2）“意外\"之后還需繼續關注教學目標

教學意外既是隨機產生的，無任何預設性，可能會和預設教學產生沖突，對沒有完成的教學任務要在課下或后續課程中及時補上，因為教學任務是從全班學生入手，從整體學習目標出發，具有不可替代的作用.

（3）解決好“意外\"還需要教師不斷修煉好內功

意外本身就是個體差異的表現，教師必須要時刻準備著用自己的智慧點燃學生激情，培養學生數學素養，對此教師需不斷提升教學素養.當教師擁有深厚的底蘊，哪怕學生一個小小的疑惑，也能在其有效引導下開拓一片新天地.