初中平面直角坐標(biāo)系新定義試題例析

1基于距離坐標(biāo)定義的平面幾何問題

如圖1，在平面中有兩條直線 l₁ 和 l₂ ，其相交于點 o ，在平面上存在點 M ，點 M 到直線 l₁ 和 l₂ 的距離分別是 Σ_P 和q ，則定義有序非負(fù)實數(shù)對（Π_P，q） 為點 M 的“距離坐標(biāo)”

根據(jù)上述定義，有以下幾個結(jié)論： ① “距離坐標(biāo)”是（0，2）的點有1個； ② “距離坐標(biāo)”是（3，4）的點有4個；③ “距離坐標(biāo)” 滿足 p=q=0 的點有4個.其中正確的有 （填序號）.

解析： ① 錯誤，“距離坐標(biāo)”為（0，2）的點有且僅有2個； ② 正確，4個交點為與直線 l₁ 相距為3的兩條平行線和與直線 l₂ 相距為4的兩條平行線的交點； ③ 錯誤，“距離坐標(biāo)” （Π_P，q） 滿足 p=q=0 的點，即“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有且只有1個.故填 ②

試題分析：該試題類型基于對平面直角坐標(biāo)系中點到直線距離的重新定義，探索點的“距離坐標(biāo)”概念.通過引入距離坐標(biāo) （Π_P，q） ，考查點到兩條相交直線的距離關(guān)系，并要求學(xué)生運用幾何直觀和邏輯推理，識別不同情況下的點的數(shù)量及其性質(zhì).具體來說，題目要求根據(jù)距離坐標(biāo)的定義，判斷不同條件下的點的數(shù)量，涉及距離的幾何特性、平行線的關(guān)系及直線相交的性質(zhì).這樣的題目不僅能幫助學(xué)生理解幾何概念，還能鍛煉他們的抽象思維和空間想象能力.

解題時，首先需要明確距離坐標(biāo)的定義以及點與直線之間的距離公式.在本題中，解題的關(guān)鍵在于分析給定的距離坐標(biāo) （Π_P，q） 所對應(yīng)的幾何意義.例如，對于“距離坐標(biāo)”為（0，2）的點，表示該點在直線 l₁ 上，且距離直線 l₂ 的距離為2.因此，只有兩點滿足這一條件，為直線 l₂ 上距離 l₁ 為2的點.對于“距離坐標(biāo)”為（3，4）的點，可將其視為上述四條直線與 l₁ 平行的兩條直線和與 l₂ 平行的兩條直線的交點，4個交點即為與線的交點，符合題意.最后，處理 p=q=0 的情況時， O 是唯一的交點，因此只能有1個“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點.通過對每個條件的幾何分析與邏輯推理，學(xué)生能夠清晰辨別出正確選項，進(jìn)一步深化對平面幾何的理解.

在這個問題中，考生需要綜合運用幾何知識、邏輯推理及空間想象能力，深入理解距離坐標(biāo)的幾何意義，掌握平面幾何中點、直線與距離之間的關(guān)系.這種新定義的試題類型不僅促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也增強(qiáng)了他們解決復(fù)雜幾何問題的能力[1].

2基于“t 型平移”定義的平面幾何問題

在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，我們針對任意圖形 G 及其上的點 P（x，y） 給出如下定義：將點 P 的坐標(biāo)變換為 P^′（x+t，y-t） 的過程稱為“ t 型平移”，其中 P^′ 表示變換后的對應(yīng)點.當(dāng)圖形 G 的所有點都實施這種坐標(biāo)變換時，稱為圖形 G 的“ t 型平移”變換.具體示例：若點 P（x，y） 經(jīng)變換得到 P^′（x+1，y-1） ，即為“1型平移\"變換；若變換結(jié)果為 P^′（x-1，y+1） ，則屬于4 -1 型平移\"變換.現(xiàn)給出了兩個定點 A（1，1） 和 B （3，1）作為研究對象.

（1）將點 A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”后的對應(yīng)點 A^′ 的坐標(biāo)為

（2） ① 將線段 AB 進(jìn)行“一1型平移\"后得到線段A^′B^′ ，點 P₁（2，3），P₂（1.5，2），P₃（3，0） 中，在線段A^′B^′ 上的點是 ；② 若將線段 AB 進(jìn)行“ t 型平移”后得到的線段與坐標(biāo)軸有公共點，則 Ψ_t 的取值范圍是

解析：（1）將點 A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”后的對應(yīng)點A^′ 的坐標(biāo)為 （1+1，1-1） ，即為（2，0）.

（2） ① 如圖2，將線段 AB 進(jìn)行“ -1 型平移”后得到線段 A^′B^′ ，點 P₁（2，3），P₂（1.5，2），P₃（3，0） 中，在線段 A^′B^′ 上的點是 P₂.（2）-3?t?-1 或 t=1

試題分析：該試題類型以“ t 型平移”作為核心概念，探討在平面直角坐標(biāo)系中點及圖形的平移性質(zhì).題目要求學(xué)生理解和應(yīng)用新定義的平移規(guī)則，具體分析平移后點和線段的坐標(biāo)變化，以及判斷某些特定點是否在線段上.這種題型不僅考查學(xué)生的計算能力，還鍛煉了他們對幾何圖形性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力.

解題的第一步是明確“ t 型平移”的定義，進(jìn)行簡單的坐標(biāo)運算.對于點 A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”，根據(jù)定義，計算得到對應(yīng)點 A^′ 的坐標(biāo)為（2，0）.接下來，針對線段 _AB 進(jìn)行“一1型平移”，要找出新線段 A^′B^′ 上的點.通過計算得出線段 A^′B^′ 的方程，再逐個代入點P₁，P₂ 和 P₃ 的坐標(biāo)，判斷哪些點在線段上.最后，若要使線段與坐標(biāo)軸有公共點，需考慮線段與 x 軸、 y 軸的交點，通過設(shè)置不等式求解出 Ψ_t 的取值范圍.這一過程融合了坐標(biāo)變換與幾何分析，有助于加深對平面直角坐標(biāo)系中圖形變換的理解.

3平面直角坐標(biāo)系中的“等距點”問題

在二維直角坐標(biāo)系中，如果點P 到 x 軸和 軸的距離中較大者等于點 Q 到 x 軸和 y 軸的距離中的較大值，則稱 P 和 Q 為“等距點”如圖3所示.

（1）已知點 A 的坐標(biāo)為 （-3，1）

① 則在 E（0，3），F(xiàn)（3，-3），G（2，-5） 三點中，為點 A 的“等距點”的是 ；

② 若點 B 的坐標(biāo)為 （m，m+6） ，且 A，B 兩點為“等距點”，則點 B 的坐標(biāo)為

（2）若 T₁（-1，-k-3），T₂（4，4k-3） 兩點為“等 距點”，求 k 的值.

解析： （1）E，F(xiàn);（-3，3）

（2）根據(jù)題意，分情況討論： ① 若 ∣4k-3∣?4 ，則 4=∣-k-3∣ ，即 4=-k-3 或 -4=-k-3 ，解得 k= -7 （不合題意，舍去）或 k=1.② 若 ∣4k-3∣gt;4 ，則 ∣4k-3∣=∣-k-3∣ ，解得 k=2 或 k=0 （不合題意，舍去）.

綜上所述， k 的值是1或2.

試題分析：此類試題主要探討“等距點”在平面直角坐標(biāo)系中的定義與性質(zhì)，重點考查點到坐標(biāo)軸的距離關(guān)系.題目通常給定一個或多個已知點，要求學(xué)生根據(jù)“等距點”的定義，找出滿足條件的點或推導(dǎo)相關(guān)坐標(biāo).此類型的試題不僅考查學(xué)生對坐標(biāo)系的理解，也涉及絕對值的運算和不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力.

解題時，首先要明確“等距點”的定義，即比較兩點到坐標(biāo)軸的最大距離.解題過程可以分為兩步：一是對已知點的坐標(biāo)進(jìn)行分析，計算其到坐標(biāo)軸的距離；二是根據(jù)題意設(shè)定變量，利用絕對值的性質(zhì)分情況討論，確保涵蓋所有可能的情況.對于如k值求解的題目，通過建立方程，逐步化簡并解出k，確保每一步都符合題意，最終得出有效解.此過程可增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力，適合通過實例進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與討論.

4平面直角坐標(biāo)系中的“近似距離”問題

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點 P₁（x₁，y₁） 與 P₂（x₂，y₂） 的“近似距離”，給出如下定義：若∣x₁-x₂∣?∣y₁-y₂∣ ，則點 P₁（x₁，y₁） 與 P₂（x₂，y₂） （204號的\"近似距離”為 ；若 ∣x₁-x₂∣lt;∣y₁-y₂∣ ，則點 P₁（x₁，y₁） 與 P_：（x_：，y_：） 的\"近似距離\"為 ∣y₁-y₂∣ ：

（1）已知點 P（-3，5），Q（1，0） ，求點 P 與點 Q 的 “近似距離”

（2）已知點 A（0，-2），B 為 x 軸上的一個動點.

① 若點 A 與點 B 的“近似距離”為4，試求出滿足條件的點 B 的坐標(biāo)；

② 求點 A 與點 B 的“近似距離”的最小值.

解析：（1）依題， |-3-1|lt;|5-0|=5 ，所以點 P 與點 Q 的“近似距離”為5.

（2） ① 因為 B 為 x 軸上的一個動點，所以設(shè)點 B 的坐標(biāo)為 （x，0） .又因為 A，B 兩點的“近似距離”為4，點 A（0，-2），|-2-0|=2 ，所以 ∣0-x∣=4 ，解得 x=4 或 x=-4. 所以點 B 的坐標(biāo)為（4，0）或 （-4，0）

② 設(shè)點 B 的坐標(biāo)為 ^（a，0） ，則 |-2-0|=2，|0-a|= ∣a 1.若 |a|gt;2 ，則 A，B 兩點的“近似距離”為 ∣α∣ ；若 |a|?2 ，則 A，B 兩點的“近似距離”為2.所以 A，B 兩 點的“近似距離”的最小值為2.

試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中，針對兩點間的“近似距離”定義，主要通過比較兩點的橫、縱坐標(biāo)差值，形成一種新的距離度量方式.此類題目一般分為兩類，一類是直接計算兩點間的“近似距離”，另一類則涉及條件變化，要求找到滿足特定“近似距離”條件的點.這種定義不僅擴(kuò)展了傳統(tǒng)距離的概念，也引導(dǎo)學(xué)生深入思考點之間的相對位置關(guān)系.

解題思路方面，首先需要明確兩點的坐標(biāo)和相關(guān)的“近似距離”條件.針對第（1）問，利用點 P 和點 Q 的坐標(biāo)，首先計算橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的差值，并判斷其大小關(guān)系，從而確定所求的“近似距離”對于第（2）問，設(shè)定動點 B 的坐標(biāo)形式，借助“近似距離”的定義，通過方程轉(zhuǎn)化為絕對值的求解，進(jìn)而找出所有符合條件的坐標(biāo).最后，在尋找“近似距離”最小值時，學(xué)生需要綜合考慮不同情況下的結(jié)果，深入理解條件變化對距離計算的影響.這種研究不僅幫助學(xué)生掌握坐標(biāo)系的基本概念，還提高了他們的邏輯思維能力和解決實際問題的能力[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]姜曉翔.生長：初中數(shù)學(xué)試題命制的價值取向 -一道新定義試題的命制與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（8）：49-52.

[2]秦國珍.命制“新定義”類試題，促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升[J].數(shù)理天地（初中版），2024（17）：18-19.