創設情境 滲透思想 深度對話

《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增：引導學生在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題;數學課程設計要體現數學學科特征，要符合學生的認知規律，有助于學生理解、掌握數學的基本知識和基本技能，形成數學基本思想，積累數學基本活動經驗，發展核心素養[].因此，教師需要在平時教學中注重創設真實情境，滲透數學思想，開展深度對話，讓核心素養自然生成.

近日，我校開展課堂教學研討活動，邀請骨干教師執教了一節代數推理與幾何直觀相融合的初一展示課“乘法公式（1）”，該教師教態輕盈，教導自然，教學流暢，獲得了所有聽者一致點贊.筆者就以此課為例，提出三點思考心得，與各位同仁交流.

1創設真實情境，教會學生用數學的眼光觀察

美國著名實用主義教育家約翰·杜威在1916年發表的《民主主義與教育》中首次提出創設教學情境，并指出真實情境是數學課程的重要啟蒙.因為學生的喜歡、好奇、探索、發現等都跟真實情境有關，若沒有真實情境，就不會有真正的數學眼光.所以，有人說“思維是核心，創造是目的，觀察是人門”，可見觀察的基礎性與重要性.要如何教學生學會用數學的眼光觀察呢？

片段1課前小故事

從前有一個貪心的財主，人們叫他巴依老爺.巴依老爺有兩塊地，一塊面積為 a² ，另一塊面積為 b² ，而阿凡提只有一塊地，面積為 （a+b）² C agt;0，bgt;0） .有一天，巴依老爺眼珠一轉對阿凡提說：“我用我的兩塊地換你的一塊地，可以吧？”

問題1 如果你是阿凡提，你會換么？問題2 （a+b）² 與 a²+b² 哪個大呢？

9.4乘法公代. 9.4乘法公代.ab師：a220tb時.（a+b）2

教學說明：第一，黑板上有貼圖（如圖1），所以能比較自然地啟發學生“觀察”拼圖，如從“圖形”角度解決.第二，老師引導，從整體和局部兩個角度分析.指出圖形的分解論證有局限性，要求 a_λ，b 都大于0，啟發學生從“代數”角度解決 （a+b）² 的拆解 （a+b）（a+b）

在本環節中，老師教學生用數學的眼光看世界，完成由“生活現實\"到“數學元素”的轉換，從“幾何圖形\"到“代數推理\"的論證，這是一種數學抽象的過程，這樣不僅引出了本課的研究對象—一完全平方公式，而且也在循序漸進的問題串的探究中體現了數學學科核心素養.注重“創設真實情境”，以“現實\"世界為出發點，以“情感”為紐帶，以“觀察”為途徑，培養學生的“數學眼光”，挖掘代數推理背后的“幾何直觀”.

2滲透數學思想，教會學生用數學的思維思考

“用深刻的思想啟迪學生”，一旦有了數學思想的浸潤和滲透，數學課堂就有了不一樣的光彩，學生的發展就有了不一樣的風景，數學思維就有了不一樣的韻味.數學知識是數學思想的重要載體，滲透數學思想既不能束之高閣，又不能牽強附會.要如何教學生學會用數學的思維思考呢？

在操作層面上，如何滲透數學思想，在教學中達到授之以漁，且“悟其漁識\"？在本課例中，老師巧妙滲透了化歸、方程、數形結合等數學思想，這里歸納三點：

2.1串聯新舊知識，滲透“化歸”思想

聯系已知，求解未知就是化歸思想的內核.化歸思想的實質就是借助已有的知識去解讀、推斷、發現、證實未知的正確性，當舊知串聯上新知，新的學習路徑就產生了.

片段2兩數和的平方的代數推導

問題1從代數角度觀察式子，我們還可以怎么拆解兩數和的平方？

問題2遇到新的知識，化歸到原來的知識，請你展開說說.

教學說明：這一環節，學生回顧整式乘法的內容，遷移應用，與今天的新學內容串聯起來，抓住知識的生長點和延伸點，從代數角度對完全平方公式進行更完善的證明.

片段3兩數差的平方的轉化推導

問題聯系 （a+b）²=a²+2ab+b² ，對標 +b .-b ，如何拆解 （a-b）² ？

老師順著學生的表述，手指著兩數和的平方的公式，逐一對照.

追評：再次將新的知識，化歸到剛學的知識，掌聲送給他！

教學說明：這一環節，老師時刻關注課堂知識發生和發展的過程，立足學生最近發展區，即刻有效地提出對標和的平方，如何拆解差的平方，調動學生積極思考，肯定學生思考成果，扎實推進對兩數差的平方的理解，沿著類似的研究路徑，引導學生將“未知”化歸到“已知”

2.2串聯知識與方法，滲透“類比、數形結合”思想

片段4從兩數和的平方到兩數差的平方

在帶著學生從“圖形”“代數”角度得到兩數和的完全平方后，老師小結思維路徑：

面積相等 乘法運算律圖形 gt;法則或公式lt; 論證問題1沿著剛剛的對話路徑，自己類比試試看？

老師巡視，學生下筆做.

問題2數形結合，同樣從形、數兩個角度自主探究 （a-b）² ：

學生自主探究，如圖2.

教學說明：這一環節，老師注重把控節奏，張弛有度，不是只關注公式和法則的“快餐式”教學，而是以生為本，為生而教.調慢了學生本來快節奏的表達，細節講解對應 a 去乘 （a-b） 減去 b 去乘 （a-b） 依次得到什么？合并后發現中間的乘積的兩倍放中央，但是系數是一2.波利亞說“類比是發現的源泉，是一個偉大的引路人”，在類比中歸納相同點與不同點，強化兩數和的平方與兩數差的公式的由來，構建更完善的知識體系.

2.3串聯知識與應用，滲透“方程、整體”思想

（1）求 a²+b² 的值；

（2）求 （a-b）² 的值.

問題1你是聯系哪個公式來的？

追評：雖然積的兩倍放中央，但根據需要也可以靈活調整.

預設： （a+b）²=a²+2ab+b² 問題2談談你的解題過程板書： （a+b）²=a²+b²+2ab.

t4.（a-b）2

↑6師sa2-205+b2

教學說明：這一環節，老師既提醒學生重視思考，引導學生“調查才有發言權，先算完再舉手”，又尊重學生的個性化發言，肯定他們“這么棒的聯系，整體思維巧妙！\"帶著學生去分析、去推理、去建構，整合公式（a-b）²=a²-2ab+b²，（a+b）²=a²+2ab+b² ，會發現 （a+b）²，（a-b）²，ab，a²+b² ，知其二得其二的聯系.對比幾種解法，將已知量整體代入，會避免公式變形雜亂，滲透“整體思想”又多法歸一，滲透初中“方程思想”對比給出建議，培育學生系統思維的能力.

片段5完全平方公式的拆解與運用已知

數學思想源自“做中悟”，更助力學生“悟中做”.這里通過三組具象的探究，悟出抽象的思想.第一，從（a+b）² 可以看作 （a+b）（a+b），（a-b）² 可以看作[a+（-b）²] ，滲透“化歸”思想，實現從已知走向未知探究；第二，從小結 （a+b）² 的猜想、論證思維路徑，引導學生類比應用，自主探究 （a-b）² ，實現從老師“教”到學生“學”；第三，從例題“完全平方”的拆解與應用中，對比采用“整體思想”代人，實現從繁雜到簡約.注重“滲透數學思想”，力求每一個學生知之有理，探之有味，積累由數想形、由形見數的基本活動經驗.

3開展深度對話，教會學生用數學的語言表達

伽利略曾論述“沒有數學語言的表達，我們無法理解宇宙的只言片語，只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索”.在課堂上開展深度對話理論，就是要引導學生將知識點進行主觀上的整合、優化、探索、表達.要如何教學生學會用數學的語言表達呢？

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，即使相同幾何圖形、幾何模型、現實世界中的幾何問題在不同學生的眼中也會有不同的幾何直觀2.在本課例中，老師多次強調讓學生用自己的語言表達公式、歸納特征等.

3.1組織自主表達，捕捉知識的區別點

片段6兩數和的完全平方公式的文字表示問題能不能用文字語言表達一下呢？

無人舉手.

引導：最怕這個？需要攻克！試著觀察數據的特征，左式等于什么？右式等于什么？

教學說明：這一環節，老師在遇到學生有為難情緒時，及時搭梯子，耐心肯定；在學生作出相應回答后，會補充重音“兩倍”強調系數.

深度對話意味著遷移與應用，是教學的質量檢測，從總結出完全平方公式的符號表示，到自主組織語言表達，說明學生的思維已經在實現“質”的飛躍.因為老師的循循善誘，學生不斷地經歷嘗試、對比、反思、調整，語言表達從隨意走向精準，深度對話正在悄然發生.

3.2融入過程性評價，修正思維的偏差點

片段7完全平方公式特征小結

問題今天得到兩個重要的公式，它們有個共同的名字——完全平方公式.觀察公式，你能發現什么特征？

學生反饋：左邊是和或差的平方，右邊一部分是平方的和；左邊的和或差決定了右邊2ab前的符號；右邊 a²，b² 前的符號同正， 2ab 前可正可負.

師：你們三個已經賽過諸葛亮啦！老師編個口訣送給你們好么？免費贈送！“首平方，尾平方，首尾兩倍放中央，正負看前方！\"（老師邊說邊用手指向前方括號內的符號，并強調完全平方公式中首平方與尾平方前的系數同正）.

板書：架構類比與聯系，從形、數、文字表示、字母表示、特征幾個方面小結（見圖3）.

9.4乘法公代（1）完戲師sa2t2a5tb2 g4.（a-b）2時.（a+b）21isa2205+b，（a+b）2=（a+b）（a+b）（a-b）=（-bxa-h）=a2+a+abtb2o1 =Q22ab+b=a22ab+b（Gb）=a+（-b）2，施和和的方，與子動去的常床，力我評祖標：（aDb）2=a2Rah+b2 的2降的作：首平云，尾平，求的作斜關，能方片段8公式應用，巧妙修正

計算：

（1） （2x+5）² ：

（2） （2x-5）² ：

（3） （-2x+5）² ：

（4） （-2x-5）² ：

（5） （2x+5）（-2x-5）. （2

教學說明：對于（5），大部分學生的運算過程為（2x+5）（-2x-5）=-（2x+5）²=-4x²-20x-25 此時，有學生提出完全平方公式中 α²，b² 的系數也可能同負.教師先肯定學生勇于提出問題，然后指出學生的錯誤.同時解釋上述最后一步本質上是 （a+b）² 與“—1\"的乘積運算，而完全平方公式中的 a² 與 b² 還是同正.

深度對話意味著理解與評價，是教學的有力矯正.老師既尊重學生積極的發言，給予實時正面肯定的評價，又時刻緊抓學生表達的漏洞，做及時補充，準確地找到學生理解的“痛點”，為教學注人“活水\"[3].這樣的師生互動，讓學生的語言表達從籠統走向嚴謹，知識理解從單一走向豐富.

3.3構建學習共同體，拓寬思考的邊界點

片段9課堂拓展

（1）你有什么方法說明 （a+b+c）² ？（2）計算以下式子的結果： （a+b）³ ， （a+b）⁴ .…，（a+b）ⁿ ：

深度對話意味著練習與構建，是教學方向的指南針.在完成數學內容、數學方法的小結后，老師主導學生探討從兩項式的完全平方拓展至三項式的平方后，嘗試讓學生發散思維一—還可以從什么地方進行下一步拓展？英國科學家培根有一句名言：“類比聯想支配發明.\"創新是在某種既有的原型基礎上進一步挖掘不同于以前的新的特點的過程，類比學習后會有所發現，有所創新.有了老師引導項數的增加，學生受到啟發，馬上“類比”反饋從次數的增加上再探討，將教學的熱烈研討氣氛推向高潮.注重“開展深度對話”，給學生營造一個“人人想表達”的氛圍，激發學生先思考，再對話，言之有物、言之有序地表達“幾何直觀”，才算真正掌握了數學問題的內核.

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]吳立建.從一堂“拼圖中的數學”談幾何直觀教學的思考[J].數學通報，2023（2）：22-25.

[3程漢波，徐章韜.尋找代數問題背后的直觀J].數學通報，2023（5）：26-29，55.Z