單元整體教學視角下初中數學專題課的教學探索

1單元整體教學與專題課教學內涵

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》提出：改變過去注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯[1].單元整體教學，主要是指通過學科的內在規律進行知識整合，促進學生構建完整的思維體系.有的學者認為單元整體教學可以看成是一種教學策略，是指在實施教學的過程中，將一個單元的知識作為教學的整體，引導學生整體獲取知識，提高學習效率的教學策略.傳統的教學重視課時設計，往往只關注幾個知識點的學習和知識的局部或細節，復習課主要是知識加習題訓練的低效復習模式，容易造成知識分解過度，導致學生的學習碎片化、零散化，教學效益低下等現象，不利于將知識點形成一個有機整體.因此，我們的教學要對單元進行整合、重組，重構單元知識與數學思想方法的內在聯系，推進單元整體教學.

數學專題課是指將數學知識依據其內在聯系進行整合，使之形成模塊化專題的課堂[3].專題的設計聚焦某類問題的解決，幫助學生整合知識、方法、思想，貫通經驗，助力學生學習習慣與思維品質的培養.在單元整體教學理念的指導下，整體設計單元內容，提升學生的高階思維能力.本文中以單元整體教學視角下“正方形的多維探究\"專題課的教學設計及教學為例，探索數學專題課中單元整體教學的實施，以期待同仁們的廣泛探討.

2課題的選擇背景與課前準備

2024年徐州市中考復習研討會預設了兩節中考復習觀摩課，筆者從圖形與幾何這個模塊中選擇課題.中考復習指導目錄中有相交線與平行線、三角形及四邊形、圓三個單元，筆者認為四邊形這個單元中起到承前啟后的作用，有著非常重要的地位.從四邊形這個單元中提取特殊的正方形進行設計研究，非常有意義.如圖1，它可以在四邊形單元內部網狀鏈接，還可以與“三角形”“圓\"建立單元間聯系.不僅考查學生抽象能力、推理能力，還考查運算能力，培養學生數學核心素養.

如圖2，筆者要求學生課前用概念圖整理與正方形相關的知識、方法、思想結構圖，為本課的順利展開作了充分的準備.

定義 有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行回邊砂叫正方形。]對稱性 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。性質 邊 對邊平行，鄰邊垂魚，回條邊都相等。

3“正方形的多維探究”教學呈現

在單元整體建構的視角下，情境創設環節設計知識由整體到局部的過程，以鞏固學生知識的整體性，促使思維系統化.展示交流環節主要引導學生在課前用概念圖把正方形的相應知識、思想、方法可視化、網絡化、結構化.探索活動環節主要設計一題多變、一圖多用、一題多解，訓練學生思維的發散性、靈活性、深刻性，促進學生思維提升，培養數學核心素養，以期待達成單元整體教學的目的.

環節1：情境創設.

初中階段學習的正方形內容在初中數學體系的什么位置？初中階段學習了數學與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個模塊.圖形與幾何模塊研究了線、角、三角形、四邊形、圓等內容.正方形就在四邊形研究的范圍中，如圖3，可以看出正方形所在的位置.正因為它的特殊性，所以具備矩形、菱形的一切性質.

與人工智能對話：正方形美在哪里？

答：正方形的美，在于其規則性和對稱性.它有四條相等的邊和四個相等的角，這種完美的平衡和對稱給人以穩定與和諧的感覺.同時，正方形也是矩形和菱形的一種特例，是二維平面上最穩定的形狀之一.這種穩定性也增加了它的美感.在設計中，正方形的美表現在其簡潔而強烈的設計感.設計師們常常利用正方形的元素來鋪裝、裝置等，創造出獨特的視覺效果.

教學說明：展現了結構化教學理念.同時，用現代化信息技術手段，將人工智能引入課堂，讓課堂教學緊跟時代腳步，體現了研究正方形的重要性.

環節2：展示交流.

請你歸納正方形相關知識點.

如圖2，學生在課前用概念圖已完成了對正方形相關知識的整理，主要包含正方形的定義、性質、判定、模型、應用等.（大屏冪展示學生作品）

環節3：探索活動.

例題如圖4，在正方形ABCD 中， E 是邊 AB 上的一個動點（點 E 與點 A，B 不重合），連接CE ，過點 B 作 BF⊥CE 于點 G ，交AD 于點 F

（1）請你提出一個問題并嘗試解決這個問題；

（2）如圖5，連接 EF，CF ，若 CE=8 ，求四邊形BEFC的面積；

（3）如圖6，當點 E 運動到 AB 中點時，連接 DG ，求證： DC=DG ：

（4）第（3）問的條件與結論互換后還成立嗎？為什么？

（5）若點 E 在射線 BA 上運動，點 F 在射線 AD 上運動，點 G 的運動軌跡是什么？若 BC=2 ，求 DG 的取值范圍.

教學片斷1

師：對于問題（1），在幾何畫板中觀察，動點 E 在正方形的AB邊上運動的過程中， CE，BF 也在發生變化，請你添加條件，使之符合它的運動規律.

生1：我添加的條件 BF=CE 生2：我添加的條件 BE=AF

師：如圖4，在正方形 ABCD 中， E 是邊 AB 上的一個動點（點 E 與點 A，B 不重合），連接 CE ，過點 B 作 BF⊥CE 于點 G ，交 AD 于點 F .請你提出一個問題并嘗試解決這個問題.

生3：求證： BE=AF

教師讓提問的同學板演，其他同學在下面完成.之后交流答案.

師：對于問題（2），如何求四邊形BEFC的面積？

教學說明：該問題中點 E 的特殊位置添加條件，引發思考，在對角線垂直時可用對角線的積的一半來計算四邊形的面積，同時關注學生有條理的表達.

教學片斷2

師：對于問題（3），證明兩邊相等的方法有哪些？生4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等量代換.生5：等角對等邊；全等三角形的對應邊相等.生6：線段垂直平分線上的一點到線段兩端點的距離相等；平行四邊形的對邊相等；等等.

師：圍繞這些依據，思考具體怎樣證明？

生7：我主要利用直角三角形斜邊中線定理證明.延長圖6中的 BF，CD 交于點 H ，可證明 ΔABF? ΔBCE ，得 BE=AF ，進而得 F 是 AD 的中點，再證 ，得 AB=DH ，由 AB=CD ，求出DC=DH .再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到 DG=DC

生8：我主要通過建立直角坐標系的方法，利用兩點間的距離公式求線段的長度.以 A 為坐標原點， ? 所在直線為 x 軸， AD 所在直線為 軸，建立平面直角坐標系.設點 B 的坐標為 （2a，0） .求出直線 BF 和直線CE 的表達式，利用解析法求出點 G 的坐標，最后求出DG 的長為 2a ，與 CD 相等.

生9：我主要用計算方法證明.在 GC 上截取一點M ，使 MG=GE .主要是要證 ΔDFG?ΔBMC. 首先，易證 BM=DF ， ∠BMC=∠DFG .易證 CE=BF ，接下來只要證出 ME=BG ，就可以得到 FG=CM 在RtΔABF 中， ∠ABF 的正切值為 ，因此在Rt△BGE中， EG：BG=1：2 ，由 MG=GE ，可證得 EM=BG ，于是 FG=CM. 所以 ΔDFG?ΔBMC ，從而 DC=DG

生10：我主要用證明四點共圓的方法證明4].連接 CF ，由 ∠ADC+∠FGC=180^° ，得 C，D，F，G 四點共圓.由同弧所對的圓心角相等可證 ∠DCF= ∠DGF .易證 ΔCBE?ΔCDF ，得 ∠BCE=∠DCF ，進而證得 ∠BCE=∠DGF .由等角的余角相等，證得∠DCG=∠DGC ，得到 DG=DC. （仍有一些同學舉手示意，等待回答.）

師：同學們的方法很豐富，表達嚴謹，課后大家把多種解法整理到好題集里.請同學們繼續思考，問題（3）的條件與結論互換后還成立嗎？為什么？

教學說明：引導學生思考題目中的條件與結論互換后可以得到新的命題，有的逆命題也是真命題.學生重復使用以上方法，感受到四點共圓的方法可以作為解決這題的主要方法，感受了方法的普適性，提升了思維的靈活性、深刻性和敏捷性.

教學片斷3

師：如圖6，通過計算得到了 EG：BG=1：2 .GB：CG=1：2 ，那么 EG：BG：FG：CG：BF 等于多少？

生 11：EG：BG：FG：CG：BF=1：2：3：4：5.

師：如果連接 AG ，那么 ∠AGF 等于多少度？

生12：連接 AG ，可由 ∠FAE+∠EGF=90^°+90^°= 180^° ，可證得 A，E，G，F 四點共圓，進而可證明∠AGF=∠AEF ，易證 AE=BE=AF ，所以 ∠AGF= ∠AEF=45^° ：

生13：作 AN⊥BF 于點 N ，易證 FN：AN=1：2 AN：BN=1：2 ，易證 BG=NG ，可推得 BF= FN+BN=5FN ，所以 AN=2FN，GN=2FN ，得到AN=GN ，于是有等腰直角三角形 ANG ，進而求出∠AGF=45^°

教學說明：通過計算 ∠AGF 的度數，引導學生思考點 E 的特殊位置除了得到線段間的特殊關系，也能得到角度的特殊值.啟發我們要有“數學的眼光觀察現實世界”，并有批判性思維推理、驗證，提升應用意識和創新意識.

師：若點 E 在射線BA上運動，點 F 在射線 AD 上運動，點 G 的運動軌跡是什么？若 BC=2 ，如何求DG 的取值范圍？（引導學生先獨立思考，再看幾何畫板動態演示驗證.）

生： G 點的運動軌跡是以 BC 中點 O 為圓心， BC 為直徑的半圓弧 BC （不包括點 ^B，C） .當 _D，G，O 三點共線時， DG 最短，當點 G 與點 B 重合時， DG 等于DB的長.于是 ：

教學說明：點 E 在特殊位置時，線段存在特殊關系，角有特殊值.同樣，點 E 在變化過程中，圖形中也會存在一些線段的特殊關系和角的特殊值.這需要我們用“數學的思維”來思考.比如點 E 在運動的過程中，有變化的隱圓和個不變的隱圓.變化中抓不變的本質，訓練思維、提升素養.

環節4：小結反思.

本節課，你有哪些收獲？

教學說明：板書在教學過程中生成，從知識線、方法線、思想線多維度展開，最終物化成提示學生回顧學習內容的概念圖（如圖7）.

課題：正方形的多維探究知識線 方法線 思想線定義 定義 轉化性質 幾何法 性質正方形 數形結合判定 判定模型 代數 建立直角 模型應用 法 坐標系化動為靜 從特殊到一般圖7

4教學啟示

4.1單元整體設計，概念圖結構化內容

《課標》指出“重視單元整體教學設計”本課是一節中考復習課，通過情境創設環節，引導學生感受本課題在模塊中的位置.圖形與幾何研究的主要內容有相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、圖形與變換等.而正方形就是四邊形內容中的一個特殊內容.課前，學生用概念圖完成了正方形定義、性質、判定、模型、應用等方面內容的結構化梳理，為本課的學習做好了鋪墊.課后小結，通過板書將本課知識、方法、思想結構化.

4.2緊跟時代腳步，妙用人工智能技術

上海師范大學的黎加厚教授指出，隨著生成式人工智能在中國社會各行業應用的迅速普及，生成式人工智能帶來課堂教學的新變化.他指出：生成式課堂是人工智能時代的學習空間，教師在教學中使用生成式人工智能輔助教學，學生在教師的引領和管控下使用生成式人工智能輔助學習，在教學活動中，“師一生一AI\"三者互動，動態生成教學內容[5].人工智能AI助力課堂教學，不僅能提供智能輔助學習，而且能激發學生學習興趣和探究欲望，啟發學生獨立思考和批判性思維.課上與人工智能對話，AI給出的語音答復讓課堂妙趣橫生.

4.3設計一題一課，培養學生高階思維

愛因斯坦曾說過：提出一個問題比解決一個問題更重要.本節課的例題第（3）問體現了一題多解，先思考證明兩邊相等的方法，然后再思考如何做，問題的設計符合學生的認知規律，同時真思考、真探究，遷移知識、發散思維.第（4）問、第（5）問體現了一題多變，引導學生逆向思考和拓展延伸，訓練了思維的靈活性、發散性、深刻性.本題以正方形為基本圖形進行一圖多變、一圖多用，引導學生深人思考，感受到變化中的特殊位置非常值得研究，從變化中挖掘不變的性質和規律，發現數學的本質，訓練了批判性思維和創造性思維，培養了學生的高階思維.

4.4問題激發思考，培養學生核心素養

本例題由5個問題構成.問題是從觀察圖形后發現問題、提出問題入手，起點低、易思考，而后再賦予特殊位置的特殊值，進一步研究線段、面積、角度等.在此過程中，教師不僅關注到基本問題的有條理表達，而且學生的分析問題和解決問題的能力不斷得到強化.有梯度設計問題，到第（5）問的變式提升，探究點 G 軌跡及最值問題，研究變化中不變的結論，學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀等核心素養都得到了培養.

本節專題復習課的設計是在單元整體建構視角下進行的.一題一課、一題多解、一題多變、一圖多用，讓學生思維進階，培養數學核心素養.單元教學注重數學知識的整體性和關聯性，有利于揭示數學知識本質，促進學生核心素養的落實，所以單元教學成為當前數學教學研究的熱點[6].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2朱文蘭.核心素養下初中數學單元整體教學有效性探究——以浙教版“平行四邊形”和“特殊平行四邊形”為例[J].中學數學，2024（8）：17-18，21.

[3劉鵬，虞秀云，龍曉玉.深度學習視角下初中數學專題課的教學探索——以“完全平方公式的變形”為例[J].中國數學教育，2024（7）：53-56.

[4]袁健.一道試題的多種解法與教學反思[J].初中數學教與學，2020（17）：33-35，32.

[5]黎加厚.生成式人工智能時代的課堂教學創新[J].中小學信息技術教育，2024（Z1）：6-10.

[6]石樹偉.傳統與現代之中間道路：數學學科單元教學落地的應然選擇[J].上海教育科研，2023（6）：84-88.Z