整體思想在初中數學解題中的應用

整體思想是數學思想中的重要思想，該思想提倡從問題的整體角度出發進行分析，基于整體視角對問題進行改造與優化，把握問題整體結構及特征，進而將問題看作“整體”的某一部分，挖掘式子或圖形之間的內在聯系后，從整體角度出發對其進行解決，以此提高解題效率.整體思想在初中圖形與幾何問題解題中發揮著不可替代的作用，傳統單一化的解題思路會導致學生在解題過程中陷入思維瓶頸，不利于提高學生解題效率.對此，本文以整體思想在初中數學解題中的運用進行討論，旨在為廣大學者提供參考及建議.

1 整體思想概述

整體思維作為數學中重要的數學思維方法，較比傳統解題思想而言，整體思想強調學生從整體角度出發對例題進行觀察與分析，將解題側重點從例題信息分析轉變為例題整體形勢及結構特征分析，通過對問題本質探究，將抽象問題具象化、復雜問題簡單化，有效提高學生解題效率[1].此外，整體思想有助于培養學生思維發散及解題能力，通過運用整體思想進行解題，可解決傳統解題思路單一性、局限性的問題，將部分圖形與幾何看成整體，建立起局部與整體的聯系，對它們進行有目的、有意識的整體處理，使原有圖形與幾何的結構變得清晰明了，使問題變得易于解決.

2整體思想在初中數學解題中的應用

2.1求解圖形面積，促進學生思維發散

求解圖形面積的關鍵在于將原有不規則圖形轉化為有規則圖形進行求解，著重考查學生思維能力.將整體思想運用于求解圖形面積，可將圖形看作某個圖形的一部分，進而補形構造整體圖形，促進學生思維發散[2].

例1 CD，BE 分別為△ABC中 ∠ACB ，∠ABC 的外角平分線，且 CD⊥AD，AE⊥BE ，已知 BC=a . CA=b ， AB=c ，求解 DE 的長.

解析延長 AE，AD 分別交 CB 的延長線和反 向延長線于點 F，G ，則由已知易得 AE=EF AD= DG ，且 BF=AB=c ， CG=AC=b ，以此得出 ED 為 ΔAFG 的中位線，進而得出 b+c）

從上述分析可以看出，題目要求學生基于圖形分析求出 DE 的長，如采用常規解題方法勢必會導致解題難度加大，為提高學生解題效率及促進學生思維發散，可運用整體思想解題，即從整體角度出發進行解題，作Rt△BEA，Rt△CDA分別關于 BE ，CD對稱的圖形，得出整體 ΔAFG 后，以此有效解決此題.

例2如圖1所示，在 RtΔABC 中 ∠C=90^° ，AC=4 . BC=2 ，以AC，BC為直徑畫出半圓，請求出

陰影面積，結果保留 π

解析 根據 ①+②-③ ， 進而得出

2.2求解幾何例題，培養學生解題能力

例3 A，B，C，D 是直線 ξ_l 上順次四點， M，N 分別是 AB，CD 的中點，若 MN=a T BC=b ，則 AD

解 AD=AM+MN+ND=BM+CN+ MN=a-b+a=2a-b

例4在矩形 ABCD 中， E 為 AB 邊上的點，連接 DE 后與對角線 AC 交于點 F ，且 AF⊥DE ，已知AD=4，AE=2，AB=8 ，則 CF 長是多少？

解由勾股定理得， ，則 AE=2 ，在 RtΔADE 中，以勾股定理得出 ，又有 RtΔADE 面積為 ，且 AF⊥DE ，可得RtΔADE 的面積為 ，將 AD，DE，AE 的值代入，計算得出 AF 長為 ，則 CF=AC-AF

例5張阿姨計劃在圍墻的一角用24米長的籬笆圍成一個直角梯形的養雞場，已知梯形的高為8米，求這個養雞場的面積.

解析（1）理解題意與整體觀察.題目要求養雞場的面積，即計算直角梯形的面積，但未直接給出上底和下底的長度.若按常規思路，需先求出上底和下底的具體值，再代入梯形面積公式.然而，題目僅提供了三邊總長（24米）和高（8米），若強行分解條件，計算將變得復雜.此時需運用整體思想，不孤立看待每個邊，而是從整體結構出發，發現題目中隱含的\"總和”關系.（2）提取關鍵整體量.將養雞場靠圍墻的一邊當作斜邊，直接利用“上底 + 下底 + 高”的整體值.由三邊總長24米，減去高8米，直接得到上底與下底之和，即 24-8=16 米.將數據代人梯形面積公式可求得面積是64平方米.（3）驗證與反思.若按常規思路，需設未知數，使用整體思想則跳過了煩瑣的中間步驟，直接通過“上底 + 下底”的整體量求解，體現了“化零為整”的策略.

3結語

綜上所述，本文以整體思想在初中數學解題中的應用進行討論，以圖形與幾何問題為例，通過上述分析可以看出，從整體思想入手對數學問題進行解析，有助于增強學生思維能力的同時，也有利于提高學生分析能力及解題能力，對于促進學生思維發散及培養學生核心素養具有深遠意義.本文認為，教師應積極更新自身教育理念，對現有教學方法進行調整與優化，并在日常教學中引導學生從整體思想出發解題，以此提高學生解題效率.

參考文獻：

[1」于志富.著眼整體，輕松解題—例談整體思想在初中數學解題中的應用[J.數學之友， 2024（23）：50-52+55.

[2」董成.新課程標準下以解題思想為導向的初中數學解題教學的實踐與思考[J].數理化解題研究，2023（35）：77-79.

[3]張哲.整體思想在初中數學解題中的應用研究—以圖形與幾何問題為例[J].數學大世界（下旬），2023（3）：59-61.