靈活運用基礎知識，破解“問題探究”類題型

為了貫徹落實新課標要求的“三會”目標，培養學生積極探究與解決問題的能力，近年來，部分地、市的初中學業水平考試中出現了一些設題新穎的“問題探究\"類數學題型.這類題型注重考查基礎知識，通過引導學生獨立思考、手腦并用，在對問題的思考與探索中驗證、總結數學結論與規律，鼓勵學生積極探索、探究與創新，旨在發展學生的數學思維、提升學生的數學核心素養和綜合能力[].解答這類題型要具備扎實的數學基礎知識，除了通過動腦動手、探究、驗證（或證明）等方式，還要靈活運用數形結合、函數與方程、特殊與一般等數學思想.

1真題賞析

例1（2025年3月山東省菏澤市中考模擬試題）（1）【實驗發現】初三（2）班的呂浩同學進行了圖形折疊實驗：如圖1，在矩形ABCD中，已知 E 是 AD 的中點，他把△ABE沿 BE 折疊后得到 ΔGBE ，且點 G 在矩形 ABCD 內部.他嘗試將BG延長后交 DC 于點F ，這時他發現 GF=DF ，你認為正確嗎？說明理由.

（2）【計算驗證】根據（1）中的條件，當 DC=2DF 時，求 的值.

（3）【類比探究】根據（1）中的條件，當 DC=nDF 時，求 的值.

解析：（1）在圖1中，按照呂浩同學的做法，連接EF 后，可知 ∠EGF=∠D=90^° ， EG=AE=ED ，EF=EF ，所以 RtΔEGF?RtΔEDF ，則 GF=DF

所以，呂浩同學的發現是正確的.

（2）由（1）可知， GF=DF .設 DF=x，BC=y ，則有 GF=x ， AD=y .因為 DC=2DF ，所以 CF=x ，DC=AB=BG=2x ，于是 BF=BG+GF=3x 在RtΔBCF 中，由 BC²+CF²=BF² ，可得 y²+x²= （3x）² ，所以 ，則 ：

（3）由（1）可知， GF=DF .設 DF=x，BC=y ，則有 GF=x AD=y .因為 DC=nDF ，所以 DC=AB= BG=nx ，則 CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x 在 RtΔBCF 中，根據 BC²+CF²=BF² ，可得 y²+} [（n-1）x]²=[（n+1）x]² ，所以 ，則

思路與技巧：本題側重考查圖形的折疊變化，把矩形折疊成三角形后再求出線段的比值.解答本題要用到添加輔助線證明三角形全等，靈活運用勾股定理與等量代換進行計算等基礎知識與技巧.

2類題演練

例2（2024年山東省濟南市稼軒學校中考模擬試題）如圖2，在 ΔABC 中， ∠ACB= 90^°，BC 的垂直平分線 DE 交BC 于點 D ，交 AB 于點 E ，點 F 在 DE 上，并且 AF=CE

（1）試證：四邊形 ACEF 是平行四邊形.

（2）探究： ① 當 ∠B 的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并說明你的結論.

② 四邊形ACEF有可能是正方形嗎？請說明理由.

（1）證明：由 DF 是 BC 的垂直平分線，知 DF⊥BC DB=DC ，則 ∠FDB=∠ACB=90^° ，所以 DF//AC

所以 E 為斜邊 AB 的中點，則 ，所以 ∠1=∠2

由 EF//AC ， AF=CE=AE ，得 ∠2=∠1= ∠3=∠F ：

在 ΔACE 和 ΔEFA 中，因為 ∠1=∠3，∠2= ∠F，AE=EA ，所以 ΔACE?ΔEFA ，則 AC=EF ：

所以，四邊形 ACEF 是平行四邊形.

（2）解析： ① 當 ∠B=30^° 時，四邊形ACEF是菱形.

理由如下：在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ∠B= 30^° ，于是 .由（1）可知， E 是 AB 的中點，所以 ，所以 AC=CE .所以，四邊形 ACEF 是菱形.

② 四邊形 ACEF 不可能是正方形.

理由如下：由（1）可知， E 是 AB 的中點，所以 CE 在△ABC的內部，于是 ∠ACElt;∠ACB=90^°. 所以，四邊形 ACEF 不可能是正方形.

思路與技巧：本題考查了三角形，以及菱形、平行四邊形的性質與判定等平面幾何基礎知識.探究四邊形能否成為正方形的關鍵是通過幾何證明來判斷，所以解題的思路與技巧就是掌握并熟練地運用三角形、四邊形的性質與相關定理進行證明.

第（1）小題是通過證明三角形全等來推證平行四邊形.第（2）小題第 ① 問充分利用了直角三角形的中線定理證明菱形；第 ② 問只需證明四邊形的其中一個角不是直角就達到了目的.

例3（2024年甘肅省隴南市中考模擬試題） AB 是 ?O 的直徑，把AB分成 n 條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，設 AB= a ，那么 ?O 的周長 ι=πa ，如圖3，把AB分成兩條相等的線段，那么每個小圓的周長為

（1）類推計算

① 如圖4，如果把 _AB 分成三條相等的線段，那么每個小圓的周長 l₃ 是多少[2]？

② 如果把AB分成四條相等 的線段，每個小圓的周長 l₄ 是 多少？

③ 如圖5，如果把AB分成 n 條相等的線段，試推導出每個小圓的周長 的通用公式.

（2）探究結論

① 探究小圓周長與大圓周長的關系；

② 探究每個小圓面積與大圓面積的關系.

解析： （1）① 由圓的周長與直徑的關系可知， l₃=

（2） ① 每個小圓的周長是大圓周長的

② 在圖3中，每個小圓面積為 ，大圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

在圖4中，每個小圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

在圖5中，每個小圓面積為 ，小圓面積是大圓面積的

思路與技巧：本題考查大圓與小圓的圖形變化，涉及到圓的直徑、周長與面積等基礎知識.解題的切入點與技巧表現為精確的類推計算與嚴密的推導公式.由于圓的直徑、周長的變化導致圖形發生了變化，因此依據對圓周長、圓面積的計算結果，通過對照比較，即可推導出小圓周長的通用公式以及小圓與大圓的周長、面積關系.

從上述典例的解析中可以看出，靈活運用數學基礎知識可以巧解平面幾何圖形變化類探究性題型.不管圖形發生怎樣的變化，只要熟練掌握了幾何圖形的基本性質與相關定理，找出并充分利用好平面幾何圖形內在的邏輯聯系，經過仔細觀察和準確的計算、推導或證明，即可輕松解決這類問題.

探究性學習在初中數學課程中具有重要的作用3，目前，“問題探究”已成為新課標、新課改背景下中考數學的一種新題型.研討這類問題，既有助于培養學生勤學好問、積極思考、質疑問難，以及靈活運用數學基礎知識解決問題的能力，又能夠培養學生的探究與創新能力.

參考文獻：

[1]李發斌.教材中“探究性問題”的類型與求解[J].中學數學教學參考（初二初三學生版），2004（1）：114-115.

[2]黃榮華.淺談幾何教學中的類比遷移法[J].數學學習與研究，2011（6）：83.

[3]蘇洪雨，楊洋.跨學科項目式導向考查數學探究創新——2024年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J].中國數學教育，2024（23）：50-61.