中考數學動點問題分析與教學應對

動點問題是指涉及隨著時間或某種變化而改變位置的點的數學問題.動點問題是初中數學教學的重點和難點之一，數學動點問題能幫助學生理解數學與現實世界的聯系，并培養他們的問題解決能力和數學建模技能.本文對2024年山東省威海市第21題、煙臺市第10題、濟南市第10題三道有關動點的中考典型試題進行分析，并給出了相關的教學應對.這三道題的具體題目及解析可掃碼查看.

1試題綜述

1.1動點間距與時間變化的分析

2024年山東省威海市中考數學第21題考查動點在數軸上的運動，特別是動點之間距離隨時間的變化.動點 A 從數軸上一3的位置開始，以1個單位長度/秒的速度向正方向運動，而動點 B 從12的位置出發，以2個單位長度/秒的速度向負方向運動.題目要求通過時間的變化，計算兩點間距離為3時的具體時間，以及兩點到原點的距離之和的最小值.這道題不僅考查學生對動點之間的相對速度和運動軌跡的理解，還涉及絕對值函數的應用.通過解方程，學生可以發現動點之間的距離在不同時間段內的變化規律，進一步加深對運動物理和幾何變換的理解.該問題同時考查了學生的運算能力和對物理模型的數學轉化能力，強調數學在日常生活實際問題中的應用.

1.2動點軌跡與幾何圖形重疊的面積分析

2024年山東省煙臺市中考數學第10題通過菱形EFGH沿BC方向勻速運動，探討動點在平面內的運動軌跡與圖形重疊面積之間的關系.菱形EFGH以固定的速度沿矩形 ABCD 的BC邊勻速運動，要求分析重疊部分的面積隨運動時間的變化.題目中，動點 E 的運動和菱形EFGH的幾何性質通過時間函數的形式來體現，涉及三角形的面積計算公式和運動軌跡的變化.題目不僅考查學生在動態幾何問題中的空間想象能力，還要求學生熟練掌握函數圖象的性質，特別是二次函數和拋物線的性質.通過細致的分類討論，學生需要分析不同時間段內重疊部分的幾何形態，最終推導出面積與時間之間的函數關系.這一題目對于學生綜合運用幾何知識、函數模型和物理直覺能力的培養具有重要意義.

1.3動點與幾何性質的綜合應用

2024年山東省濟南市中考數學第10題探討了動點 P 沿折線 BC-CA 勻速運動時，點 P 與其他幾何元素之間的關系.這道題通過等邊三角形的幾何性質，要求學生求解動點 P 的位置變化對距離的影響，以及該距離與時間之間的關系.題目給出了關于點 P 和其他幾何元素的關系式，特別是 DP 平方與時間的函數圖象，考查學生對圖象的理解和函數關系的推導能力.分析動點 P 在兩段路徑上運動時距離變化的規律，學生需要熟練應用直線運動和折線運動中的幾何推理題目進一步考查學生對時間、位置與距離之間復雜關系的掌握，尤其是在處理多個時間段的函數變化時，能夠通過圖象分析解決問題.這一題目是對學生處理幾何、函數和動點問題綜合能力的全面考查.

2試題分析

2.1動點問題中的數學建模與抽象思維

在中考數學中動點問題不僅要求學生掌握基本的幾何知識，還強調學生的數學建模能力.2024年山東省威海市中考數學第21題，通過數軸上的動點 A 和 B ，考查動點之間的距離隨時間變化的規律.題自要求通過設定時間變量，構建絕對值函數模型，進而解得動點間的距離為3時的時間，以及兩點到原點的距離和的最小值.這不僅是對學生基礎運算能力的考查，更是對學生在實際情境下構建數學模型能力的挑戰.

在教學中，這一題可以幫助學生理解如何通過抽象的數學模型解決實際問題.教師可以引導學生從實際情況出發，首先明確問題中的關鍵要素（如動點的起始位置、運動方向、速度等），然后通過抽象的數學工具（如絕對值函數、方程等）來描述問題的動態變化.動點問題的核心在于將復雜的現實情況轉化為數學語言，幫助學生提高數學建模能力.在實際教學過程中，教師應通過引導學生分析具體問題的物理背景，激發學生從生活中發現數學問題的興趣，并通過數學方法進行精確建模.這一過程不僅有助于學生掌握解決問題的技巧，更能培養他們的抽象思維和邏輯推理能力，進而提升他們的數學素養.

2.2動點和幾何圖形的動態關系與空間想象能力

動點問題常涉及幾何圖形中的動態變化，這要求學生具備較強的空間想象力.2024年山東省煙臺市中考數學第1O題，利用菱形EFGH沿BC方向勻速運動，考查學生如何分析動點 E 的運動軌跡與矩形ABCD重疊面積之間的函數關系.通過不同時間段內重疊區域形態的變化，要求學生構建面積隨時間變化的函數模型.這個問題不僅考查學生對幾何圖形的理解，還要求學生根據幾何變化推導出相應的數學表達式.

從學科素養的角度看，動點問題不僅要求學生具備扎實的幾何知識，還需要他們具備良好的空間想象能力.在這一題中，學生需要理解菱形的運動對矩形重疊面積的影響，并能夠通過圖象和符號表示其變化.教師可以通過引導學生觀察幾何圖形在不同時間點的變化，幫助他們培養如何從平面圖形中提取關鍵信息，并轉化為數學表達式的能力.同時，這一題也促使學生思考如何運用函數來分析幾何問題，這對于提升學生的函數應用能力和空間想象力具有重要意義.通過解決這類題目，學生能夠更加深人地理解幾何圖形的性質，提升對動態幾何問題的分析與解決能力，從而培養更高層次的數學素養.

2.3動點路徑和函數圖象的關系分析與函數思維

動點問題往往涉及路徑、速度、位置等動態變化，要求學生具備較強的函數思維能力.2024年山東省濟南市中考數學第10題，涉及動點 P 在等邊三角形內沿折線路徑勻速運動的問題，要求學生分析動點 P 與其他幾何元素之間的關系，并通過函數圖象來探究DP平方與時間之間的函數關系.這道題考查學生如何根據動點的運動軌跡和幾何關系，構建出函數模型，并通過圖象分析得出結論.

動點問題中的路徑和時間關系本質上是一個函數問題.學生需要理解如何將動態變化轉化為數學語言，尤其是如何通過函數圖象來分析動點路徑上的變化.在這一題中，學生需要根據給定的條件，建立與時間相關的數學表達式，并分析函數圖象的變化趨勢.教師可以通過這一題幫助學生理解函數圖象與幾何形態之間的關系，引導學生逐步掌握如何根據函數圖象分析實際問題的變化規律.同時，這一題還要求學生具備較強的邏輯推理和分析能力，通過函數的變化探索問題的解決路徑.因此，教師在教學中應強調函數思維的重要性，幫助學生樹立通過函數來分析和解決實際問題的意識.

3教學應對

3.1夯實函數基礎，突出變量意識

動點問題本質上體現了時間、位置等變量之間的函數關系，強化函數思想是解決此類問題的關鍵.在教學過程中，應引導學生從“動”中看到“變”，從“變”中理解“量”，逐步建立“以變應變\"的解題思維.教師可結合典型動點題目，如“動點在幾何圖形邊上運動，與另一點距離的最小值問題”，引導學生列出變量關系、建立函數模型、分析圖象特征，從而鍛煉學生的函數建模能力和函數應用意識.同時，課堂上要注重函數語言與幾何圖形的聯通，比如，通過數形結合方法，引導學生理解函數值與圖形特征的內在聯系.在復習中，可以將函數單元與動點問題統整歸類，幫助學生跨章節整合知識，提升遷移能力，為應對中考綜合性動點問題奠定堅實基礎[1].

3.2聚焦數形結合，提升圖象解讀能力

動點問題中的幾何構造和軌跡分析往往需要學生具備良好的圖象感知和空間想象能力.因此，教師應在教學中系統加強數形結合思想的滲透.可以借助動態幾何軟件（如幾何畫板）演示動點運動過程，通過可視化手段幫助學生直觀理解路徑變化、構造輔助線、捕捉特殊位置等，從而降低理解難度.同時，教師應引導學生學會“畫圖、讀圖、析圖”，通過作圖掌握基本結構、通過觀察發現幾何規律、通過分析總結解題思路.在講評典型動點題時，應強調圖形的動態變化過程和對關鍵轉折點的把握，引導學生通過坐標幾何、對稱、相似等幾何方法深入剖析問題，從而提升其空間思維品質和數學直觀能力，為解決復雜動點問題提供有力的工具支撐.

3.3創設真實情境，深化數學應用意識

動點問題往往蘊含豐富的現實背景，如車船行駛、機器人運動、物體碰撞等，具有較強的情境性和應用性.在教學中，教師應注重將抽象的數學問題嵌入真實生活情境中，增強學生的代人感和問題意識.例如，可設計“快遞小車繞行校區”“探測器尋找最短路徑”等富有生活氣息的情境任務，引導學生在分析問題情境中建立數學模型并解決問題.通過項目化學習或活動探究方式，激發學生的好奇心和思維主動性，促使其在動點問題中主動構建變量關系，理解運動邏輯，形成良好的數學應用觀.這樣的教學不僅有助于提升學生的動手操作能力和思維表達能力，還能使其從“解題人\"轉變為“問題解決者”，從而更好地適應新課標背景下核心素養導向的中考命題趨勢.

參考文獻：

[1楊啟榮.一道中考壓軸題的解法探討——抓住不變的量，突破動點問題[J].科技風，2024（10）：158-160.Z