改“斜”歸“正”

針對初中數學二次函數最值問題教學中存在的學生思維僵化、方法機械等問題，本研究提出將“化斜為直”思想融人教學實踐.通過構建“情境引入—知識遷移—問題解決一拓展提升”的教學路徑，引導學生將斜線段轉化為直線段，利用二次函數性質求解最值.實踐表明，該方法有效提升了學生的數學抽象、幾何直觀和推理能力，為函數教學提供了新的范式.

在實際教學中，二次函數的最值問題（如線段最值、面積最值等）既是教學的重點，也是學生學習的難點.傳統的教學方法往往側重于公式的記憶與機械計算，而忽視了對數學思想方法的滲透與應用[].這不僅限制了學生的思維發展，也削弱了數學學習的趣味性與實用性.因此，如何通過有效的教學設計，將“化斜為直”思想融入二次函數的教學中，幫助學生掌握數學思想方法并提升解決問題的能力，成為當前數學教育研究的重要課題.

1教學準備

1. 1 單元整體分析

二次函數的圖象是它性質的直觀體現，對了解和掌握二次函數的性質具有形象直觀的優勢，二次函數作為初中階段學習的重要函數模型，對理解函數的性質，掌握研究函數的方法，體會函數的思想是十分重要的[2]，因此本章的重點是二次函數的圖象與性質的理解與掌握，應教會學生畫二次函數圖象，學會觀察函數圖象，借助函數圖象來研究函數性質并解決相關的問題.本章的難點是體會二次函數學習過程中所蘊含的數學思想方法，函數圖象的特征和變換以及二次函數性質的靈活應用，

1.2 教學內容分析

二次函數中的線段最值、面積最值等，一直是重要的考點和難點.本節課是華東師大版九年級下冊第二十六章的拓展內容.二次函數是初中數學的重要內容之一，它是學生學習代數式、方程、一次函數、反比例函數后，進一步學習函數的知識，是函數知識螺旋發展的一個重要環節.二次函數的學習不僅強化了學生對函數概念、圖象、性質、應用、研究方法等進一步的理解掌握，同時也為高中繼續學習其他函數和一元二次不等式奠定了基礎.

1.3 教學目標設置

（1）通過數學的眼光，可以從現實世界的實際問題中發現數量關系，并且能用轉化的思想求二次函數的最值問題，形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，提升數學抽象能力、創新意識和幾何直觀[3].

（2）經歷探索由已知條件特點，靈活選擇化斜為直的轉化過程，學生能夠理解并運用化斜為直的轉化方法求函數的最值，建立函數與現實生活之間的邏輯聯系，能夠運用符號運算、形式、推理等數學方法，分析、解決數學問題和實際問題，提升推理意識和推理能力.

（3）通過數學的語言，可以簡約、精確地描述斜線段與直線段之間的關系以及用化斜為直的轉化方法，能夠在現實生活中構建普適的數學模型，表達和解決問題，形成數學的表達與交流能力，提升應用意識和模型意識.

基于以上分析，確定本節課的教學重點是：通過對斜線段與直線段之間的關系進行探究，掌握求二次函數線段最值和面積最值的方法.

1.4 學生學情分析

學生已經經歷了一些解決實際問題的活動，會利用勾股定理（兩點間距離公式）求坐標系中兩點之間的距離，并會用配方法、判別式法等求已知函數的最值，為學習新知識打下了基礎.

基于以上分析確定教學難點為：學會根據不同的條件和題型，利用化斜為直的轉化方法在實際應用中體會數學思維中的轉化思想的數學模型的作用.

1.5 教學策略分析

本節課從以下5個教學環節展開：情境引入，激發興趣；復習舊知，導入新知；利用新知，解決問題；拓展提升，連接中考；總結思考，內化升華.

（1）情境引入，激發興趣.通過一道例題，激發學生探索新知的欲望.

（2）復習舊知，導入新知.回憶直線段和斜線段的計算方法，引導學生進行觀察簡化，引導學生構造出直線段，把新問題轉化成已知問題來解決.

（3）利用新知，解決問題.利用多題一解的方式，讓學生學會轉化思想來求線段或面積最值，對于不能直接觀察出線段的情況，需要進一步分析轉化，滲透轉化思想.

（4）拓展提升，連接中考.

（5）總結思考，內化升華.歸納化斜為直的基本方法，鞏固求線段或面積最值的基本步驟.

2 教學過程

2.1 情境引入，激發興趣

例1已知直線 y₁=x+3 與拋物線 y₂=- 的圖象，點 P 是 y₂ 上的一個動點，則點 P 到直線 y₁ 的最短距離是

2.2 復習舊知，導入新知

坐標系內，已知兩點的坐標，如何求兩點間的距離，我們先來復習前面學過的坐標系內求線段長的方法：

（1）已知 A（x₁，y₁），B（x₁，y₁） ，則線段 AB 的 長為

（2）已知 B（x₁，y₂），C（x₂，y₂） ，則線段BC 的長為

（3）已知 A（x₁，y₁），C（x₂，y₂） ，則線段AC的

長為

教師問：“仔細觀察線段，你發現什么了嗎？”

師生互動我們發現，當兩個點橫坐標或縱坐標相同時，這條線段的長可以表示為 AB=∣ψ_y1-ψ y₂∣ 或 BC=∣x₁-x₂ 1.因為它們都與 x 軸或 y 軸平行，為了方便理解和記憶，所以我們把它們叫作直線段.

當兩個點橫坐標或縱坐標不同時，利用前面學過的兩點間的距離公式，現在我們知道線段 AC= ，因為它們都不與 Ψ_x 軸或 軸平行，所以我們把它叫作斜線段.

我們發現直線段的計算遠比斜線段的計算來得簡單，我們大膽猜想是否可以把斜線段轉化為直線段，來求坐標系中的線段長.

2.3 利用新知，解決問題

小試牛刀1

變式1過點 P 作 PQ//y 軸交直線 y₁=x+ 3于點 Q ，則 PQ 的最小值

方法總結要求豎直線段的長，我們通常假設拋物線上的點坐標，再表示出直線段的長，最后發現是一個新的二次函數求最值的問題便得解.

小試牛刀2

變式2過點 P 作 PQ//x 軸交直線 y₁=x+ 3于點 Q ，則 PQ 最小值

方法總結要求水平線段的長，我們還是假設拋物線上的點坐標，再表示出直線段的長，最后發現是一個新的二次函數求最值的問題便得解.

一般來說，要求豎直線段或水平線段的長的最值，我們只需要假設拋物線上的點坐標，再表示出直線段的長，最后得出一個新的三次函數，利用前面學過的二次函數求最值的問題便得解，我們在解題過程中，需要根據題目給出的具體條件的特點，恰當地表示出線段長來解決問題.下面我們一起來利用直線段解決引例的問題.

小試牛刀3

變式3求 P 到直線 y₁ 的最短距離是

方法總結：此題要求的斜線段 PH 的長，根據化斜為直思想，我們可以把 PH 轉化為 PQ ，再利用相似或三角函數找到 PH 與 PQ 之間的數量關系，這樣就變成了求 PQ 的最小值，利用轉化達到了化繁為簡的效果.

變式訓練1

若直線 y₁ 與 x 軸 ??y 軸于點 A，B ，則 ΔPAB 面

積的最小值

方法總結此題要求面積的最小值，可以發現AB 是定長線段，所以只要使 _AB 邊上的高最小即可，即垂線段 PH 的最小值，而 PH 是斜線段，所以我們還是轉化為豎直線段 PQ 來求解，最終體現我們本節課的重點思想化斜為直.

變式訓練2

已知直線 與拋物線 2x 的圖象，點 P 是 y₂ 上的一個動點，則點 P 到直線y₁ 的最短距離是

方法總結此題與引例相似，只是此時直線與x 軸的夾角非特殊角，但要求的 PH 仍為斜線段，根據化斜為直思想，我們可以把 PH 轉化為 PQ ，再利用相似或三角函數找到 PH 與 PQ 之間的數量關系，這樣就變成了求 PQ 的最小值，利用轉化達到了化繁為簡的效果.

變式訓練3

已知直線 y₁=x+3 與拋物線 的圖象，如圖1點 P 是 y₂ 上的一個動點，拋物線與橫軸交點為 C ，連結 CP 并延長交直線 y₁ 于 D ，連結OD，OP ，記 ΔODP 面積為 S₁ ΔODC 面積為 S₂ 則 的最小值是

方法總結此題要求面積比的最小值，可以發現兩個三角形的高相同，所以可以轉化為底的比即可，發現底 DP 和 DC 都是斜線段，所以我們還是轉化為豎直線段 PQ 來求解，最終體現我們本節課的

重點思想化斜為直.

鏈接中考

如圖2，拋物線 y=x²+bx+c 與 x 軸交于點A，B 兩點， B 點坐標為（4，0），與 y 軸交于點C（0，4） ：

（1）求拋物線的解析式；

（2）點 P 在 x 軸下方的拋物線上，過點 P 的直線 ，與直線 BC 交于點 E ，與 y 軸交于點 F ，求 PE+PF 的最大值.

3結語

“化斜為直”思想的滲透不僅能幫助學生掌握線段最值、面積最值等具體問題的解決方法，還能強化轉化思想與數學建模能力的培養.通過多題一解的變式訓練，學生能夠靈活運用“設點坐標一表示線段長一構建二次函數一求最值”的解題流程，實現從機械解題到策略應用的思維跨越.例如，在解決點到直線的最短距離問題時，學生能主動將斜線段轉化為豎直線段，結合相似三角形或三角函數建立數量關系，最終通過二次函數求最值的方法得出結論.這種方法的遷移應用，不僅提升了學生的解題效率，更深化了對函數本質的理解.

【本文系鯉城區教育科學“十四五”規劃2024年度課題（第二批），課題名稱《課程思政視域下數學文化教學研究》，課題編號：（LCJG1452－140）研究成果】

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.義務教育教科書·數學（九年級下冊）[M].北京：教育科學出版社，2014.

[2]史寧中.數學思想概論（第1輯）[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[3]張奠宙.數學方法論稿[M.上海：上海教育出版社，2010.