探究數學建模中創造性思維的技術

梁軍

【摘要】創造性思維技術的使用是至關重要的，但創造性思維技術的理論依據、如何培養，長期以來一直是比較模糊和較為抽象的.通過對典型數學模型分析，在哲學理論指導下，揭示創造性思維技術的本源、產生發展過程和使用方法，獲得培養創造性思維技術的途徑.

【關鍵詞】創造性思維；數學建模；哲學思想

傳統的數學教學著重于邏輯思維的教學，而忽視創造性思維的教學.江澤民：創造力是一個民族發展不竭的動力源泉！人的創造性從何而來？如何發生的呢？探討這個問題應溯本求源，哲學研究的是關于整個世界的最一般規律！

要用唯物主義世界觀、辯證法分析解決問題.運用量變與質變的觀點，堅持不懈地探索新的可能性，大膽嘗試達到質的飛躍；用辯證的否定的觀點，去除禁錮思維的條條框框，從更廣闊的視角認識事物.用矛盾的普遍性與特殊性的關系，破除陳舊的經驗，沖破矛盾特殊性的束縛，深入事物本質探索矛盾的普遍性；用事物普遍聯系的觀點，跨越事物間傳統的界限尋找新思路.只有在科學理論指導下的實踐才能符合客觀規律，才能有效地培養思維的創造性.

我們以一個經典數學模型小蟲與橡皮繩悖論的多種解法為切入點，說明創造性思維的技術手段是如何運用的.

題目1（離散型） 在橡皮繩（繩長100 cm）的一端，一條小蟲以每秒1 cm的速度沿橡皮繩爬行.在1秒鐘之后，橡皮繩就像橡皮筋一樣拉長為110 cm；再過一秒鐘后，它又拉長為120 cm.如此下去，小蟲最后究竟會不會達到終點呢？

一、如何運用量變與質變的觀點做到深刻的思維

事物的發展過程是量變和質變的對立統一.質量互變規律決定了創造性思維的方法：在認識和改造客觀努力的過程中，創造者應當積極探索，不斷積累，在量變基礎上尋找適宜的突破口，促使其盡早發生質的飛躍.

題目1 解法一（整體法）：因為繩子均勻變長，小蟲爬的時候，位移會隨著繩的增長逐漸變大，所以位移就不是1 cm/s，會逐漸變大.又繩子均勻增長，小蟲在第一秒爬了繩子的1100，第二秒爬了繩子的1110……第n秒爬了繩子的1100+10n，由每一秒運動距離占全程的分數，逐步積累到全程的百分之百即S=1時，求出其中的n即是到達另一頭的時間！列出小蟲爬行距離的分數之和S的計算式：

S=1100+1110+…+1100+10n+…

=110110+111+112+…+110+n….（1）

由調和數列近似求和公式（當n很大時）：

1+12+13+…+1n≈lnn+ 0.57722.（2）

1+12+13+14+…+19≈2.83.（3）

綜合（1）（2）（3），得到10≈lnn+0.57722-2.83，解得n≈208981.29（秒）.

上述解法思維切入點是每一秒運動距離占全程的分數，逐步積累到全程的百分之百，即由量的積累達到質變；同時在知識運用上綜合了小學、中學和大學的數學知識，這種系統的學習就是量的積累過程.質變也可以發自于當前信息的更為仔細的注意，以及對這些信息的意義更為敏感的靈活的把握.看起來似乎沒有線索的地方探索線索是創造性思維中最根本、最強大的策略之一.

二、如何運用辯證的否定的觀點獲得思維質的飛躍

事物的發展是辯證的否定.否定之否定階段，事物會出現維持某些原有的性質和現狀，這不是原有事物簡單的重復，而是在更高的層次上達到更新的程度.這正是創造性思維的本質所在.

從數學的嚴謹性來看，解法一的計算結果欠精確，這正是辯證的否定的出發點.鑒于數列的迭代特征及軟件能快速有限次迭代的運算特點，運用QBasic程序語言設置題目的限制條件，達到精確解決問題的目的.

題目1 解法二（程序法）：設m為繩子長度，v為小蟲爬行距離，n為繩子拉伸次數.用QBasic編寫計算程序m=100：v=0：n=0： while（v比較以上兩種解法，體現了運用程序迭代的精度更高，更貼近實際.由直覺思維對解法一辯證的否定從而達到更廣闊的思維層次.

題目2（連續型） 設有一條繩子長100 cm，而且每秒均勻拉伸10 cm，同時一只蟲子從繩子的一端爬向另一端，爬行速度每秒1 cm，問蟲子能否爬到另一端？

三、如何運用矛盾的普遍性與特殊性的關系達到思維的跨越

矛盾的普遍性存在于特殊性之中，普遍性通過特殊性表現出來.利用矛盾的特殊性推演矛盾的普遍性，探尋特殊事物的一般規律，正是數學歸納思想的體現，由此及彼達到思維的跨越.

題目1（離散型） 可以看作特殊性，將其改編為題目2（連續型），連續型模型視為普遍性，由此可以建立微分方程解決問題.靈感來自于相關事物的模仿，是跨越式思維最為常用的方法.

題目2 解法一（微分法）：設t時刻小蟲與原點的距離為x（t），繩子總長為 L（t），則L（t）=100+10t.

因為小蟲的移動速度v（t）=dx（t）dt=小蟲主動爬行速度1 cm/s+x（t）處的繩子伸長速度，可得微分方程dx（t）dt=1+10·x（t）L（t）=1+x（t）10+t，由初始條件x（0）=0，解得微分方程的唯一解x（t）=（10+t）ln1+t10，設T代表爬到終點所用時間，則x（T）=L（T），即（10+T）ln1+T10=100+10T，則T=10（e10-1）≈220254.7（秒）.

當我們遇到具體問題無從下手時，我們就將具體問題推演為問題的普遍形式，運用這種方法需要思維的跨越.當然，這種思維的跨越僅停留在傳統的既定的范式之中.

四、如何運用事物普遍聯系的觀點獲得豐富的聯想思維

用事物普遍聯系的觀點，跨越事物間傳統的界限尋找新的思路.靈感頓悟的產生經常是將原本分立的不同參照系連接起來，創造性的思維實際上都超越了既定的范式，往往跨越到另一個參照系，然后將它們有機地結合在一起.

題目2 解法二（物理法）：勻速吹脹的氣球是一個物理模型.把題中的橡皮繩兩端接起來成為一個圓圈，設想它就是氣球的赤道.氣球不斷吹大，使赤道周長以10 cm/s的速度均勻變長.原問題就變成：赤道上小蟲能爬滿一圈回到起點嗎？

由于赤道是均勻膨脹的，那么蟲子不爬的話，就不會有相角變化，即球面大小的變化僅賦予了蟲子徑向速度分量，而蟲子的周向速度分量不受影響，始終是其本身的爬行速度1 cm/s.因此蟲子的爬行軌跡是一條等角螺線.

在時刻t，赤道周長C=100+10t，半徑R=C2π，所以蟲子的角速度ω=1R=2π100+10t，

蟲子爬行的角度θ=2πА要瑃0dt100+10t=π5ln（10+t）瑃0=π5ln1+t10，由θ=2π可算出t=10（e10-1）（秒）.

該解法將數學問題聯系到物理模型，只有發現了不同系統中相同的本質特征，才會出現這種跨越式思維方法.因此，只有博學、集思廣益、多實踐，在類比的基礎上獲得豐富的聯想思維.

五、結束語

總之，從探究問題的過程來看，它表現在隨新的條件而迅速確定解題方向，能從已知因素中看出新因素，從隱秘的形式中抓住實質的能力.它是創造性思維最生動的核心，主要體現在：其一，思維的連動性，由此及彼，全力的邏輯推理；由表及里，縱向探察的思維能力.其二，思維的跨越性，在思維進程上省略思維步驟，迅速完成“虛體”與“實體”之間轉化的直覺思維.

【參考文獻】

王輝.創造性思維的機制和方法[D].鄭州大學碩士學位論文，2004-05-01.