例談平面幾何的入門教學

董健　胡秀清

【關鍵詞】幾何入門 激發興趣 概念教學 識圖教學 推理論證

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）08B-0058-02

初中平面幾何教學的成敗，在很大程度上取決于其入門教學。學生從初一開始上平面幾何課，此時學生正處于從兒童期向青春期的過渡階段，生理和心理都發生著巨大的變化。這個年齡階段的學生思維結構正逐步形成，但是抽象思維能力還較弱，他們好動，容易對新事物產生興趣但又不穩定，刻苦鉆研、堅忍不拔的品質尚不成熟。此外，平面幾何與代數相比，無論是研究對象或研究方法，都有很大的不同，特別是在研究方法上更注重邏輯推理和嚴密論證。

幾何語言具有簡潔、抽象、嚴密的特點。幾何課程的第一部分集中了很多幾何基本概念，如直線、射線、線段、線段中點、角、角平分線等，初學者容易陷于死記硬背、不求甚解甚至無所適從的被動局面，造成畏難心理。基礎打不好，容易成為后續學習平面幾何的障礙。因此教師在教學過程中必須加強看、畫、聽、讀及簡單的論證訓練，用通俗易懂的語言闡明教學內容，幫助學生順利度過幾何入門這一關。

一、激發學生學習幾何的興趣

興趣是入門的先導，是學習動機的重要心理成分，只有激發學生學習平面幾何的興趣，才能為入門教學創造有利條件。為此，在講解幾何課程《引言》一節時，教師可以先詳細介紹幾何學的起源，介紹我們的祖先對幾何學發展的貢獻，并舉例說明幾何知識及幾何圖形在生產建設、日常生活中的廣泛應用；然后向學生提出如下問題：你會畫我們的國旗上的五角星嗎？為什么只要兩根釘子就可以在墻上釘好一根木棒？為什么電視塔結構要采用三角形？為什么自行車的輪子是圓的？一連串有趣的問題讓學生感受到幾何學是一門應用廣泛并且具有趣味性的學科，初步建立起學好平面幾何的信心和求知的欲望。在隨后的教學中，適時地向學生介紹：三角形的穩定性在日常生產、生活中的應用，利用全等三角形、相似三角形的知識測量池塘的寬度等知識。這樣，把課本抽象的知識同實際生活結合起來，就能進一步增強學生學好平面幾何的積極性和自覺性。

二、抓好數學概念的教學

數學概念是形象思維到抽象思維的過渡，是學生學好幾何的基礎，要保證幾何教學順利進行，必須使學生建立清晰明確的幾何概念。

1.通過自制教具，加強直觀教學

我們知道，概念往往是從客觀事實中抽象出來的，因此講解概念時應盡可能從生活、生產的實例引入。以“同位角、內錯角、同旁內角”一課為例，進行如下教學。

預先做好教具，上課時展示教具并提問學生：①這三根小木條所構成的圖形中共有幾個角？（八個角）隨后，根據實物，把它抽象成圖形，如圖2。

然后分別標出八個角，如圖3。

②∠1與∠5的位置有何特征？

分析：∠1與∠5分別在直線AB、CD的上方，并且在直線EF的同側，由此歸納出同位角的定義。∠3與∠5呢？∠2與∠5呢？由此歸納出內錯角、同旁內角的定義，并讓學生注意區分這三種角。隨后分別畫出這三種角的基本圖形，幫助學生判別：

③揭示學習要點：三條直線相交；交角；位置關系。

④識別訓練：補充如下的圖形（圖4），請學生分別說出圖中哪些角是同位角、內錯角、同旁內角？（用三個大寫的字母表示）

2.對比異同，講清概念

對于易混淆的概念，在教學中可采用對比分析的方法，找出它們之間的聯系和本質差異，加強對概念的理解和記憶。

如在教學對頂角和鄰補角時，結合圖形，進行如下的教學：

如圖5，∠1與∠3，∠2與∠4是對頂角，它們的特點是：①兩直線相交；②有一個公共頂點；③沒有公共邊。而圖中的∠1與∠2，∠1與∠4，∠2與∠3，∠3與∠4是鄰補角。它們的特點是：①兩直線相交；②有一個公共點；③有一條公共邊。

結合圖形，我們可以發現對頂角與鄰補角的相同之處：都是①兩條直線相交；②有一個公共點。不同之處是：對頂角沒有公共邊，而鄰補角有一條公共邊。為了加深學生的理解，請學生回答圖6中的∠1與∠2是不是對頂角？是不是鄰補角？并說明原因。

三、重視識圖教學，加強圖形語言訓練

幾何語言有三種表現形式：文字語言、圖形語言和符號語言。讀懂文字語言，正確地認識圖形，是學好幾何的基礎。在教學中，通過讀、說、寫、畫訓練，不僅可以加深學生對概念的理解，還可以培養學生的語言表達能力。

學生在入門階段對幾何語言還相當陌生，比如對“任取一點”“有且只有”等幾何術語往往不能理解透徹，而生活語言對幾何語言又產生負遷移，這又給幾何語言教學增加了一定的難度。針對這種情況，在平面幾何第一章的教學中，要求學生認真聽、認真學、認真記，模仿教師的幾何語言。如教“直線、射線、線段”一節時，教會學生“過點×作直線××，連結××交××于×點”等幾何術語，教學時教師邊講解邊作圖示范，并要求學生記住范句；然后反復練習，教師說學生畫，教師畫學生說，通過反復訓練，加深學生對關鍵的幾何術語的理解，并牢固記憶，逐步達到熟練運用的程度。下面舉例說明對學生進行圖形語言訓練的過程。

1.看圖回答

①說出圖7中共有幾條不同的線段？

②圖8中共有幾個不同的銳角？

③圖9中共有幾個不同的三角形？

指導方法：以圖7為例進行說明，按順序將兩個字母順次讀出：線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共六條線段。

對于圖8、圖9，我們利用多媒體把不同的角、三角形展示出來，并配以不同的顏色，讓學生能直觀地看懂圖形。

④如圖10，直線AB、CD相交于點O，EO⊥AB，垂足是O，∠1與∠2是 ，∠1與∠3是 ，∠2與∠4是 ，∠4的鄰補角是 。

2.看圖敘述

在黑板上畫出圖形，要求學生把幾何圖形譯成幾何語言與符號語言。

①如圖10，幾何語言表述為：點O是線段AB的中點；符號語言表述為：AO=BO，或AO=BO=AB，或AB=2AO=

2BO。

②如圖11，幾何語言表述為：直線AB與直線CD垂直相交于點O，或直線AB與直線CD互相垂直，垂足為O；符號語言表述為：AB⊥CD于點O。

3.根據幾何語言，正確地畫出圖形

幾何語言是理解概念、認識圖形并進行推理的工具，對于常用幾何術語：延長線段 到點 ，使 = ，過點 作 ⊥ ，垂足為 ，連結 。教學時應對照作圖過程演示講解，然后要求學生模仿練習，以明其意。

四、由淺入深，引導學生正確推理論證

命題的證明是幾何入門的難點，從對推理過程的模仿到獨立書寫推理過程，是對推理證明由感性認識上升到理性認識的過程。正因為一開始學生對推理過程的認識是感性的，所以對推理證明的教學從模仿開始，能取得較好的效果。為此我采取以下做法：

1.模仿性論證

開始階段，選用一些簡單的證明題，由教師事先寫出證明過程，讓學生填寫推導的理由，并說出有幾層因果關系。

3.變式訓練

例：如圖14，已知點C、D在直線AB上，AB=CD。求證：AC=BD。

教師證明后可將此題改為：若已知AC=BD，求證：AB=CD。讓學生思考證明方法。通過變式訓練，可逐步提高學生的思維能力和推理論證能力。

4.獨立完成證明

學生通過反復模仿，逐步掌握證明過程后，教師可以鼓勵學生自己分析、探索證明方法，獨立完成證明，真正達到入門。

例：如圖15，已知B、C、D在同一直線上，CE∥AB，∠A=∠B。求證：CE平分∠ACD。

注：教學時，教師可先幫助學生分析解題思路，但要求學生獨立寫出證明過程，然后根據練習情況進行講評。講評時可請個別學生把思維過程敘述出來，讓能正確寫出推理過程的同學感受成功的喜悅，同時使其他同學得到啟發。證明的方法可能不止一種，鼓勵學生發散思維，從不同角度思考，用多種方法解題。

在平面幾何的入門教學中，教師應注意培養學生的學習興趣，并在概念、語言、圖形、推理等的教學上下功夫，使學生掌握科學的學習方法，才能提高平面幾何入門教學的效果，為學生后續更深入地學習平面幾何打下扎實的基礎。

（責編 易惠娟）